Fiche de mathématiques

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Diplôme National du Brevet
Asie - Session Juin 2008

L'emploi de la calculatrice est autorisé.

La rédaction et la présentation seront notées sur 4 points.

Coefficient : 2 Durée : 2 heures

12 points

Activités numériques

4 points

exercice 1

Le barème de cet exercice est le suivant ;
    1 point par bonne réponse.
    -0,5 point par réponse fausse.
    0 point en l'absence de réponse.
Trouver la bonne réponse parmi les trois proposées.
Écrire la lettre A, B ou C de la bonne réponse dans la dernière case du tableau.

		A	B	C	Réponse
1	$\dfrac{7}{3} - \dfrac{6}{3} \times \dfrac{5}{6}$ est égal à	$\dfrac{5}{18}$	$\dfrac{2}{3}$	$\dfrac{10}{6}$
2	$\dfrac{10^{-3}\times \left( 10^3\right)^{-2} \times 10^2}{10^{-4}\times 10^{-2}}$ est égal à	$10^{6}$	$10^{-13}$	$10^{-1}$
3	Pour tout nombre $x, (3x~-~2)^2$ est égal à	$3x^2 - 12x + 4$	$9x^2-12x+4$	$9x^2 - 4$
4	Dans une ferme, il y a des vaches et des poules. Le fermier a compté 36 têtes et 100 pattes. Il y a donc :	25 vaches	20 vaches	14 vaches

4 points

exercice 2

Voici le diagramme en bâtons des notes obtenues sur 20 par une classe de 25 élèves de 3^ème au dernier devoir de mathématiques.

Diplôme national du brevet Asie Juin 2008 - troisième : image 1

1. Calculer l'étendue des notes.

2. Compléter le tableau suivant :

Notes	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17
Effectifs					5
Effectifs cumulés croissants	2	6						20

3. Calculer la moyenne des notes.

4. Déterminer la médiane des notes.

5. Calculer le pourcentage d'élèves ayant eu une note inférieure ou égale à 14.

4 points

exercice 3

1. Sans aucun calcul, expliquer pourquoi on peut simplifier la fraction $\dfrac{4114}{7650}$ .

2. Calculer le PGCD des nombres 4 114 et 7 650 avec la méthode de votre choix en détaillant les calculs.

3. Rendre irréductible la fraction $\dfrac{4114}{7650}$ en précisant par quel nombre vous simplifiez.

4. En utilisant les résultats des questions précédentes, mettre l'expression A suivante sous la forme $n\sqrt{34}$ , où $n$ est un entier relatif, en détaillant les calculs : $\text{A} = 5\sqrt{4114} - 4\sqrt{7650}$ .

12 points

Activités géométriques

6 points

exercice 1

Diplôme national du brevet Asie Juin 2008 - troisième : image 2

Sur la figure ci-contre, OD = 4 cm ; OC = 5 cm ; AC = 3 cm ; OE = 6 cm ; OF = 7,5 cm.
La représentation ci-contre n 'est pas en vraie grandeur.

1. Démontrer que (AB) et (CD) sont parallèles.

2. Calculer OB.

3. Démontrer que (EF) et (CD) sont parallèles.

4. Quelle est la nature du triangle OEF ? Justifier.

5. Calculer au degré près la mesure de l'angle $\widehat{\text{OCD}}$ .

6. Quelle est la mesure au degré près de l'angle $\widehat{\text{EFO}}$ ?

6 points

exercice 2

Diplôme national du brevet Asie Juin 2008 - troisième : image 3

Sur la pyramide SABCD à base rectangulaire ci contre, H est le centre du rectangle ABCD et (SH) est perpendiculaire à la base ABCD.
La représentation ci-contre n 'est pas en vraie grandeur.
De plus, on a : SA = SB = SC = SD = 8,5 cm, CD = 12 cm et BC = 9 cm.

1. Tracer en vraie grandeur la face ABCD.

2. Vérifier par le calcul que HD = 7,5 cm.

3. Tracer en vraie grandeur le triangle SBD et placer le point H.

4. Calculer SH.

5. Calculer le volume de la pyramide SABCD.

12 points

Problème

Une entreprise construit des boîtiers électriques qui servent à distribuer le courant électrique dans les appartements.
Trois salariés Félix, Gaëlle et Henry fabriquent chaque mois le même nombre de boîtiers.
Leur salaire mensuel en euro (le symbole de l'euro est €) est calculé de la façon suivante :
    Félix a un salaire fixe de 1 500 €
    Gaëlle a un salaire de 1 000 € augmenté de 2 € par boîtier fabriqué.
    Henry a un salaire de 7 € par boîtier fabriqué.
Chaque salarié a fabriqué 260 boîtiers au mois de janvier, 180 boîtiers en février et 200 boîtiers en mars.

1. Compléter le tableau suivant :

	Salaire de Félix	Salaire de Gaëlle	Salaire de Henry
Mois de Janvier
Mois de Février
Mois de Mars

2. Soit $x$ le nombre de boîtiers fabriqués pendant un mois.
Exprimer en fonction de $x$ les salaires de Félix, Gaëlle et Henry.

3. Représenter graphiquement dans un repère orthogonal les fonctions définies par :
    $f(x) = 1 500$
    $g(x) = 1 000 + 2x$
    $h(x) = 7x$
On choisira comme unités :
    1 cm pour 20 boîtiers sur l'axe des abscisses.
    1 cm pour 100 € sur l'axe des ordonnées.

4. Par lecture graphique, préciser à partir de combien de boîtiers fabriqués en un mois on peut dire qu'Henry aura un salaire supérieur ou égal à celui de Gaëlle (on laissera apparents les pointillés aidant à la lecture).

5. En avril, Félix et Gaëlle ont eu le même salaire. Combien de boîtiers Félix a-t-il fabriqué ? Justifier votre réponse par un calcul.

6. Les trois salariés pourront-ils toucher le même salaire mensuel ?
Expliquer la réponse.

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Activités numériques

exercice 1

1. $\fbox{\displaystyle \frac{7}{3}-\frac{6}{3}\times\frac{5}{6}=\frac{2}{3}}$

En effet : $\dfrac{7}{3}-\dfrac{6}{3}\times\dfrac{5}{6} =\dfrac{7}{3}-\dfrac{\cancel{6}\times5}{3\times\cancel{6}}=\dfrac{7}{3}-\dfrac{5}{3}=\dfrac{7-5}{3}=\dfrac{2}{3}$ .

2. $\fbox{\displaystyle\frac{10^{-3}\times\left(10^3\right)^{-2}\times10^2}{10^{-4}\times10^{-2}}=10^{-1}}$

En effet : $\displaystyle\frac{10^{-3}\times\left(10^3\right)^{-2}\times10^2}{10^{-4}\times10^{-2}} =\frac{10^{-3}\times10^{-6}\times10^2}{10^{-4}\times10^{-2}} =\frac{10^{-3+(-6)+2}}{10^{-4+(-2)}} =\frac{10^{-7}}{10^{-6}} =10^{-7-(-6)}=10^{-1}$

3. $\fbox{\displaystyle (3x-2)^2=9x^2-12x+4}$

On reconnaît une identité remarquable de la forme (a-b)² (= a²-2ab+b²).

4. $\fbox{\displaystyle{\rm Il\,y\,a}\,14\,{\rm vaches}}$ .

En effet, si on note $v$ le nombre de vaches et $p$ le nombre de poules, il s'agit ici de résoudre le système suivant :
$\displaystyle\left\lbrace\begin{array}{l@{\quad=\quad}rp{5mm}l}v+p & 36 &&(L_1)\\4v+2p & 100&& (L_2)\end{array}.$
D'après $(L_2)$ , on a $2v+p=50\hspace{1cm}(L_3)$ .
$(L_3)-(L_1)$ donne alors $2v+p-v-p=50-36$ , soit $v=14$ .

exercice 2

1. La note la plus élevée est 17, tandis que la note la plus faible est 7.
L'étendue des notes est donc 17-7 = 10.

2. On obtient le tableau suivant :
$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline \rm Notes&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17\\\hline \rm Effectifs & \bf2&\bf4&\bf1&\bf3&5&\bf4&\bf0&\bf1&\bf3&\bf1&\bf1\\\hline \rm Effectifs\,cumulés & 2&6&\bf7&\bf10&\bf15&\bf19&\bf19&20&\bf23&\bf24&\bf25\\\hline\end{array}$

3. La moyenne des notes est : $\displaystyle\frac{2\times7+4\times8+1\times9+3\times10+5\times11+4\times12+0\times13+1\times14+3\times15+1\times16+1\times17}{25}=\fbox{11,2}$ .

4. La série statistique est composée de 25 valeurs (nombre impair).
La médiane des notes est ainsi la valeur de rang 13 : la médiane est donc 11 d'après le tableau complété à la question 2.

5. Toujours d'après le même tableau, 20 élèves (sur 25 au total) ont eu une note inférieure ou égale à 14, soit $\mathbf{20/25\times 100 = 80\%}$ des élèves.

exercice 3

1. Le numérateur de la fraction est 4114, qui se termine par un 4.
Le dénominateur de la fraction est 7650, qui se termine par un 0.
Ainsi, le numérateur et le dénominateur de la fraction sont tous les deux divisibles par 2 : la fraction n'est donc pas irréductible.

2. On peut utiliser l'algorithme d'Euclide en effectuant des divisions euclidiennes successives.
$7650 = 1\times 4114 + 3536\\ 4114 = 1\times 3536 + 578\\ 3536 = 6\times578+68\\ 578 = 8\times68+{\color{red}\fbox{34}}\\ 68 = 2\times34+0$
Le PGCD est alors le dernier reste non nul, d'où : PGCD(7650;4114) = 34.

3. Pour rendre la fraction irréductible, on divise numérateur et dénominateur par leur PGCD (calculé à la question précédente).
On obtient : $\displaystyle\frac{4114}{7650}=\frac{34\times121}{34\times225}=\fbox{\displaystyle\frac{121}{225}}$ .

4. $A=5\sqrt{4114}-4\times{7650}=5\sqrt{34\times121}-4\sqrt{34\times225} =5\sqrt{34\times11^2}-4\sqrt{34\times15^2} =5\times11\sqrt{34}-4\times15\sqrt{34} =55\sqrt{34}-60\sqrt{34} =\fbox{-5\sqrt{34}}$ .

Activités géométriques

exercice 1

1. D'après le codage de la figure, les droites (AB) et (CD) sont toutes deux perpendiculaires à la droite (BD).
Or, si deux droites sont perpendiculaires, toute perpendiculaire à l'une est parallèle à l'autre.
D'où (AB) et (CD) sont parallèles.

2. Les points O, D, B et O, C, A sont respectivement alignés dans cet ordre. De plus, (AB) et (CD) sont parallèles.
D'où d'après le théorème de Thalès, on a : $\displaystyle\frac{OC}{OA}=\frac{OD}{OB}=\frac{CD}{AB}$ .
On cherche à calculer OB, et on ne connaît ni AB, ni CD, on va donc travailler sur la première égalité uniquement.
$\displaystyle \frac{OC}{OA}=\frac{OD}{OB}\\ OC\times OB=OD\times OA\\ OB=\frac{OD\times OA}{OC}\\ OB=\frac{4\times (5+3)}{5}=\frac{32}{5}=\fbox{6,4}\quad{\textbf{soit}\,\mathrm 6,4\,\textbf{cm}}$ .

3. Les points D, O, E et C, O, F sont respectivement alignés dans cet ordre. De plus :
$\displaystyle\left\lbrace\begin{array}{l}\displaystyle \frac{OD}{OE}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\\\\ \displaystyle \frac{OC}{OF}=\frac{5}{7,5}=\frac{2\times2,5}{3\times2,5}=\frac{2}{3}\end{array}$
Donc d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (EF) et (CD) sont parallèles.

4. On a montré que les droites (CD) et (EF) sont parallèles. De plus, (CD) est perpendiculaire à (DE).
Or, si deux droites sont parallèles, toute perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre.
D'où les droites (EF) et (DE) sont perpendiculaires : le triangle OEF est rectangle en E.

5. Dans le triangle OCD rectangle en D, on a : $\sin\left(\widehat{OCD}\right)=\frac{OD}{OC}=\frac{4}{5}=0,8$ .
D'où finalement : $\fbox{\displaystyle \widehat{OCD}=53^\circ}$ au degré près.

6. Les angles $\widehat{OCD}$ et $\widehat{EFO}$ sont des angles alternes internes.
Les droites (CD) et (EF) étant parallèles, ces angles ont de plus la même mesure, d'où : $\fbox{\displaystyle \widehat{EFO}=53^\circ}$ au degré près.

exercice 2

1. Laissé à la sagacité du lecteur.
Indication : La face ABCD est rectangle de longueur 12 cm et de largeur 9 cm.

2. ABCD étant un rectangle, c'est en particulier un parallélogramme donc ses diagonales se coupent en leur milieu. Autrement dit, on a : HD = BD / 2.
De plus, dans le triangle BCD rectangle en C, on a d'après le théorème de Pythagore :
$BD^2=BC^2+CD^2\\ BD^2=9^2+12^2\\ BD^2=81+144\\ BD^2=225\\ BD=\sqrt{225}=15\quad{\rm car}\,BD\,{\rm positif}$
D'où $HD = BD / 2 = 15 / 2 = 7,5$ soit 7,5 cm.

3. Laissé à la sagacité du lecteur.
Indications : Le triangle est un triangle isocèle en S, où SB=SD=8,5cm, et BD=15cm. Le point H est le milieu du segment [BD].

4. Dans le triangle SHB rectangle en H, on a d'après le théorème de Pythagore :
$SB^2=BH^2+SH^2\\ SH^2=SB^2-BH^2\\ SH^2=(8,5)^2-(7,5)^2\\ SH^2=16\\ SH=\sqrt{16}\quad{\rm car}\,SH\,{\rm positif}\\ \fbox{SH=4}\quad{\rm soit}\,4\,{\rm cm}$

5. $\displaystyle\mathcal{V}(SABCD)=\frac{1}{3}\times BC\times CD\times SH=\frac{1}{3}\times9\times12\times4=144$ soit 144 cm³.

Problème

1. On a le tableau suivant :
$\begin{tabular}{|l|c|c|c|}\hline &\rm Salaire\,de\,Félix &\rm Salaire\,de\,Gaëlle &\rm Salaire\,de\,Henry\\\hline \rm Mois de Janvier & \bf 1500\euro & \bf 1520\euro & \bf 1820\euro\\\hline \rm Mois de Février & \bf 1500\euro & \bf 1360\euro & \bf 1260\euro\\\hline \rm Mois de Mars & \bf 1500\euro & \bf 1400\euro & \bf 1400\euro\\\hline\end{tabular}$

2. Les salaires sont les suivants :
pour Félix : $s_F(x)=1500$ ;
pour Gaëlle : $s_G(x)=1000+2x$ ;
pour Henry : $s_H(x)=7x$ .

3. On a la représentation graphique suivante :

Diplôme national du brevet Asie Juin 2008 - troisième : image 4

$f$ est représentée en rouge sur le dessin ci-dessus ;
$g$ est représentée en bleu sur le dessin ci-dessus ;
$h$ est représentée en vert sur le dessin ci-dessus.

4. Il s'agit de repérer sur le dessin l'abscisse du point à partir duquel la courbe représentative de la fonction $h$ (en vert) sera au-dessus de la courbe représentative de la fonction $g$ (en bleu).
Graphiquement, on lit donc que le salaire de Henry sera supérieur ou égal à celui de Gaëlle à partir de 200 boîtiers fabriqués.

5. En avril, Félix et Gaëlle ont eu le même salaire. En outre, par hypothèse, ils ont tous les deux fabriqués le même nombre de boîtiers.
On a donc $f\left(x_\right)=g\left(x\right)$ , soit $1500=1000+2x$ .
Il s'agit de résoudre cette équation pour trouver le nombre de boîtiers fabriqués par Félix :
$1500 = 1000 + 2x\\ 2x = 500\\ x = 250$
Durant le mois d'avril, Félix a donc fabriqué 250 boîtiers.

6. Si on regarde le graphique tracé à la question 3., on constate qu'il n'y a pas de point de concourance entre les trois courbes représentatives des fonctions $f$ , $g$ et $h$ .
Par conséquent, Les trois salariés ne peuvent pas toucher le même salaire mensuel.

Publié par TP/Porcepic le 03-09-2013

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