Erf .... po de réponse si qqun passe par la

Merci d'avance

@+

Bonsoir spirit

Soir (u,v) un couple solution.
Alors on a .
D'où l'on déduit .

Tu continues ?

Kaiser

Salut,
Sert toi du théorème de gauss ensuite pour dire que u-u1 = kb et v-v1=ka.

Merci je vais regarder cela ...

@+

Bonjour tout le monde, je re-up le topic en complétant l'énoncé du sujet.

Soit a et b deux entiers strictement superieurs à 1 et premiers entre eux.
Et (u1, v1) le couple d'entiers relatifs, solutions de l'equation :
au+bv=1 (E)

a. Demontrer que tout couple solution (u,v) est tel que :
u=u1 + kb
v=v1 + ka

b. Soit u0 le reste de la division euclidienne de u1 par b
Demontrer que 0<u₀<b

c. Démontrer qu'il existe un entier relatif v₀ tel que (u₀,v₀) soit solution de (E)

d. exprimer v0 en fonction de u0 et démontrer  que -a<v0<0

e. on suppose que b=5; donner les valeurs possibles pour u0.
En déterminant lequel des nombres 1-a ; 1-2a ; 1-3a ; 1-4a  est divisible par 5, dire comment on peut déterminer u0.
Déterminer u0 et v0 pour a=19.

f.Dans le cas où a et b ne sont pas premiers entre eux, démontrer que l'équation au+bv=PGCD(a;b) se ramène à la précédente en divisant les deux membres par PGCD(a;b)



Pour a. apparemment certain ont déjà répondu mais pourrais-je avoir une explication plus appronfondie?

Pour b.euh pas compris...

pour c. j'ai trouver (u0 = u1-bq ; v0 = v1-aq), c'est correct ou pas?

pour d. je partirai de au0 +bv0 =1 <=> bv0 = 1-au0 et après 1-au0<0 donc bv0<0 donc v0<0
et u0<b donc au0<ab donc 1-au0 > 1-ab donc bv0 > 1-ab > -ab donc v0>-a
c'est correct, y-t-il mieux?

pour e.en posant a=19 et b=5 et en utilisant au+bv=1 je trouve le couple (u0;v0)=(4; -15) mais j'ai chercher avec les toutes  combinaisons possibles, avez-vous mieux?

pour f. je suis perdu lol...