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Fiche de mathématiques




Définition :
On nomme fonction inverse, la fonction définie sur \mathbb{R}^* par x \mapsto \dfrac{1}{x}.

Tableau de valeurs :
x -3 -2 -1 -0,5 0,5 1 2 3
\dfrac{1}{x} -\dfrac{1}{3} -\dfrac{1}{2} -1 -2 2 1 \dfrac{1}{2} \dfrac{1}{3}

Remarque : La fonction inverse n'est pas linéaire.
Cette fonction est impaire : pour tout x, f(-x) = -f(x).

Représentation graphique :
Fonction inverse - seconde : image 1
Définition :
La représentation graphique de la fonction inverse se nomme une hyperbole.

Remarque : L'origine est un point de symétrie de la représentation graphique de la fonction inverse.

Sens de variation :
\begin{tabvar}{|c|CCCCCCC|} \hline x & -\infty &  & & 0 & & & +\infty \\ \hline x \mapsto \dfrac{1}{x} & \niveau{2}{2} 0 & \decroit & \niveau{1}{2} -\infty & \dbarre & \niveau{2}{2} +\infty & \decroit & \niveau{1}{2} 0 \\ \hline \end{tabvar}


Fonctions se ramenant à la fonction inverse :


   * La représentation graphique de la fonction x \mapsto \dfrac{1}{x-a} est l'image de la représentation graphique de la fonction inverse par une translation « horizontale » :
Fonction inverse - seconde : image 2

La fonction x \mapsto \dfrac{1}{x-3} est représentée par la courbe de la fonction inverse suivie d'une translation de vecteur \vec{u} \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix}.
La fonction x \mapsto \dfrac{1}{x+2} est représentée par la courbe de la fonction inverse suivie d'une translation de vecteur \vec{v} \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \end{pmatrix}.
Exercice : Représenter la fonction x \mapsto \dfrac{1}{x+3}.


   * La représentation graphique de la fonction \dfrac{1}{x}+b est l'image de la représentation graphique de la fonction inverse par une translation « verticale » :
Fonction inverse - seconde : image 3

La fonction x \mapsto \dfrac{1}{x}+3 est représentée par la courbe de la fonction inverse suivie d'une translation de vecteur \vec{u} \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix}.
La fonction x \mapsto \dfrac{1}{x}-2 est représentée par la courbe de la fonction inverse suivie d'une translation de vecteur \vec{u} \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \end{pmatrix}.
Exercice : Exercice : Représenter la fonction x \mapsto \dfrac{1}{x}-1.


En général, la représentation graphique de toute fonction du type x \mapsto \dfrac{1}{x-a}+b est l'image de la représentation graphique de la fonction inverse par une translation.


La fonction x \mapsto \dfrac{1}{x+3}-1 est représentée par la courbe de la fonction inverse suivie d'une translation de vecteur \vec{u} \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \end{pmatrix} puis d'une translation de vecteur \vec{v} \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix}.
Fonction inverse - seconde : image 4

Exercice : Représenter la fonction x \mapsto \dfrac{1}{x-2}+3.



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