Bonjour,

J'aurai besoin de votre aide pour démontrer le théorème spectral. Mon prof nous a donné trois énoncés, a démontré le premier mais n'a pas voulu démontré les deux autres. Voici les énoncés :

1/ Pour les matrices : si M est une matrice symétrique de taille n*n dans munit du produit scalaire classique, alors elle peut s'écrire sous la forme avec D une matrice diagonale et P la matrice de passage de la base canonique à une base orthonormée c'est-à-dire que P est la matrice d'une isométrie donc . On a alors .

2/ Pour les formes bilinéaires symétriques : un produit scalaire étant donné sur E, si nous avons une nouvelle forme bilinéaire symétrique , alors il existe une base orthonormée pour le produit scalaire qui soit en même temps orthogonale pour . Si est une telle base, on aura et où les seront les valeurs de la matrice de Gram dans cette base.

Je vous remercie d'avance.