Fiche de mathématiques

Fonction inverse

Définition :

On nomme fonction inverse, la fonction définie sur $\mathbb{R}^*$ par $x \mapsto \dfrac{1}{x}$ .

Tableau de valeurs :

$x$	-3	-2	-1	-0,5	0,5	1	2	3
$\dfrac{1}{x}$	$-\dfrac{1}{3}$	$-\dfrac{1}{2}$	-1	-2	2	1	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{1}{3}$

Remarque : La fonction inverse n'est pas linéaire.
Cette fonction est impaire : pour tout $x$ , $f(-x) = -f(x)$ .

Représentation graphique : Fonction inverse - seconde : image 1

Définition :

La représentation graphique de la fonction inverse se nomme une hyperbole.

Remarque : L'origine est un point de symétrie de la représentation graphique de la fonction inverse.

Sens de variation : $\begin{tabvar}{|c|CCCCCCC|} \hline x & -\infty & & & 0 & & & +\infty \\ \hline x \mapsto \dfrac{1}{x} & \niveau{2}{2} 0 & \decroit & \niveau{1}{2} -\infty & \dbarre & \niveau{2}{2} +\infty & \decroit & \niveau{1}{2} 0 \\ \hline \end{tabvar}$

Fonctions se ramenant à la fonction inverse :

La représentation graphique de la fonction $x \mapsto \dfrac{1}{x-a}$ est l'image de la représentation graphique de la fonction inverse par une translation « horizontale » : Fonction inverse - seconde : image 2

La fonction $x \mapsto \dfrac{1}{x-3}$ est représentée par la courbe de la fonction inverse suivie d'une translation de vecteur $\vec{u} \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix}$ .
La fonction $x \mapsto \dfrac{1}{x+2}$ est représentée par la courbe de la fonction inverse suivie d'une translation de vecteur $\vec{v} \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \end{pmatrix}$ .
Exercice : Représenter la fonction $x \mapsto \dfrac{1}{x+3}$ .

La représentation graphique de la fonction $\dfrac{1}{x}+b$ est l'image de la représentation graphique de la fonction inverse par une translation « verticale » : Fonction inverse - seconde : image 3

La fonction $x \mapsto \dfrac{1}{x}+3$ est représentée par la courbe de la fonction inverse suivie d'une translation de vecteur $\vec{u} \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix}$ .
La fonction $x \mapsto \dfrac{1}{x}-2$ est représentée par la courbe de la fonction inverse suivie d'une translation de vecteur $\vec{u} \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \end{pmatrix}$ .
Exercice : Exercice : Représenter la fonction $x \mapsto \dfrac{1}{x}-1$ .

En général, la représentation graphique de toute fonction du type $x \mapsto \dfrac{1}{x-a}+b$ est l'image de la représentation graphique de la fonction inverse par une translation.

La fonction $x \mapsto \dfrac{1}{x+3}-1$ est représentée par la courbe de la fonction inverse suivie d'une translation de vecteur $\vec{u} \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \end{pmatrix}$ puis d'une translation de vecteur $\vec{v} \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix}$ . Fonction inverse - seconde : image 4

Exercice : Représenter la fonction $x \mapsto \dfrac{1}{x-2}+3$ .

Merci à muriel

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