Produit scalaire (relation d euler)

Posté par Chokol8 Gurl (invité)

Mon exercice est sur la droite d'euler dans un triangle.

A.
1.A, B, C sont trois points distincs non alignés.
   Démontrez que le seul vecteur    tel que .
AB=0 et  . BC=0
est le vecteur non nul.

2.OBC est un triangle isocèle en O.Démontrez que :
( OB + OC).BC=0
[1]

B. ABC est un triangle et C son cercle circonscrit de centre O, H son
orthocentre et G son centre de gravité.

1.a) En utilisant la relation [1] et OH+OA=HA

démontrer que :
(HO+OA+OB+OC).Bc=0

de meme demontrer que :
(HO+OA+OB+OC).AB=0

En tenant compte de GA+GB+GC=0,
démontrer que :
OA+OB+OC=3OG

déduisez des questions précédentes que O, H et G sont trois points alignés.
Cette droite est appelée la droite d'euler du triangle ABC.

Posté par Océane Océane

Bonjour Chokol8 Gurl

- Partie A -
- Question 1 -
si .AB = 0,
alors les vecteurs et AB sont orthogonaux.

si .BC = 0,
alors les vecteurs et BC sont orthogonaux.

Comme les points A, B et C sont distincts et non alignés,
alors = 0


- Question 2 -


2.OBC est un triangle isocèle en O.Démontrez que :
(OB + OC).BC
= OB.BC + OC.BC
= OB×BC cos(OB,BC) + OC×BC cos(OC.BC)
= OB×BC cos 120 + OC×BC cos 60
= -OB×BC/2 + OC × BC/2
= 0

car OB = OC


Voilà déjà pour le début

Posté par Chokol8 Gurl (invité)

Merci beaucoup mais je voulais vous bloque particulièrement sur la
suite dont je ne comprend pas les questions. JE voulais sollicité
votre aide pour avoir quelques explications sur les questions car
je n'y arrive vraiment pas malgré mon acharnement

Merci de votre aide précieuse!

Posté par Océane Océane

Oui je fais la suite, j'ai juste eu un petit imprévu, mais ca
arrive

Posté par Océane Océane

- Partie B -
- Question 1 - a) -
(HO + OA + OB + OC).BC
= HO.BC + OA.BC + (OB+ OC).BC
= HO.BC + OA.BC + 0
= HO.BC + (OH + HA).BC
= HO.BC - HO.BC + HA.BC
= HA.BC
= 0
(car (AH) est la hauteur issue de A)



Par un raisonnement analogue, tu montres que :
(HO + OA + OB + OC).AB = 0


OA + OB + OC
= OG + GA + OG + GB + OG + GC
= 3OG + GA + GB + GC
= 3OG + 0
= 3OG


De
(HO + OA + OB + OC).BC = 0
on en déduit que :
(HO + 3 OG).BC = 0
et de :
(HO + OA + OB + OC).AB = 0
on en déduit que :
(HO + 3OG).AB = 0

A l'aide de la partie A, on en déduit que :
HO + 3OG = 0

Les points O, G et H sont donc alignés.

Voilà pour la fin
A toi de tout reprendre, bon courage ...

Posté par Chokol8 Gurl (invité)

oh c'est trop genti j'aimerai tant savoir résoudre les
problèmes comme vous !!!! je trouve que ce site est particulièrement
super car il sauve la vie tous les jours a des dizaines d'élèves
et aident merveilleusement bien à comprendre les problèmes mathématiques!

Franchement je tiens à vous remercier mille fois car vous êtes géniaux !!! merci
de tout coeur !!!

Posté par Océane Océane

Merci, mais il ne faut quand même pas exagérer
On ne 'sauve' pas des vies, on essaie simplement de vous aider
un petit peu

@+

Posté par Emye Emye

Bonjour! J'ai aujourd'hui exactement le même exo pour mon dm de maths.
Je remerci par ailleurs Océane pour les réponses.
Mais je n'ai pas compris lors du raisonnement de la question 2, pourquoi on a cos (120) et cos (60)?
Le triangle est isocèle en O, il n'y a pas de mesure précise des angles ou meme de longueur...  

Posté par Emye Emye

quelqu'un peut-il m'expliquer SVP, je sais que l'exo à été traiter il y a longtemps mais je cherche juste à comprendre sans vouloir polluer ou gèner le forum...

Posté par Emye Emye

Sur un autre sujet, je vois une réponse à cette question différente mais tout aussi incompréhensible (pour moi bien sur ^^)

OBC est un triangle isocèle en O .  
montrer que ( OB + OC ) . BC=0  [1]

BC=OC-OB

donc
( OB + OC ) . BC=( OB + OC ) . (OC-OB)=OC²-OB²

comme le triangle OBC est isocèle donc OC²=OB²

donc

( OB + OC ) . BC=0  [1]

personne Y_Y