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Fiche de mathématiques





exercice 1

Résoudre dans \mathbb{R} les équations suivantes :
-7(2x - 3) + 5(4x + 1) = - 6x + 2\\ ( -3x + 4)(2x + 7) = 0\\ x^2 - 100 = 0\\ 9(x - 1)^2 - (x - 4)^2 = 0\\ \dfrac{3}{x + 2} - \dfrac{5}{x-2} = 0



exercice 2

Mise en équation
Le prix d'un article est de 180 €. Ce prix subit une majoration au taux de 25% puis une minoration à un taux inconnu, t%, sur le prix majoré.
Calculer t sachant que le prix de l'article est à nouveau 180 €.



exercice 1

* -7(2x - 3) + 5(4x + 1) = - 6x + 2
Cette équation est définie sur \mathbb{R}.
-7(2x - 3) + 5(4x + 1) = - 6x + 2\\ \Longleftrightarrow -7 \times 2x -7 \times (-3) + 5 \times 4x + 5\times1 = -6x + 2\\ \Longleftrightarrow -14x + 21 + 20x + 5 + 6x = 2\\ \Longleftrightarrow -14x + 20x + 6x = 2 - 21 - 5\\ \Longleftrightarrow 12x = -24\\ \Longleftrightarrow x = -\dfrac{24}{12}\\ \Longleftrightarrow x = -2
D'où : \mathcal{S} = \lbrace-2\rbrace

* \normalsize (- 3x + 4)(2x + 7) = 0
Cette équation est définie sur \mathbb{R}.
Si un produit de deux facteurs est nul, alors au moins l'un des facteurs est nul.
\normalsize (- 3x + 4)(2x + 7) = 0\\ \Longleftrightarrow -3x + 4 = 0 \text{ ou } 2x + 7 = 0\\ \Longleftrightarrow -3x = -4 \text{ ou } 2x = -7\\ \Longleftrightarrow x = \dfrac{-4}{-3} \text{ ou } x = \dfrac{-7}{2}\\ \Longleftrightarrow x = \dfrac{4}{3} \text{ ou } x = -\dfrac{7}{2}
D'où : \mathcal{S} = \lbrace -\dfrac{7}{2}; \dfrac{4}{3}\rbrace

* x^2 - 100 = 0
Cette équation est définie sur \mathbb{R}.
x^2 - 100 = 0\\ \Longleftrightarrow x^2 - 10^2 = 0
C'est une identité remarquable de la forme : a² - b² = (a - b)(a + b), donc :
x^2 - 100 = 0\\ \Longleftrightarrow (x - 10)(x + 10) = 0\\ \Longleftrightarrow x = 10 \text{ ou } x = -10
D'où : \mathcal{S} = \lbrace-10; 10\rbrace.

* 9(x - 1)^2 - (x - 4)^2 = 0
Cette équation est définie sur \mathbb{R}.
9(x - 1)^2 - (x - 4)^2 = 0\\ \Longleftrightarrow  [3(x - 1)]^2 - (x - 4)^2 = 0\\ \Longleftrightarrow  [3(x - 1) - (x - 4)][3(x - 1) + (x - 4)] = 0\\ \Longleftrightarrow  (3x - 3 - x + 4)(3x - 3 + x - 4) = 0\\ \Longleftrightarrow  (2x + 1)(4x - 7) = 0\\ \Longleftrightarrow  2x + 1 = 0 \text{ ou } 4x - 7 = 0\\ \Longleftrightarrow  2x = -1 \text{ ou } 4x = 7\\ \Longleftrightarrow  x = -\dfrac{1}{2} \text{ ou } x = \dfrac{7}{4}
D'où : \mathcal{S} = \lbrace -\dfrac{1}{2}; \dfrac{7}{4}\rbrace

* \dfrac{3}{x+2} - \dfrac{5}{x-2} = 0
Cette équation n'existe pas si x + 2 = 0 \text{ et si } x - 2 = 0. Les valeurs interdites de cette équation sont -2 et 2. L'équation est donc définie sur \mathbb{R}\{-2; 2}.
On commence par réduire au même dénominateur les deux fractions. Le dénominateur commun est (x + 2)(x - 2) :
\dfrac{3}{x+2} - \dfrac{5}{x-2} = 0\\ \Longleftrightarrow  \dfrac{3(x - 2)}{( x + 2)( x - 2)} - \dfrac{5( x + 2)}{( x - 2)( x + 2)} = 0\\ \Longleftrightarrow  \dfrac{3(x - 2) - 5( x + 2)}{( x + 2)( x - 2)} = 0\\ \Longleftrightarrow  \dfrac{(3x - 6 - 5x -10)}{( x + 2)( x - 2)} = 0\\ \Longleftrightarrow  \dfrac{-2x - 16}{( x + 2)( x - 2)} = 0
Donc : -2x - 16 = 0 car le dénominateur ne peut pas s'annuler.
\Longleftrightarrow -2x = 16\\ \Longleftrightarrow  x = \dfrac{16}{-2}\\ \Longleftrightarrow  x = -8
D'où : -8 appartient à l'ensemble de définition de l'équation, donc : \mathcal{S} = \lbrace-8\rbrace



exercice 2

Ancien prix : 180€
Augmenter un article de 25% revient à le multiplier par 1 + \dfrac{25}{100} = 1,25
Le nouveau prix est donc : 180 × 1,25 = 225 €
Baisser un article de t% revient à le multiplier par 1 - \dfrac{t}{100}
L'équation pour retrouver le taux s'écrit donc : 225 \times \left(1 - \dfrac{t}{100}\right) = 180
Ce qui équivaut à : 225 - \dfrac{225\times t}{100} = 180
\Longleftrightarrow 225 - 180 = \dfrac{225\times t}{100}\\ \Longleftrightarrow 45 = \dfrac{25\times9\times t}{25\times4}\\ \Longleftrightarrow 45 = \dfrac{9\times t}{4}\\ \Longleftrightarrow 45\times4 = 9t\\ \Longleftrightarrow t = \dfrac{180}{9}\\ \Longleftrightarrow t = 20
Le nouveau taux appliqué pour minorer l'article est de 20%.



Merci à ProfilPookette Pookette Correcteur / dolphie pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche



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