Formulaire de mathématiques

Ces quelques formules sont censées être sues à la fin de la classe de quatrième !

I. Multiplication et division de nombres relatifs

Le produit (ou le quotient) de deux nombres de même signe est positif .
Le produit (ou le quotient) de deux nombres de signe contraire est négatif .

II. Priorité des opérations. Suppression des parenthèses

1. Règles de priorité des opérations

Règle 1 : En calcule d'abord les expressions entre parenthèses (s'il y en a)
Règle 2 : En l'absence de parenthèses on effectue :
        d'abord les puissances,
        puis les multiplications et divisions, ( × et ÷ ont le même niveau de priorité)
        puis les additions et soustractions (+ et - aussi).
Règle 3 : deux opérations ayant le même niveau de priorité s'effectuent dans l'ordre où elles sont écrites .
Exemples :
a = 3 + 2 × 5² = 3 + 2 × 25 = 3 + 50 = 53
b = 3 - 4 + 5 = -1 + 5 = 4
c = 3 × 2 ÷ 4 = 6 ÷ 4 = 1,5

2. Suppression des parenthèses dans une somme

On peut supprimer les parenthèses précédées
        du signe +
        du signe - à condition de changer les signes des termes entre parenthèses .

III. Développer, factoriser

1. Pour développer un produit

k × (a + b) = k × a + k × b
On multiplie k par chaque terme de la somme (a+b)
(a+b) × (c+d) = a × c + a × d + b × c + b × d
On multiplie chaque terme de la somme (a+b) par chaque terme de la somme (c+d)

2. Pour factoriser une somme

On cherche un facteur commun à tous les termes de la somme.
On peut ainsi réduire certaines expressions .
Exemples :
3 × 10 + 3 × 13 = 3 × (10 + 13) = 3 × 23 = 69
2a + 3a = (2 + 3) a = 5a

IV. Résolution d'une équation

Exemple : Résoudre l'équation 7x - 3 = 9
Si 7x - 3 = 9 alors
on a (7x - 3) + 3 = 9 + 3
soit 7x = 12
c'est-à-dire x = 12/7.

Vérification : 7 × (12/7) - 3 = 12 - 3 = 9
donc 12/7 convient
Conclusion : L'équation 7x - 3 = 9 admet une seule solution 12/7.

V. Fractions

1. Egalité de deux fractions.

Avec k0 et b0, on a

2. Simplification de fraction.

Exemple :
Avec a0, on a :

3. Multiplication de fractions.

Avec a0 et b0, on a :
Inverse d'une fraction.
Soit b0 et d0 : l'inverse de a/b est .

4. Division avec des fractions.

Avec b0 , c0 et d0, on a : .
Pour diviser par , on multiplie par son inverse .

VI. Puissances

1. Définitions

Soit n un nombre entier positif :
aⁿ = a × a × .................... × a
n est l'exposant et il y a n facteurs .
aº = 1, et pour a0, .
a^-n est l'inverse de aⁿ.

2. Exemples

3⁴ = 3 x 3 x 3 x 3 = 81
10 ^-2
5^-1

3. Quelques formules

. C'est l'inverse de a
. Produit des puissances somme des exposants.
.Quotient des puissances différence des exposants.

. Puissance d'un produit produit des puissances.

VII. Médiatrices

La médiatrice du segment [AB] est la droite d perpendiculaire à (AB) et passant par le milieu I de [AB] .
Tout point M de d vérifie MA = MB .
Réciproquement, si un point M vérifie MA = MB alors M est un point de la médiatrice d .

VIII. Parallélogrammes

Définition : Un parallélogramme est un quadrilatère ayant ses côtés opposés parallèles.
Soit un quadrilatère :
Proposition 1 : S'il est un parallélogramme, ses diagonales se coupent en leurs milieux.
Réciproque 1 : Si ses diagonales se coupent en leurs milieux, c'est un parallélogramme.
Proposition 2 : S'il est un parallélogramme, ses côtés opposés ont même longueur.
Réciproque 2 : Si ses côtés opposés ont même longueur, c'est un parallélogramme.
Réciproque 3 : S'il a deux côtés opposés parallèles et de même longueur, c'est un parallélogramme.

Parallélogrammes particuliers

Définition 1 : Un rectangle est un parallélogramme ayant un angle droit.
Proposition 1 : Tous les angles d'un rectangles sont droits.
Proposition 2 : Les diagonales d'un rectangles ont la même longueur.
Réciproque 2 : Un parallélogramme qui a ses diagonales de même longueur est un rectangle.
Définition 2 : Un losange est un quadrilatère ayant ses côtés de même longueur.
Proposition 3 : Un losange est un parallélogramme.
Réciproque 3 : Un parallélogramme ayant deux côtés consécutifs de même longueur est un losange.
Proposition 4 : Un parallélogramme ayant ses diagonales perpendiculaires est un losange.
Définition 3 : Un carré est à la fois un losange et un rectangle.

IX. Théorème de Pythagore

Propriété de Pythagore
Si un triangle ABC est rectangle en A, alors BC ² = AB ² + AC ² .

Réciproquement
Si dans un triangle ABC, on a la relation BC ² = AB ² + AC ² alors ABC est rectangle en A .

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© Tom_Pascal & Océane 2006