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Géom dans l'espace: amener un vecteur dans un plan

Posté par
jerome_jh 25-06-15 à 19:49

Hello,

J'ai commencé un petit programme sans prétention sur les surfaces développables: https://github.com/jerome-jh/developable

Je me trouve bloqué par un problème que je ne sais par quel bout prendre, et dont voici l'énoncé.

Soit trois points A, B, C distincts deux à deux, non colinéaires. Soit un vecteur v arbitraire qu'on va dire non nul. Quel est l'angle de la rotation autour de la droite (AB) qui amène v parallèle au plan (ABC)? (bon y'a au moins deux angles, on est d'accord ...)

Cordialement,

Jerome.

Posté par Profil amethystere : Géom dans l'espace: amener un vecteur dans un plan 25-06-15 à 20:13

salut

mais on parle jamais de points colinéaires

de plus on aimerai bien que tu précise (même si on s'en doute que tu est dans le plan affine -car sinon tu as oublié un quatrieme point pour te faire un referenciel)

et oublions cette histoire de vecteur V car j'aime pas trop mélanger vecteurs et points surtout avec un énoncé comme ça

posons que ton vecteur V ait un point d'application en A dont on supposera qu'il est le centre d'un referenciel

et que |V=\overrightarrow {AE}

et que je te demande comment ferai tu pour positionner ce point E par rapport à ton referenciel  

ensuite j'attend car j'aimerai bien savoir si tu est dans le plan affine ou l'espace affine

Posté par
jerome_jhre : Géom dans l'espace: amener un vecteur dans un plan 25-06-15 à 21:13

Salut,

On est dans l'espace (c'était dans le titre), l'espace affine, euclidien.

> mais on parle jamais de points colinéaires

Oui je crois me souvenir, l'important est que tu ais compris

Je ne crois pas avoir mélangé les points et les vecteurs dans mon énoncé.

Cependant on peut définir le problème de façon entièrement vectorielle. Si on parle de rotation vectorielle, il y a (je suppose) une seule matrice de rotation qui va amener le vecteur V dans le "plan". Pour être plus précis, on défini le vecteur n=AB^AC, n<>0 (qui serait le vecteur normal au "plan").
Il y a (je suppose toujours) une seule matrice de rotation d'axe AB et dont l'angle est entre 0 et pi telle que:
(R.V)^n=0
Quel est l'angle qui permet de définir complètement la matrice de rotation.

Dans cet énoncé, il n'y a pas de points, on résonne tout en vectoriel.

Maintenant, je veux bien résoner aussi avec des points, et dans ce cas poser V=AE. Mais je n'ai pas d'autre indication à donner sur E. Il est quelconque, mais de préférence pas sur la droite (AB) sinon le problème n'a pas d'intérêt ...

Voilà, j'espère avoir été clair et aussi précis que possible.

Posté par Profil amethystere : Géom dans l'espace: amener un vecteur dans un plan 25-06-15 à 21:32

bon je vois ta premiere phrase et je reviens plus tard

ok tu est dans l'espace affine (en fait c'est ton titre et alors comment se fait-il que t'en parle pas dans ton énoncé ?...)

alors camarade pour resoudre ton énoncé tu as besoin d'un quatrieme point D tels que le systeme de vecteurs


\overrightarrow {AB},\overrightarrow {AC}\overrightarrow {AD}

soient non nuls , non colinéaires deux à deux ,et non coplanaires bref qu'avec tu puisse te construire une base de l'espace vectoriel et avec ton point A un repere de l'espace affine

camarade à partir de là on peut commencer

mais stp ne parle pas de points colinéaires

de plus ton vecteur V sera defini par

\overrightarrow {V}=\overrightarrow {AE}

et alors tu peux entrevoir une solution à ton enoncé pas mal handicapé par des manquements et des fautes

premiere question comment en te donnant les cinq  points A,B,C,D,E et definis par le repere canonique

tu pourrait me formuler la position du point E par ton repere d'origine A et formé par ton systeme de trois vecteurs

\overrightarrow {AB},\overrightarrow {AC},\overrightarrow {AD}

formant une base de l'espace vectoriel et tel que definit par cet ordre là

le premier vecteur de cette base étant \overrightarrow {AB}

le deuxieme vecteur de cette base etant \overrightarrow {AC}

le troisieme vecteur de cette base etant \overrightarrow {AD}

c'est à partir de ces coordonnées que tu peux resoudre ce que j'ai compris de ton enoncé obscur

mais je t'aide pour tous les points  dont j'ai parlé et ensuite on commence par la resolution

ceci dit essaye de faire un enoncé correct en attendant(je me relis pas)

ceci dit je t'avoue là je suis pas pressé j'ecoute ma zic de oufff

Trisomie 21 The Last Song  

Posté par Profil amethystere : Géom dans l'espace: amener un vecteur dans un plan 25-06-15 à 21:45

ah  ... j'oubliais une derniere chose

Citation :
mais on parle jamais de points colinéaires

Oui je crois me souvenir, l'important est que tu ais compris


stp à l'avenir essaye d'éviter ce genre de commentaire , car ça risque de pas être apprécié par celui qui t'aide

moi je suis gentil mais d'autres .... bouhhhhhhh  

bon en attendant que tu lise mon dernier post ici

stp te presse pas trop et comme je t'ai dit positionne moi ce point E

si tu n'y arrive pas je t'aide

comme je t'ai dit c'est important pour faire le reste

et essaye de me formuler un énoncé correct car en fait onpeut douter de sa compréhension tel que tu l'a écrit

si tu n'y arrive pas je t'aide

j'ecoute ma zic de oufff

Trisomie 21 The Last Song  

stp te presse pas trop et comme je t'ai dit positionne moi ce point E

Posté par
jerome_jhre : Géom dans l'espace: amener un vecteur dans un plan 25-06-15 à 21:45

Raah tu as oublié de me demander combien de dimensions a mon espace ... pas sérieux

Posté par Profil amethystere : Géom dans l'espace: amener un vecteur dans un plan 25-06-15 à 21:53

Citation :
Raah tu as oublié de me demander combien de dimensions a mon espace ... pas sérieux


à quoi tu joue ? ah tu veux jouer à ça avec moi ?

tu trouve ça sérieux toi de parler de points colinéaires ?

tu trouve ça sérieux de chercher à resoudre ton énoncé en oubliant un quatrieme point pour former un repere dans l'espace affine ?

ceci dit si tu veux jouer au con avec moi ...

tu peut aller te brosser

et je retourne à ma  zic plutôt que d'écouter un petit con comme toi

j'ecoute ma zic de oufff

Trisomie 21 The Last Song  

Posté par
lafol Moderateurre : Géom dans l'espace: amener un vecteur dans un plan 25-06-15 à 22:29

Bonsoir

il faut comprendre quoi, dans A,B,C non colinéaires ? que A, B et C ne sont pas alignés , ou que les vecteurs \vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC} (où O serait une origine de ton espace que tu aurais oublié de définir) sont non colinéaires ? ou encore autre chose ?

par ailleurs, entre ton premier et ton deuxième post, le transformé du vecteur v par la rotation que tu cherches est passé de parallèle au plan (ABC) à orthogonal au plan (ABC)

ça serait bien de savoir un peu ce que tu cherches, quand même....

Posté par Profil amethystere : Géom dans l'espace: amener un vecteur dans un plan 25-06-15 à 22:38

... ceci dit mon camarade Lafol

je m'excuse de m'être mis en colère et de l'avoir traité de petit con

on peut pas re-éditer son post

j'ai bien compris ce qu'il voulait faire ceci dit et j'espère qu'il reviendra et oubliera ...

mais qu'il évite de faire ses commentaires à la con ... car tout le monde n'est pas aussi gentil et compréhensible que moi

je retourne à ma zic

j'ecoute ma zic de oufff

Trisomie 21 The Last Song  

Posté par
Robotre : Géom dans l'espace: amener un vecteur dans un plan 25-06-15 à 23:20

Jerome_jh, il vaut mieux ne pas résonner, mais raisonner.
Ceci dit, et étant bien d'accord qu'amethyste est légèrement pénible, l'angle de rotation d'axe dirigé et orienté par \vec{AB} est l'angle des vecteurs \vec{AB}\wedge \vec v et \vec{AB}\wedge \vec{AC} (modulo un plat)

Posté par Profil amethystere : Géom dans l'espace: amener un vecteur dans un plan 26-06-15 à 06:18

bon je donne l'énoncé tel que retraduis comme je le comprend

ENONCE que je donne en deux morceaux et résolvant d'abord le premier morceau avant de passer au morceau suivant

premier morceau de l'enoncé

on se donne trois points A,B,C distincts de l'espace affine et tels que les vecteurs
  \overrightarrow {AB} et \overrightarrow {AC} ne sont pas colinéaires

à partir des trois points A,B,C construire une base \mathcal {B}=\begin {pmatrix}\mathcal {B}_{11} &\mathcal {B}_{12}& \mathcal {B}_{13}\\ \mathcal {B}_{21}&\mathcal {B}_{22}&\mathcal {B}_{23} \\ \mathcal {B}_{31}&\mathcal {B}_{32}&\mathcal {B}_{33} \end {pmatrix} de l'espace vectoriel telle que celle-ci soit une rotation de la base canonique donc telle que

det (\mathcal {B})=1 le determinant de cette base est l'unité  

et pour ce qui suit on pose le symbole \langle x,y\rangle produit scalaire euclidien de x et y

\langle \begin {pmatrix}\mathcal {B}_{11}  \\ \mathcal {B}_{21}  \\ \mathcal {B}_{31} \end {pmatrix},\begin {pmatrix} \mathcal {B}_{12} \\ \mathcal {B}_{22}  \\  \mathcal {B}_{32}  \end {pmatrix} \rangle =0

\langle \begin {pmatrix}\mathcal {B}_{11}  \\ \mathcal {B}_{21}  \\ \mathcal {B}_{31} \end {pmatrix},\begin {pmatrix} \mathcal {B}_{13} \\ \mathcal {B}_{23}  \\  \mathcal {B}_{33}  \end {pmatrix} \rangle =0


\langle \begin {pmatrix}\mathcal {B}_{12}  \\ \mathcal {B}_{22}  \\ \mathcal {B}_{32} \end {pmatrix},\begin {pmatrix} \mathcal {B}_{13} \\ \mathcal {B}_{23}  \\  \mathcal {B}_{33}  \end {pmatrix} \rangle =0

\langle \begin {pmatrix}\mathcal {B}_{11}  \\ \mathcal {B}_{21}  \\ \mathcal {B}_{31} \end {pmatrix},\begin {pmatrix} \mathcal {B}_{11} \\ \mathcal {B}_{21}  \\  \mathcal {B}_{31}  \end {pmatrix} \rangle =1

\langle \begin {pmatrix}\mathcal {B}_{12}  \\ \mathcal {B}_{22}  \\ \mathcal {B}_{32} \end {pmatrix},\begin {pmatrix} \mathcal {B}_{12} \\ \mathcal {B}_{22}  \\  \mathcal {B}_{32}  \end {pmatrix} \rangle =1

\langle \begin {pmatrix}\mathcal {B}_{13}  \\ \mathcal {B}_{23}  \\ \mathcal {B}_{33} \end {pmatrix},\begin {pmatrix} \mathcal {B}_{13} \\ \mathcal {B}_{23}  \\  \mathcal {B}_{33}  \end {pmatrix} \rangle =1

résolution du premier morceau de l'enoncé

tout d'abord on pose le vecteur unitaire

\begin {pmatrix}\mathcal {B}_{11}  \\ \mathcal {B}_{21}  \\ \mathcal {B}_{31} \end {pmatrix}=\frac {1}{\sqrt {\langle \overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AB} \rangle }}\overrightarrow {AB}

puis on pose le vecteur

\overrightarrow {V_a}=\langle \overrightarrow {AB},\overrightarrow {AB}\rangle \overrightarrow {AC}-\langle     \overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \rangle \overrightarrow {AB}

ce faisant étant donné que les vecteurs   \overrightarrow {AB} et \overrightarrow {AC} ne sont pas colinéaires alors on vérifie

\langle \overrightarrow {V_a} ,\overrightarrow {V_a} \rangle \neq 0

mais pas seulement puisque en plus là on verifie aussi

\langle \overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {V_a} \rangle = 0

les deux vecteurs   \overrightarrow {AB}    et \overrightarrow {V_a}   sont orthogonaux

et on pose le vecteur unitaire

\begin {pmatrix}\mathcal {B}_{12}  \\ \mathcal {B}_{22}  \\ \mathcal {B}_{32} \end {pmatrix}=\frac {1}{\sqrt {\langle \overrightarrow {V_a} ,\overrightarrow {V_a} \rangle }}\overrightarrow {V_a}

et enfin on pose le vecteur unitaire

\begin {pmatrix} \mathcal {B}_{13} \\ \mathcal {B}_{23}  \\  \mathcal {B}_{33}  \end {pmatrix} =\begin {pmatrix}\mathcal {B}_{11}  \\ \mathcal {B}_{21}  \\ \mathcal {B}_{31} \end {pmatrix} \wedge \begin {pmatrix}\mathcal {B}_{12}  \\ \mathcal {B}_{22}  \\ \mathcal {B}_{32} \end {pmatrix}  


le symbole wedge pour produit vectoriel je précise cela car en aparté ->

______________________________

entre parenthèses faut faire attention avec l'emplois du symbole wedge \wedge si on ne précise pas de suite et juste à coté qu'on parle du produit vectoriel et pas de ...

car àce qu'il parait dans une certaine nation tres connue -les usa-  ce symbole est utilisé pour signifier le produit exterieur et qui constitue une loi multiplicative d'une algebre exterieure  d'un espace vectoriel

les américains remplacent le wedge du produit vectoriel par le symbole \times ce que je faisais avant

alors que je n'ai jamais mis les pieds aux usa car c'est un pays situé tres tres tres loin , situé au delà de l'Oural  dans la direction de l'ouest et que j'ai pas de bus  pour aller jusqu'au versant oriental de l'oural puisque je suis en France et que c'est idiot d'aller dans un des bourbiers d'anna si on y est pas obligé

dans le même temps j'ai aucune raison de les imiter : je les connais pas lollll  

_______________________________

deuxième morceaux de l'énoncé

on se donne un vecteur unitaire \overrightarrow {V}

et considérant le point defini par E_O=A+\overrightarrow {V}

donner les coordonnées sous forme trigonométrque du point E par rapport au repere \{A,\mathcal {B}\} donc d'origine A

résolution du premier morceau de l'enoncé

on note E =\begin {pmatrix}e_{12}  \\ e_{22}  \\ e_{32} \end {pmatrix}=\mathcal {B}^{-1}\overrightarrow {AE_O}=\mathcal {B}^{-1}\overrightarrow {V}

à présent il ne reste plus qu'à écrire les composantes e_i sous une forme trigonométrique

une chose à remarquer c'est que l'on vérifie

e_{1}^2+e_{2}^2+e_{3}^2=1

et en fait on peut poser

e_{1}=cos (\theta_1).cos (\theta_2)

e_{2}=sin (\theta_1).cos (\theta_2)

e_{3}=sin (\theta_2)

pour determiner les angles \theta_i

on va au préalable poser les angles que l'on note  \varphi_i

\varphi _1=arccos \begin {pmatrix}\frac {e_1}{\sqrt {e_{1}^2+e_{2}^2}}\end {pmatrix}

\varphi _2=arccos \begin {pmatrix}\frac {\sqrt {e_{1}^2+e_{2}^2}}{\sqrt {e_{1}^2+e_{2}^2+e_{3}^2}}\end {pmatrix}

en fait on vérifie

cos(\varphi _1)=\frac {e_1}{\sqrt {e_{1}^2+e_{2}^2}}  et sin(\varphi _1)=\frac {|e_2|}{\sqrt {e_{1}^2+e_{2}^2}}

cos(\varphi _2)=\frac {\sqrt {e_{1}^2+e_{2}^2}}{\sqrt {e_{1}^2+e_{2}^2+e_{3}^2}}  et sin(\varphi _2)=\frac {|e_3|}{\sqrt {e_{1}^2+e_{2}^2+e_{3}^2}}


premier cas : lorsque e_{1}^2+e_{2}^2=0 et v_3>0 on pose \theta_1=0 et \theta_2=\varphi _2

deuxième  cas : lorsque e_{1}^2+e_{2}^2=0 et v_3<0 on pose \theta_1=0 et \theta_2=-\varphi _2

troisième cas : lorsque e_{1}^2+e_{2}^2>0 et v_2\geq 0 et v_3 \geq 0on pose \theta_1=\varphi _1 et \theta_2=\varphi _2

quatrième cas : lorsque e_{1}^2+e_{2}^2>0 et v_2\geq 0 et v_3< 0on pose \theta_1=\varphi _1 et \theta_2=-\varphi _2

cinquième cas : lorsque e_{1}^2+e_{2}^2>0 et v_2<0 et v_3 \geq 0on pose \theta_1=-\varphi _1 et \theta_2=\varphi _2

sixième cas : lorsque e_{1}^2+e_{2}^2>0 et v_2<0 et v_3< 0on pose \theta_1=-\varphi _1 et \theta_2=-\varphi _2

voilà c'est terminé








  

Posté par Profil amethystere : Géom dans l'espace: amener un vecteur dans un plan 26-06-15 à 07:47

... évidemment la solution que je viens de donner est faite selon ce que je comprend de l'énoncé

et grâce à ces angles là on peut les faire varier et faire bouger le segment de droite AE à sa guise

(le point A lui restant toujours fixe)

Posté par
jerome_jhre : Géom dans l'espace: amener un vecteur dans un plan 26-06-15 à 13:49

lafol:
> par ailleurs, entre ton premier et ton deuxième post, le transformé du vecteur v par la rotation que tu cherches est passé de parallèle au plan (ABC) à orthogonal au plan (ABC)

Oh la bourde. Il fallait lire: (R.V).n=0 (le second produit étant un produit scalaire).
Ca explique qu'après j'ai eu quelques problèmes, voir la suite.

Robot:
> il vaut mieux ne pas résonner, mais raisonner.

Les deux sont grammaticalement corrects.

> l'angle de rotation d'axe dirigé et orienté par \vec{AB} est l'angle des vecteurs \vec{AB}\wedge \vec v et \vec{AB}\wedge \vec{AC} (modulo un plat)

Oui ça me semble aussi, mais je ne sais pas où ça nous même. J'ai l'impression qu'on a juste fait pivoter le problème de pi/2

amethyste:
Je t'aurais bien donné une base orthonormée directe si tu m'avais demandé. Je ne suis pas à ça près.

Pour la deuxième partie, je n'ai pas pu refaire les calculs (la trigo, comme ça le matin, à mon age ...). Et pour les angles theta[i] phi[i], je ne parviens pas à voir ce qu'ils représentent, géométriquement. Donc du coup je me demande bien où est l'angle que je recherche.

Donc voici la troisième partie de l'énoncé:

Dans le repère \{A,\mathcal {B}\} exprimer la rotation d'axe orienté \vec{AB}, en s'attachant surtout à connaître son angle direct alpha > 0, par laquelle le point E a pour image le point E' tel que: <\vec{AE'}, \vec{AB}\wedge\vec{AC}> = 0

Bon sinon hier soir, puis ce matin après avoir corrigé l'erreur relevée par lafol, j'ai rentré tout le bazar en symbolique dans l'ordinateur et résolu directement l'équation <(R.V),AB^AC> = 0
Sachant que R, la matrice de rotation, dépend de AB et de l'angle que je cherche.
Ca me sort une formule de 3km de long qui fonctionne sur un exemple, et qui donc probablement fonctionnera sur plein d'autres cas intéressants pour moi ... jusqu'à ce que j'aperçoive des bugs.

J'aimerais bien une solution plus esthétique

Posté par Profil amethystere : Géom dans l'espace: amener un vecteur dans un plan 26-06-15 à 14:04

salut camarade

là j'ai pris uniquement objets que tu donne points ABC et le vecteur V uniquement

j'ai construit une base avec le produit vectoriel

à présent

t'a plus qu'à mettre ce segment AE (attention c'est un segment de droite et non un vecteur ) en mouvement -le point a étant fixe seul E bouge selon la valeur des angles theta - comme tu veux (le mettre coplanaire au plan formé par tes trois points ABC si tu veut bref tout faire avec )

ça marche ! bon c'est juste un peu bourrin à lire mais bon

fait étape par etape sans comprendre puis une fois que tu aura vérifié

là je t'expliquerai le procédé (qui n'est pas compliqué )

excuse pour hier soir ... bon à plus camarade chef

Posté par
Robotre : Géom dans l'espace: amener un vecteur dans un plan 26-06-15 à 14:14

Citation :
Oui ça me semble aussi, mais je ne sais pas où ça nous même. J'ai l'impression qu'on a juste fait pivoter le problème de pi/2

Ca mène à la solution complète de ton problème : tu as l'axe et l'angle de rotation que tu peux calculer (je ne te ferai pas l'injure de penser que tu ne peux pas le calculer facilement à partir de ce que j'ai écrit). N'est-ce pas ce que tu demandais ? Que voulais-tu d'autre ?

Posté par Profil amethystere : Géom dans l'espace: amener un vecteur dans un plan 26-06-15 à 14:20

bon et j'oubliais ...

pour voir ce que ça donne donne toi deux vecteur V et W tels que l'angle formé entre ces deux vecteurs est tres proche de 0 et regarde les differences entre les angles theta ceux de V par rapport à ceux de W

n'oublie pas non plus que pour determiner les theta tu doit d'abord determiner les angles Phi

et appliquer la regle des six conditions que je t'ai donné

une fois que tu aura vu un peu  ce que ça donne je t'explique les etapes

ceci dit là enfait ton angle alpha (puisque tu ne parle que de lui ) il n'a pas de raison d'etre à moins que tu considere que c'est l'angle forme par ton vecteur V et l'un des axes de ton referentiel

met ça en calcul et regarde !

pour l'explication tu verra plus tard (et c'est pas compliqué)

Posté par Profil amethystere : Géom dans l'espace: amener un vecteur dans un plan 26-06-15 à 14:32

et pour éviter les confusions une fois que tu a definis tes deux vecteur V et W presques colinéaires

cela correspondra en fait à un segment de droite AE (pour le vecteur V que tu te donne au debut)

et un autre segment de droite AF (pour l'autre vecteur W que tu te donne à la premeiere etape au debut )

bon là j'y vais et applique regarde et pour l'explication c'est plus tard et c'est pas compliqué c'est juste bourrin)

désolé pour hier soir mais j'ai pas dormis donc cette nuit j'ai écrit ça pour oublier les miseres que je t'ai dit hier soir

Posté par
jerome_jhre : Géom dans l'espace: amener un vecteur dans un plan 26-06-15 à 14:41

Bon si je ne dis pas de bétises:

cos(alpha) = e1 / ||e|| = e1

Posté par
jerome_jhre : Géom dans l'espace: amener un vecteur dans un plan 26-06-15 à 14:45

Oui bon en fait le alpha de cos(alpha)=e1 n'est pas la alpha que je cherche (ce n'est pas l'angle de rotation) mais il m'intéresse car c'est lui qui me permet de tracer E' dans le plan (ABC).
Bon je crois que je ne suis pas loin. Merci. Je reviens que j'ai un truc qui marche.

Posté par Profil amethystere : Géom dans l'espace: amener un vecteur dans un plan 26-06-15 à 14:47

non ça n'a pas d'interêt voire de sens puisque tu ne dit pas que c'est l'angle entre le vecteur V en fait je devrai dire entre le segment AE et sans présiser l'axe du referentiel

pourquoi ne prend tu pas ton temps pour appliquer les formules que je t'ai donné et voir ce que cela donne

ensuite si tu tiens à calculer un angle entre ton segment et l'un des referenciels

pour deplacer ton segment dans les trois dimensions tu as besoin de deux angles et ce sont les angles theta que je t'ai donné le moyen de determiner

c'est du cléf en main là que je t'ai filé

applique et regarde puis comprend (et là je t'expliquerai mais tu doit y mettre du tiens)

Posté par
ThierryPomare : Géom dans l'espace: amener un vecteur dans un plan 26-06-15 à 21:43

Bonsoir,

Que penser de l'intervention de Robot du 25-06-15 à 23:20 ?

Bonne nuit !

Posté par
Robotre : Géom dans l'espace: amener un vecteur dans un plan 26-06-15 à 22:00

La tangente de l'angle cherché (avec les notations évidentes) :

Géom dans l\'espace: amener un vecteur dans un plan

Posté par Profil amethystere : Géom dans l'espace: amener un vecteur dans un plan 26-06-15 à 22:01

salut

cette nuit là  j'ai posté le long post donnant la solution de ce probleme selon l'interpretation de ce que j'ai compris de l'enoncé (en fait j'avais pas dormi car je m'étais un peu enervé contre lui quand il parle de points colineaires etque j'ai regretté de lui avoir dit ça et que pour me faire pardonner j'ai posté la solution )

il se trouve que ma solution conviens à l'auteur de ce topic (enfin je pense j'attend encore ...)

ceci dit comme Robot pour le resoudre j'utilise le produit vectoriel puisque je m'en tiens à ce que donne l'auteur du topic à savoir :

trois points A,B,C et un vecteur V (et rien d'autre)

donc j'ai pas trop le choix j'ai employé le produit vectoriel

à present je passe à autre chose , j'attend juste les demandes d'explication de l'auteur du topic pour que je lui explique les etapes de mon calcul

Posté par
lafol Moderateurre : Géom dans l'espace: amener un vecteur dans un plan 26-06-15 à 22:36

Citation :
> il vaut mieux ne pas résonner, mais raisonner.

Les deux sont grammaticalement corrects.


grammaticalement, certes ! mais les deux sont loin de signifier la même chose : ordinairement, ce sont les cloches, qui résonnent longuement dans nos oreilles .... les individus doués de raison, eux, préfèrent raisonner ...

Posté par Profil amethystere : Géom dans l'espace: amener un vecteur dans un plan 27-06-15 à 04:30

pardon Robot mais ce que tu as écrit est illisible  

de plus il serait bien de retraduire l'enoncé mal formulé de l'auteur du topic

et faudra lui faire abandonner cette idée d'angle \alpha unique (on est ici dans l'espace affine à trois dimensions)

ne m'en veux pas ... (j'ai déjà été assez méchant comme ça avec lui, et ma solution essaye de me racheter pour cela   )

là c'est mieux car c'est tres lisible ->

ENONCE que je donne en deux morceaux et résolvant d'abord le premier morceau avant de passer au morceau suivant

premier morceau de l'enoncé

on se donne trois points A,B,C distincts de l'espace affine et tels que les vecteurs
  \overrightarrow {AB} et \overrightarrow {AC} ne sont pas colinéaires

à partir des trois points A,B,C construire une base \mathcal {B}=\begin {pmatrix}\mathcal {B}_{11} &\mathcal {B}_{12}& \mathcal {B}_{13}\\ \mathcal {B}_{21}&\mathcal {B}_{22}&\mathcal {B}_{23} \\ \mathcal {B}_{31}&\mathcal {B}_{32}&\mathcal {B}_{33} \end {pmatrix} de l'espace vectoriel telle que celle-ci soit une rotation de la base canonique donc telle que

det (\mathcal {B})=1 le determinant de cette base est l'unité  

et pour ce qui suit on pose le symbole \langle x,y\rangle produit scalaire euclidien de x et y

\langle \begin {pmatrix}\mathcal {B}_{11}  \\ \mathcal {B}_{21}  \\ \mathcal {B}_{31} \end {pmatrix},\begin {pmatrix} \mathcal {B}_{12} \\ \mathcal {B}_{22}  \\  \mathcal {B}_{32}  \end {pmatrix} \rangle =0

\langle \begin {pmatrix}\mathcal {B}_{11}  \\ \mathcal {B}_{21}  \\ \mathcal {B}_{31} \end {pmatrix},\begin {pmatrix} \mathcal {B}_{13} \\ \mathcal {B}_{23}  \\  \mathcal {B}_{33}  \end {pmatrix} \rangle =0


\langle \begin {pmatrix}\mathcal {B}_{12}  \\ \mathcal {B}_{22}  \\ \mathcal {B}_{32} \end {pmatrix},\begin {pmatrix} \mathcal {B}_{13} \\ \mathcal {B}_{23}  \\  \mathcal {B}_{33}  \end {pmatrix} \rangle =0

\langle \begin {pmatrix}\mathcal {B}_{11}  \\ \mathcal {B}_{21}  \\ \mathcal {B}_{31} \end {pmatrix},\begin {pmatrix} \mathcal {B}_{11} \\ \mathcal {B}_{21}  \\  \mathcal {B}_{31}  \end {pmatrix} \rangle =1

\langle \begin {pmatrix}\mathcal {B}_{12}  \\ \mathcal {B}_{22}  \\ \mathcal {B}_{32} \end {pmatrix},\begin {pmatrix} \mathcal {B}_{12} \\ \mathcal {B}_{22}  \\  \mathcal {B}_{32}  \end {pmatrix} \rangle =1

\langle \begin {pmatrix}\mathcal {B}_{13}  \\ \mathcal {B}_{23}  \\ \mathcal {B}_{33} \end {pmatrix},\begin {pmatrix} \mathcal {B}_{13} \\ \mathcal {B}_{23}  \\  \mathcal {B}_{33}  \end {pmatrix} \rangle =1

résolution du premier morceau de l'enoncé

tout d'abord on pose le vecteur unitaire

\begin {pmatrix}\mathcal {B}_{11}  \\ \mathcal {B}_{21}  \\ \mathcal {B}_{31} \end {pmatrix}=\frac {1}{\sqrt {\langle \overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AB} \rangle }}\overrightarrow {AB}

puis on pose le vecteur

\overrightarrow {V_a}=\langle \overrightarrow {AB},\overrightarrow {AB}\rangle \overrightarrow {AC}-\langle     \overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \rangle \overrightarrow {AB}

ce faisant étant donné que les vecteurs   \overrightarrow {AB} et \overrightarrow {AC} ne sont pas colinéaires alors on vérifie

\langle \overrightarrow {V_a} ,\overrightarrow {V_a} \rangle \neq 0

mais pas seulement puisque en plus là on verifie aussi

\langle \overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {V_a} \rangle = 0

les deux vecteurs   \overrightarrow {AB}    et \overrightarrow {V_a}   sont orthogonaux

et on pose le vecteur unitaire

\begin {pmatrix}\mathcal {B}_{12}  \\ \mathcal {B}_{22}  \\ \mathcal {B}_{32} \end {pmatrix}=\frac {1}{\sqrt {\langle \overrightarrow {V_a} ,\overrightarrow {V_a} \rangle }}\overrightarrow {V_a}

et enfin on pose le vecteur unitaire

\begin {pmatrix} \mathcal {B}_{13} \\ \mathcal {B}_{23}  \\  \mathcal {B}_{33}  \end {pmatrix} =\begin {pmatrix}\mathcal {B}_{11}  \\ \mathcal {B}_{21}  \\ \mathcal {B}_{31} \end {pmatrix} \wedge \begin {pmatrix}\mathcal {B}_{12}  \\ \mathcal {B}_{22}  \\ \mathcal {B}_{32} \end {pmatrix}  


le symbole wedge pour produit vectoriel je précise cela car en aparté ->

______________________________

entre parenthèses faut faire attention avec l'emplois du symbole wedge \wedge si on ne précise pas de suite et juste à coté qu'on parle du produit vectoriel et pas de ...

car àce qu'il parait dans une certaine nation tres connue -les usa-  ce symbole est utilisé pour signifier le produit exterieur et qui constitue une loi multiplicative d'une algebre exterieure  d'un espace vectoriel

les américains remplacent le wedge du produit vectoriel par le symbole \times ce que je faisais avant

alors que je n'ai jamais mis les pieds aux usa car c'est un pays situé tres tres tres loin , situé au delà de l'Oural  dans la direction de l'ouest et que j'ai pas de bus  pour aller jusqu'au versant oriental de l'oural puisque je suis en France et que c'est idiot d'aller dans un des bourbiers d'anna si on y est pas obligé

dans le même temps j'ai aucune raison de les imiter : je les connais pas lollll  

_______________________________

deuxième morceaux de l'énoncé

on se donne un vecteur unitaire \overrightarrow {V}

et considérant le point defini par E_O=A+\overrightarrow {V}

donner les coordonnées sous forme trigonométrque du point E par rapport au repere \{A,\mathcal {B}\} donc d'origine A

résolution du premier morceau de l'enoncé

on note E =\begin {pmatrix}e_{12}  \\ e_{22}  \\ e_{32} \end {pmatrix}=\mathcal {B}^{-1}\overrightarrow {AE_O}=\mathcal {B}^{-1}\overrightarrow {V}

à présent il ne reste plus qu'à écrire les composantes e_i sous une forme trigonométrique

une chose à remarquer c'est que l'on vérifie

e_{1}^2+e_{2}^2+e_{3}^2=1

et en fait on peut poser

e_{1}=cos (\theta_1).cos (\theta_2)

e_{2}=sin (\theta_1).cos (\theta_2)

e_{3}=sin (\theta_2)

pour determiner les angles \theta_i

on va au préalable poser les angles que l'on note  \varphi_i

\varphi _1=arccos \begin {pmatrix}\frac {e_1}{\sqrt {e_{1}^2+e_{2}^2}}\end {pmatrix}

\varphi _2=arccos \begin {pmatrix}\frac {\sqrt {e_{1}^2+e_{2}^2}}{\sqrt {e_{1}^2+e_{2}^2+e_{3}^2}}\end {pmatrix}

en fait on vérifie

cos(\varphi _1)=\frac {e_1}{\sqrt {e_{1}^2+e_{2}^2}}  et sin(\varphi _1)=\frac {|e_2|}{\sqrt {e_{1}^2+e_{2}^2}}

cos(\varphi _2)=\frac {\sqrt {e_{1}^2+e_{2}^2}}{\sqrt {e_{1}^2+e_{2}^2+e_{3}^2}}  et sin(\varphi _2)=\frac {|e_3|}{\sqrt {e_{1}^2+e_{2}^2+e_{3}^2}}


premier cas : lorsque e_{1}^2+e_{2}^2=0 et v_3>0 on pose \theta_1=0 et \theta_2=\varphi _2

deuxième  cas : lorsque e_{1}^2+e_{2}^2=0 et v_3<0 on pose \theta_1=0 et \theta_2=-\varphi _2

troisième cas : lorsque e_{1}^2+e_{2}^2>0 et v_2\geq 0 et v_3 \geq 0on pose \theta_1=\varphi _1 et \theta_2=\varphi _2

quatrième cas : lorsque e_{1}^2+e_{2}^2>0 et v_2\geq 0 et v_3< 0on pose \theta_1=\varphi _1 et \theta_2=-\varphi _2

cinquième cas : lorsque e_{1}^2+e_{2}^2>0 et v_2<0 et v_3 \geq 0on pose \theta_1=-\varphi _1 et \theta_2=\varphi _2

sixième cas : lorsque e_{1}^2+e_{2}^2>0 et v_2<0 et v_3< 0on pose \theta_1=-\varphi _1 et \theta_2=-\varphi _2

voilà c'est terminé

Posté par
Robotre : Géom dans l'espace: amener un vecteur dans un plan 27-06-15 à 09:22

Amethyste, tu n'as pas répondu à la question : quel est l'angle (il s'agit bien d'un seul angle, défini modulo un plat) de la rotation d'axe (AB) qui amène le vecteur v parallèle au plan (ABC) ?
J'y ai répondu le 25-06-15 à 23:20, et j'ai donné plus haut la formule (horrible) donnant la tangente de cet angle en fonction des coordonnées de A, B, C et de v.

Posté par Profil amethystere : Géom dans l'espace: amener un vecteur dans un plan 27-06-15 à 12:50

Robot ah désolé

j'avais pas compris que tu parlais de ça (et moi d'autre chose qui n'a rien à voir)  

bon je le met ensemble  

l'angle de rotation d'axe dirigé et orienté par \vec{AB} est l'angle des vecteurs \vec{AB}\wedge \vec v et \vec{AB}\wedge \vec{AC} (modulo un plat)

La tangente de l'angle cherché (avec les notations évidentes) :

Géom dans l\'espace: amener un vecteur dans un plan










Posté par Profil amethystere : Géom dans l'espace: amener un vecteur dans un plan 27-06-15 à 18:06

ta solution c'est bon pour moi camarade Robot

  c'est toi qui as bien saisi l'enoncé  (c'est utile pour moi de traduire des énoncés de géométrie un peu flous alors merci)

et j'espère qu'il a vu ce que tu as fait ->

l'angle de rotation d'axe dirigé et orienté par \vec{AB} est l'angle des vecteurs \vec{AB}\wedge \vec v et \vec{AB}\wedge \vec{AC} (modulo un plat)

La tangente de l'angle cherché (avec les notations évidentes) :

Géom dans l\'espace: amener un vecteur dans un plan

Posté par
Robotre : Géom dans l'espace: amener un vecteur dans un plan 27-06-15 à 18:23

Recopier les choses comme ça (et plusieurs fois !) n'apporte rien de plus, et contribue juste à rendre le fil encore plus illisible.

Posté par Profil amethystere : Géom dans l'espace: amener un vecteur dans un plan 27-06-15 à 18:31

oui peut être...

je ne voyais pas moi même (ceci dit tout le monde n'est pas comme moi certes) que tu avais donné la solution et si des fois il viens il verra bien qu'elle est là!

en tout cas moi ça me servira alors merci Robot!


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