Raisonnement logique, contraposition
I. Valeurs de vérité des propositions
: implication
x : non x (contraire)
x : proposition
V : Vrai
F : Faux
pq | p | q | q | p | qp |
V | V | V | F | F | V |
F | V | F | V | F | F |
V | F | V | F | V | V |
V | F | F | V | V | V |
p
q est logiquement équivalent à
q
p
II. Exemple d'utilisation mathématique
Soit la fonction f définie sur
par f(x) = x². Soient a et b deux nombres réels.
La proposition suivante est-elle vraie ? :
si a
b alors f(a)
f(b)
Autrement dit si a
b alors a²
b²
Par contraposée logique :
Puisque p
q est logiquement équivalent à
q
p
Alors a² = b² est logiquement équivalent à a = b
Alors l'implication "si a
b alors a²
b²" est logiquement équivalente à l'implication "si a² = b² alors a = b"
a² = b² implique que a² - b² = 0 qui implique que (a - b)(a + b) = 0 qui implique que a = b OU a = -b
Pour qu'un produit de facteur soit nul, il faut que l'un des facteurs soit nul, donc cela peut très bien être (a+b) = 0 et non obligatoirement (a-b)=0
Puisque la contraposée est fausse, alors l'implication directe est fausse.
Donc la démonstration est fausse...
Donc si a
b alors a² peut être égal à b²
Exemple : a = -3 et b = 3
-3
3 donc a
b
(-3²) = 9
3² = 9
9 = 9 donc a² = b²