Fiche de mathématiques

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Diplôme National du Brevet
Liban - Session Juin 2007

L'emploi de la calculatrice est autorisé.

La rédaction et la présentation seront notées sur 4 points.

Coefficient : 2 Durée : 2 heures

12 points

Activités numériques

exercice 1

1. Donner l'écriture scientifique du nombre A : $\text{A} = \dfrac{500 \times \left(10^{-3}\right)^2 \times 2,4 \times 10^7}{8 \times 10 ^{-4}}$
2. a) Calculer le PGCD de 854 et 1 610.
b) Donner la fraction irréductible de $\dfrac{854}{1 610}$ .

3. Calculer le nombre B et donner le résultat sous la forme $a\sqrt{3}$ où $a$ est un nombre entier relatif : $\text{B} = -3 \sqrt{27} + \sqrt{75} - 2\sqrt{108}$ .

exercice 2

Pour chaque question, écrire sur la copie la lettre correspondant à la bonne réponse. Aucune justification n'est demandée.
Le candidat obtiendra 1 point par réponse juste, perdra 0,5 point par réponse fausse ; n'obtiendra pas de point en l'absence de réponse.
Le score du candidat ne peut pas être négatif.

N°	Question	A	B	C	D
1	Pour $x = 2\sqrt{5}$ , l'expression $x^2 + 2x + 1$ vaut :	$25\sqrt{5}$	$24\sqrt{5} + 1$	$21 + 4\sqrt{5}$	$13\sqrt{5}$
2	L'équation $2x - 7 = 5x + 8$ a pour solution :	$- \dfrac{1}{3}$	5	$\dfrac{1}{3}$	-5
3	$\sqrt{18}$ a pour valeur exacte :	9	4,24	$9\sqrt{2}$	$3\sqrt{2}$
4	La fonction linéaire $f$ telle que $f(5) = 3$ a pour coefficient :	$\dfrac{5}{3}$	$\dfrac{3}{5}$	8	2

exercice 3

1. Résoudre le système $\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} 2x + 3y & 27 \\ 4x + y & 24 \\ \end{array}\right.$

2. On considère un parallélépipède rectangle. Si on prend le double de sa largeur et que l'on ajoute le triple de sa longueur, on trouve 27 cm. Si on prend le quadruple de sa largeur et que l'on ajoute sa longueur, on trouve 24 cm.
Déterminer la largeur et la longueur de ce parallélépipède rectangle.

3. Sachant que le volume du parallélépipède rectangle est 54 cm³, déterminer sa hauteur.

12 points

Activités géométriques

exercice 1

On considère un repère orthonormé (O, I, J). L'unité de longueur est le centimètre.

1. Placer les points A (3 ; 7), B (-1 ; 2) et C (7 ; 2).

2. Démontrer que le triangle ABC est isocèle de sommet principal A.

3. Soit A' le milieu du segment [BC]. Calculer les coordonnées de A'.

4. Placer le point D tel que $\overrightarrow{\text{CD}} = \overrightarrow{\text{AB}}$ .
Que peut-on dire du quadrilatère ABDC ? Justifier la réponse.

5. Montrer que le point A' est le milieu du segment [AD] .

exercice 2

1. Tracer un cercle $\mathcal{C}$ de diamètre [BC] tel que BC = 10 cm.
Placer un point A appartenant au cercle $\mathcal{C}$ tel que AB = 8 cm .

2. Quelle est la nature du triangle ABC ? Justifier la réponse.

3. Calculer la longueur AC.

4. Déterminer une valeur approchée, au degré près, de l'angle $\widehat{\text{ABC}}$ .

5. Placer le point O du segment [BC] tel que BO = 2 cm. Tracer la parallèle à la droite (AC) passant par B qui coupe la droite (AO) en D. Calculer la longueur BD.

12 points

Problème

La chaîne de télévision France Direct 1 décide d'organiser un concours de la meilleure femme Disque Jockey (DJ). Puisque les téléspectateurs vont pouvoir voter pour la meilleure candidate grâce à l'envoi de mini-messages (SMS) pour cette grande soirée retransmise en direct, la chaîne a décidé de s'associer à trois sociétés de téléphonie. Ces dernières proposent un tarif spécial pour ce soir-là :
    Société Pamplemousse : un forfait de 9 € et 0,15 € par SMS ;
    Société Triangle Vert : 0,30 € par SMS ;
    Société Brique Mobile : 21 € pour un nombre de SMS illimité.

1. Le temps de vote est fixé à 30 minutes. Sachant qu'il faut 15 secondes pour écrire un SMS et l'envoyer, combien de messages au maximum pourra envoyer un téléspectateur pendant le temps de vote ?

2. On suppose qu'un téléspectateur envoie 50 SMS pendant le temps de vote. Recopier et compléter le tableau suivant :

Société	Pamplemousse	Triangle Vert	Brique Mobile
Coût, en euros, pour 50 SMS

3. On appelle $x$ le nombre de SMS envoyés par un téléspectateur.
On note $P(x)$ le coût pour $x$ SMS s'il choisit la société Pamplemousse, $T(x)$ le coût pour $x$ SMS s'il choisit la société Triangle Vert et $B(x)$ le coût pour $x$ SMS s'il choisit la société Brique Mobile.
Exprimer $P(x)$ , $T(x)$ et $B(x)$ en fonction de $x$ .

4. Dans un repère orthogonal, on prend les unités suivantes :
    sur l'axe des abscisses, 1 cm représente 10 SMS ;
    sur l'axe des ordonnées, 1 cm représente 3 €.
On placera l'origine du repère en bas à gauche de la feuille.
Tracer les représentations graphiques des fonctions $f$ , $g$ et $h$ définies, pour tout nombre $x$ , par : $f (x) = 0,15x + 9, g(x) = 0,30x$ et $h(x ) = 21$ .
5. Dans cette question, on répondra aux différentes questions en utilisant le graphique et en faisant apparaître les tracés nécessaires.
    a) À partir de combien de SMS la proposition de la société Brique Mobile devient-elle intéressante ?
    b) Les parents d'Arthur lui donnent 15 € pour la soirée. Étant un fan du DJ Carmen, Arthur veut envoyer pour elle un maximum de SMS pendant la soirée. Indiquer quelle société il devra choisir et combien de SMS il pourra envoyer.

6. Le vote est terminé. Les trois concurrentes DJ Carmen, DJ Desdémone et DJ Elvira attendent les résultats. 724 560 SMS ont été reçus. DJ Carmen l'emporte avec 60 % des voix. Donner une valeur arrondie à l'unité du nombre de SMS envoyés par seconde pour DJ Carmen.

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Activités numériques

exercice 1

1. $\text{A}=\dfrac{500\times 2,4 \times 10^{-6}\times 10^7}{8\times 10^{-4}}=\dfrac{1200\times 10}{8\times 10^{-4}}=\dfrac{1200\times 10^5}{8}=150\times 10^5=1,5\times 10^7$ .

2. a) Calculons le PGCD de 854 et 1610 grâce à l'algorithme d'Euclide :
$1610 = 854\times 1+756$
$854 = 756\times 1+98$
$756 = 98\times 7+70$
$98 = 70\times 1+28$
$70 = 28\times 2+14$
$28 = 14\times 2 + 0$
Le PGCD de 854 et 1610 est le dernier reste non nul : c'est 14.

2. b) $\dfrac{854}{1610}=\dfrac{14\times 61}{14\times 115}=\dfrac{61}{115}$ , et cette dernière fraction est irréductible.

3. $\text{B}=-3\sqrt{27}+\sqrt{75}-2\sqrt{108}=-3\sqrt{9\times 3}+\sqrt{25\times 3}-2\sqrt{36\times 3}=-3\times 3\sqrt{3}+5\sqrt{3}-2\times 6\sqrt{3}=-9\sqrt{3}+5\sqrt{3}-12\sqrt{3}=-16\sqrt{3}$ .

exercice 2

1. réponse C
2. réponse D
3. réponse D
4. réponse B.

exercice 3

1. Résolvons le système $\left \lbrace \begin{array}{l} 2x+3y=27 \\ 4x+y=24\\ \end{array} \right.$ De la deuxième équation, on tire $y=24-4x$ , ce qu'on reporte dans la première équation. On obtient successivement : $2x+3(24-4x)=27$ , $-10x+72=27$ , $-10x=-45$ , et enfin $x=4,5$ . On en déduit que $y=24-4\times 4,5=6$ .

2. Appelons x la largeur du parallélépipède et y sa longueur. D'après l'énoncé, les nombres x et y vérifient le système $\left \lbrace \begin{array}{l} 2x+3y=27 \\ 4x+y=24\\ \end{array} \right$ , qu'on a résolu à la question précédente. Ainsi, la largeur du parallélépipède est $x=4,5$ cm et sa longueur est $y=6$ cm.

3. Soit h la hauteur du parallélépipède (qu'on cherche à déterminer). Le volume du parallélépipède est $4,5\times 6\times h=27h$ , et est égal d'après l'énoncé à 54 cm³ : ainsi, $27h=54$ , donc $h=2$ . Le parallélépipède a une hauteur de 2 cm.

Activités géométriques

exercice 1

1. Voici la figure :

Diplôme national du brevet Liban Juin 2007 - troisième : image 1

2. Calculons les longueurs des côtés [AB] et [AC] : $\text{AB}=\sqrt{(-1-3)^2+(2-7)^2}=\sqrt{16+25}=\sqrt{41}$ , et $\text{AC}=\sqrt{(7-3)^2+(2-7)^2=\sqrt{16+25}=\sqrt{41}$ . Ainsi, $\text{AB}=\text{AC}$ : le triangle ABC est isocèle en A.

3. Le milieu A' de [BC] a pour coordonnées $\left(\dfrac{-1+7}{2},\dfrac{2+2}{2}\right)=\left(3,2\right)$ .

4. Le quadrilatère ABDC est un parallélogramme car $\overrightarrow{\text{CD}}=\overrightarrow{\text{AB}}$ . De plus, d'après la question 2., il a deux côtés consécutifs de même longueur ([BA] et [AC]) : c'est donc un losange.

5. Les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu. Comme A' est le milieu de [BC], c'est aussi le milieu de [AD].

exercice 2

Diplôme national du brevet Liban Juin 2007 - troisième : image 2

2. Le triangle ABC est inscrit dans le cercle $\mathcal{C}$ et l'un de ses côtés ([BC]) est un diamètre de ce cercle : ABC est donc rectangle en A.

3. D'après le théorème de Pythagore, $\text{AB}^2+\text{AC}^2=\text{BC}^2$ , donc $\text{AC}^2=\text{BC}^2-\text{AB}^2=100-64=36$ : ainsi, $\text{AC}=6$ cm.

4. On a $\cos(\widehat{ABC})=\dfrac{\text{AB}}{\text{BC}}=\dfrac{8}{10}=0,8$ , donc $\widehat{ABC}=\cos^{-1}(0,8)\approx 37°$ (à un degré près).

5. Les points B, O, C sont alignés, ainsi que D, O, A. De plus, les droites (BD) et (AC) sont parallèles. D'après le théorème de Thalès, on a $\dfrac{\text{OB}}{\text{OC}}=\dfrac{\text{BD}}{\text{AC}}$ , d'où on tire $\text{BD}=\dfrac{\text{OB}\times\text{AC}}{\text{OC}}=\dfrac{12}{8}=1,5$ cm.

Problème

1. Un téléspectateur écrit un SMS en 15 secondes, donc peut en écrire 4 par minute. En 30 minutes, il peut donc en écrire $4\times 30=120$ .

2.

Société	Pamplemousse	Triangle Vert	Brique Mobile
Coût, en euros, pour 50 SMS	16,5	15	21

3. Le coût, en euros, de $x$ messages est :
pour la société Pamplemousse : $P(x)=0,15x+9$
pour la société Triangle Vert : $T(x)=0,30x$
pour la société Brique Mobile : $B(x)=21$

4.

Diplôme national du brevet Liban Juin 2007 - troisième : image 3

5. a) La société Brique Mobile devient plus intéressante que Triangle Vert à partir de 70 SMS ; elle est plus intéressante que Pamplemousse à partir de 80 SMS.

5. b) Avec 15 euros, Arthur peut envoyer :
40 SMS avec Pamplemousse
50 SMS avec Triangle Vert
(Il ne peut envoyer aucun SMS avec Brique Mobile). C'est donc la société Triangle Vert qu'il vaut mieux choisir.

6. $\dfrac{60}{100}\times 724560 = 434736$ SMS ont été envoyés pour DJ Carmen. Sachant qu'il y a 1800 secondes dans 30 minutes (le temps du vote), cela donne $\dfrac{434736}{1800}\approx 242$ SMS par seconde pour DJ Carmen.

Publié par TP/critou le 23-06-2010

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