Le changement de fonction inconnue   peut faire des miracles.

N'aurais-tu pas une'tite indication dans ce sens ,

Nop, désolé Robot, j'ai eu beau essayer, ça marche pas avec ça semble-t-il...

En fait dans la réponse il apparaît un cosinus, se sont-ils trompés dans la formulation de l'équation (erreur de frappe peut-être...) ? Mais la réponse est sensée être :

Ca marche très bien avec mon indication. Si tu as vraiment essayé, tu as dû te tromper dans tes calculs.
Si , alors    et   . Reporter dans l'équa diff

Pour éviter de se limiter aux y > 0, poser y = k/t² (avec k un réel)

y' = ...
y'' = ...

L'équation est alors ramenée à : t'' + t = 0
p²+1 = 0 --> p = +/- i

Les solutions sont : t = A.cos(x+B)

--> y = k/t² =  k/(A².cos²(x+B))

et en posant k/A² = C --> y(x) = C/cos²(x+B) avec B et C des constantes réelles.
*****
Encore faut-il que tu arrives à remplir les "..." c'est à dire arriver à faire les 2 dérivées sans erreurs.

J-P, je sais que tu ne lis pas les messages déjà apportés en réponse. Dommage, tu aurais pu voir que tu n'apportes pas autre chose que ce que j'ai déjà écrit.

Bon, si, tu ajoutes la constante ... OK, au temps pour moi.

L'étude de l'ED proposée demande quand même un peu de soin .


  Soient U un intervalle ouvert non vide et S(U) l'ensemble des y : U qui sont 2 fois dérivables et qui vérifient   .
On remarque tout de suite que S(U) contient l'application nulle , est stable par les homothéties u .u ( ) et que pour tour r y y(r + .) est bijective de  S(U) sur S(U - r)


Soit y un élément non nul de S(U) . { x U | y(x) 0 ] est donc un  ouvert non vide contenu dans U .
  Soit V une de ses composantes connexes . Sur V , y ne s'annulant pas , y garde un signe constant .Supposons qu'elle soit toujours > 0 (sinon on remplace y par -y) . On peut essayer de voir , un réel a non nul étant donné ce que vérifie z = y^1/a . Or si  y = z^a on a : y' = az'z^a-1 , z" = az"z^a-1 + a(a-1)(z')²z^a-2 et si on reporte dans l'ED , le coefficient de (z')² est 2a(a-1) - 3a²)z^2a-2 . Pour le faire disparaître il suffit que a = -2 et alors (miracolo !) z vérifie z" + z = 0  et il existe  c et d réels tels que  c > 0 et z(x) = c.cos(x + d) pour tout x de V .
On peut même supposer  d = 0 , quitte à remplacer U par U + d , V par V + d , y par x y(x - d)
Ainsi y(x) = c/cos²(x) pour tout x de V .
Maintenant :  sup(V) , pas plus que Inf(V) , ne peut appartenir à U .
Supposons en effet que s = Sup(V) ou Inf(V)  appartienne à U .
Alors y(s) = 0 et z(x) + quand x s en restant dans V . C'est contradictoire .
On a donc V = U et par ailleurs U7 est conte,u dans l'un des intervalles ]-/2 + n , /2 + n[  (n )


La conclusion de cette analyse :
  A part la solution ( , x 0) , toute solution  maximale  de l'ED est l'une des (]-/2 + n + d , /2 + n + d[ , x /cos²(x - d))  ( d , * )


La synthèse (la réciproque) consiste à voir si  l'aplication f : ]-/2 , /2[ , x 1/cos²(x) vérifie .
C'est le cas !

Merci à chacun pour vos précieuses instructions.

En effet au passage : miracolo !