Puissances

I. Puissances d'un nombre non nul

1. Définitions

Soit a un nombre non nul et n un entier positif :

a⁰ = 1
a¹ = a
a^-1 = 1/a
aⁿ = a × a × ... × a (n facteurs)
a^-n = 1 / aⁿ

Exemples :
(-3)⁰ = 1

4^-1 = 1/4 = 0,25
3⁷ = 3 × ... × 3 = 2 187
2^-3 = 1 / (2³) = 1/8 = 0,125

a^-1 est l'inverse de a.
a² se lit " a au carré " ; a³ " a au cube " et aⁿ : " a puissance n ".

2. Formules

Soit m et n des entiers relatifs, a et b des nombres non nuls :

a^m × aⁿ = a^m+n
a^m/aⁿ = a^m-n
(a^m)ⁿ = a^{m × n}
(ab)ⁿ = aⁿ × bⁿ

Exemples :
a³ × a⁵ = a³⁺⁵ = a⁸
a³/a⁷ = a^3-7 = a^-4
(a^-3)² = a^-6
(ab)² = a² × b²
a⁶ × a^-6 = a⁰ = 1, donc a⁶ et a^-6 sont inverses l'un de l'autre.

II. Puissances de 10

Soit n un entier naturel :

10ⁿ = 10...0     (n zéros)
10^-n = 0,0...01     (n chiffres après la virgule)

Exemples :
10¹ = 10 ;
10³ = 1000 ;
un milliard = 10⁹ ;
10^-1 = 0,1 ;
10^-3 = 0,001 ;
un millionième = 10^-6.

III. Notation scientifique et ordre de grandeur

1. Notation scientifique : exemples

nombre	notation scientifique
0,000 981	9,81 × 10-4
0,001 732	1,732 × 10-3
602 × 1021	6,02 × 1023
-345	-3,45 × 102

2. Ordre de grandeur : exemples

Tout nombre strictement positif est compris entre 2 puissances de 10 consécutives.
Soit a=3,14 × 10⁵ alors 10⁵ < a < 10⁶
Soit b=7,07 × 10^-2 alors 10^-2 < b < 10^-1

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© Tom_Pascal & Océane 2006