Raisonnement logique, contraposition

I. Valeurs de vérité des propositions

: implication
x : non x (contraire)
x : proposition
V : Vrai
F : Faux

pq	p	q	q	p	qp
V	V	V	F	F	V
F	V	F	V	F	F
V	F	V	F	V	V
V	F	F	V	V	V

pq est logiquement équivalent à qp

II. Exemple d'utilisation mathématique

Soit la fonction f définie sur par f(x) = x². Soient a et b deux nombres réels.
La proposition suivante est-elle vraie ? :
si a b alors f(a) f(b)
Autrement dit si a b alors a² b²

Par contraposée logique :
Puisque pq est logiquement équivalent à qp
Alors a² = b² est logiquement équivalent à a = b

Donc a² - b² = 0 est logiquement équivalent à a - b = 0
Donc (a-b)(a+b)=0 est logiquement équivalent de a-b = 0

Or pour qu'un produit de facteur soit nul, il faut que l'un des facteurs soit nul, donc cela peut très bien être (a+b) = 0 et non obligatoirement (a-b)=0

Donc la démonstration est fausse…
Donc si ab alors a² peut être égal à b²

Exemple : a = -3 et b = 3
-33 donc ab
(-3²) = 9
3² = 9
9 = 9 donc a = b

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© Tom_Pascal & Océane 2006