Fiche de mathématiques

Diplôme National du Brevet 2008

Diplôme National du Brevet
Antilles-Guyane - Session Juin 2008

L'emploi de la calculatrice est autorisé.

La rédaction et la présentation seront notées sur 4 points.

Coefficient : 2 Durée : 2 heures

Activités numériques (12 points)

2 points

exercice 1

En précisant les différentes étapes de calcul :

1. Calculer le nombre A ci-dessous et donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible : $\text{A} = \dfrac{\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{2}}{\dfrac{17}{9} - \dfrac{1}{3}}$ .

2. Donner l'écriture scientifique de B : $\text{B} = \dfrac{81 \times 10^3 \times 6 \times 10^{-10}}{18 \times 10^{-2}}$ .

6 points

exercice 2

Pour chaque ligne du tableau suivant, 4 réponses (A, B, C et D) sont proposées.
Écrire dans la dernière colonne du tableau la (ou les) lettre(s) correspondant à la (ou les) bonne(s) réponse(s).

Énoncé	Réponse A	Réponse B	Réponse C	Réponse D	Réponse
$\dfrac{6 + 3}{7 + 3}$	$\dfrac{6}{7}$	0,9	$\dfrac{6}{7} + 1$	$\dfrac{9}{10}$
En développant $(3x + 6)^2$ , on obtient	$3x^2 + 36x + 36$	$9x^2 + 36$	$9x^2 + 36x + 36$	$45x + 36$
En factorisant $16x^2 - 4$ , on obtient	$(4x - 2)^2$	$(4x - 2) (4x + 2)$	$(4x + 2)^2$	$(16x - 2) (16x + 2)$
$\sqrt{16} \times \sqrt{5} =$	$\sqrt{16 \times 5}$	$\sqrt{16 + 5}$	$5\sqrt{4}$	$4\sqrt{5}$
$\sqrt{9 + 16 + 25} =$	$3 + 4 + 5$	$\sqrt{50}$	$\sqrt{9} + \sqrt{16} + \sqrt{25}$	$7,07$
La fonction affine $f$ vérifie : $f(0) = 1$ et $f(1) = 2$ . $f$ est définie par	$f(x) = x - 1$	$f(x) = x + 1$	$f(x) = 3x - 1$	$f(x) = 3 - x$

4 points

exercice 3

On considère deux fonctions affines : $f(x) = \dfrac{4}{3}x - 3$ et $g(x) = - x + 6$ Le plan est muni d'un repère orthonormé (O, I, J), unité : 1 cm.

1. Construire les représentations graphiques des fonctions $f$ et $g$ .

2. Soit K le point d'intersection de ces deux droites.
Déterminer par le calcul les coordonnées du point K.

Activités géométriques (12 points)

6 points

exercice 1

La figure ci-dessous n'est pas réalisée en vraie grandeur. Elle n'est pas à reproduire. Diplôme national du brevet Antilles Guyane Juin 2008 - troisième : image 1

Diplôme national du brevet Antilles Guyane Juin 2008 - troisième : image 1

Les droites (BC) et (MN) sont parallèles.
On donne : AB = 4,5 cm ; AC = 3 cm ; AN = 4,8 cm et MN = 6,4 cm.

1. Calculer AM et BC.

2. On sait de plus que AE = 5 cm et AF = 7,5 cm.
Montrer que les droites (EF) et (BC) sont parallèles.

6 points

exercice 2

Diplôme national du brevet Antilles Guyane Juin 2008 - troisième : image 2

On considère la pyramide SABCD ci-contre :
la base est le rectangle ABCD de centre O.
AB = 40 cm et BD = 50 cm.
La hauteur [SO] mesure 81 cm.

1. Montrer que AD = 30 cm.

2. Calculer en cm³, le volume de la pyramide SABCD.

3. Soit O' le point de [SO] tel que SO' = 54 cm.
On coupe la pyramide par un plan passant par O' et parallèle à sa base.
    a) Quelle est la nature de la section A'B'C'D' obtenue ?
    b) La pyramide SA'B'C'D' est une réduction de la pyramide SABCD.
Donner le coefficient de réduction.
    c) Quel est le volume de SA'B'C'D' ?

4. a) Calculer la tangente de l'angle $\widehat{\text{SAO}}$ .
    b) Donner une valeur approchée de l'angle $\widehat{\text{SAO}}$ arrondie au degré près.

12 points

probleme

Dans ce problème, l'unité de longueur est le cm et l'unité d'aire, le cm². On utilisera une feuille de papier millimétré pour la figure.
(O, I, J ) est un repère orthonormé, avec OI = OJ = 1 cm.

1. Placer les points suivants : A(3 ;-5) ; B(1 ; 6) et C(-3 ; 3).

2. a) Montrer par le calcul que AB $= 5\sqrt{5}$ ; AC = 10 et BC = 5.
    b) Démontrer que ABC est un triangle rectangle en C.

3. a) Construire le point D, image de A dans la translation de vecteur $\overrightarrow{\text{BC}}$ .
    b) Justifier que le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.
    c) Recopier et compléter sans justifications les égalités : $\overrightarrow{\text{AC}} + \overrightarrow{\text{CB}} = \cdots\cdots \qquad ; \qquad \overrightarrow{\text{BA}} + \overrightarrow{\text{BC}} = \cdots\cdots$
4. Calculer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{\text{BC}}$ .

5. a) Calculer l'aire du parallélogramme ABCD.
    b) Soit K le centre de symétrie du parallélogramme ABCD.
Calculer les coordonnées du point K.

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