Fiche de mathématiques

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Espaces vectoriels Euclidiens

I. Produit scalaire

1. Définition

Définition :

Soit $E$ un $\mathbb{R}-$ ev, on appelle produit scalaire sur $E$ toute application $\phi: E^{2}\longrightarrow \mathbb{R}$ telle que:
1. $\phi$ est bilinéaire : $\forall \lambda \in\mathbb{R}$ , $\forall (x,x^{'},y,y^{'})\in E^{4}$ : $\begin{cases} \phi(\lambda x+x^{'},y)=\lambda\phi(x,y)+\phi(x^{'},y) \\ \phi(x,\lambda y+y^{'})=\lambda\phi(x,y)+\phi(x,y^{'}) \end{cases}$ .
2. $\phi$ est symétrique : $\forall (x,y)\in E^{2}$ : $\phi(x,y)=\phi(y,x)$ .
3. $\phi$ est positive : $\forall x\in E$ : $\phi(x,x)\geq 0$ .
4. $\phi$ est définie : $\forall x\in E$ : $\phi(x,x)=0\Longleftrightarrow x=0$

Remarque :
Dans la pratique pour montrer que $\phi$ est bilinéaire symétrique, on se contente d'établir la linéarité par rapport à une variable et de montrer la symétrie, ce qui est suffisant pour conclure.

Exemples :
Soit $E=\mathbb{C}$
On définit : $\forall (z,z^{'})\in\mathbb{C}^{2}$ : $\phi(z,z^{'})=\mathcal{R}e(\bar{z}z^{'})$
Montrons que $\phi$ est un produit scalaire sur $E=\mathbb{C}$
Soient $\lambda \in\mathbb{R}$ et $z,z^{'},z^{''} \in\mathbb{C}$
$\bullet$ $\phi(z,\lambda z^{'}+z^{''})=\mathcal{R}e(\bar{z}(\lambda z^{'}+z^{''}))=\mathcal{R}e(\lambda \bar{z}z^{'}+\bar{z}z^{''}))=\mathcal{R}e(\lambda \bar{z}z^{'})+\mathcal{R}e(\bar{z}z^{''})=\lambda\mathcal{R}e(\bar{z}z^{'})+\mathcal{R}e(\bar{z}z^{''})=\lambda\phi(z,z^{'})+\phi(z,z^{''})$
$\bullet$ $\phi(z,z^{'})=\mathcal{R}e(\bar{z} z^{'})=\mathcal{R}e(\overline{\bar{z} z^{'}})=\mathcal{R}e(z \bar{z^{'}})=\mathcal{R}e(\bar{z^{'}} z)=\phi(z^{'},z)$
$\bullet$ $\phi(z,z)=\mathcal{R}e(\bar{z}z)=\mathcal{R}e(|z|^{2})=|z|^{2} \geq 0$
$\bullet$ $\phi(z,z)=0 \Longleftrightarrow |z|^{2}=0 \Longleftrightarrow z=0$
Conclusion : $\boxed{\phi \text{ est un produit scalaire sur } \mathbb{C}}$

Soit $E=\mathbb{R}[X]$
On définit : $\forall (P,Q)\in(\mathbb{R}[X])^{2}$ : $\phi(P,Q)=\displaystyle\int_{-1}^{1} P(t)Q(t) dt$
Montrons que $\phi$ est un produit scalaire sur $E=\mathbb{R}[X]$
Soient $\lambda \in\mathbb{R}$ et $P,Q,R \in\mathbb{R}[X]$
$\bullet$ $\phi(P,\lambda Q+R)=\displaystyle\int_{-1}^{1} P(t)(\lambda Q+R)(t) dt=\displaystyle\int_{-1}^{1} P(t)(\lambda Q)(t)+P(t)R(t) dt=\displaystyle\lambda \int_{-1}^{1} P(t)Q(t) dt+\displaystyle \int_{-1}^{1} P(t)R(t) dt=\lambda\phi(P,Q)+\phi(P,R)$
$\bullet$ $\phi(P,Q)=\displaystyle\int_{-1}^{1} P(t)Q(t) dt=\displaystyle\int_{-1}^{1} Q(t)P(t) dt=\phi(Q,P)$
$\bullet$ $\phi(P,P)=\displaystyle\int_{-1}^{1} P^{2}(t) dt\geq 0$
$\bullet$ $\phi(P,P)=0\Longleftrightarrow\displaystyle\int_{-1}^{1} P^{2}(t) dt= 0$ , puisque $t\mapsto P^{2}(t)$ est continue positive sur $[-1,1]$
Donc cette fonction est nulle, or puisque un polynôme $P\in\mathbb{R}[X]$ admet une infinité de racines, alors $P=0$ .
Conclusion : $\boxed{\phi \text{ est un produit scalaire dans } \mathbb{R}[X]}$

Notation :

Le produit scalaire sera désormais noté $(.|.)$

Remarque :
On trouve aussi les notations: $<.,.>$ , $(.,.)$

2. Propriétés

Soit $E$ un $\mathbb{R}-$ ev et $(.|.)$ un produit scalaire sur $E$ .

a) Inégalités de produit scalaire

Théorème : (Inégalité de Cauchy-Schwarz)

$\forall (x,y)\in E^{2}$ : $(x|y)^{2}\leq (x|x)(y|y)$
Cas d'égalité : $(x|y)^{2}= (x|x)(y|y)$ si et seulement si la famille $(x,y)$ est liée.

Théorème : (Inégalité de Minkowski)

$\forall (x,y)\in E^{2}$ : $\sqrt{(x+y|x+y)}\leq \sqrt{(x|x)}+\sqrt{(y|y)}$
Cas d'égalité : $\sqrt{(x+y|x+y)}=\sqrt{(x|x)}+\sqrt{(y|y)} \Longleftrightarrow \begin{cases} x=0\\ \text{ ou }\\ \exists \lambda \in\mathbb{R}^{+} : y=\lambda x\end{cases}$

b) Norme et distance Euclidienne

Rappel 1 : (Définition d'une norme)

On appelle norme sur $E$ toute application $||.||:E\rightarrow \mathbb{R}$ tel que :
$\forall x\in E$ : $||x||\geq 0$
$\forall x\in E$ : $||x||=0 \Longleftrightarrow x=0_{E}$
$\forall x\in E$ , $\forall \lambda\in \mathbb{R}$ : $||\lambda x||=|\lambda|||x||$
$\forall (x,y)\in E^{2}$ : $||x+y||\leq ||x||+||y||$

Rappel 2 : (Définition d'une distance)

On appelle distance sur $E$ toute application $d:E^{2}\rightarrow \mathbb{R}$ tel que :
$\forall (x,y)\in E^{2}$ : $d(x,y)\geq 0$
$\forall (x,y)\in E^{2}$ : $d(x,y)=0 \Longleftrightarrow x=y$
$\forall (x,y)\in E^{2}$ : $d(x,y)=d(y,x)$
$\forall (x,y,z)\in E^{3}$ : $d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)$

Remarque :
Voir cours : "Normes sur un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel" pour plus de détails.

Proposition - Définition :

L'application : $\begin{array}{clcl}||.||: &E&\rightarrow &\mathbb{R}\\ &x &\mapsto&\sqrt{(x|x)}\\ \end{array}$ est une norme sur $E$ , appelée norme euclidienne associée à $(.|.)$

L'application : $\begin{array}{clcl}d: &E\times E&\rightarrow &\mathbb{R}\\ &(x,y) &\mapsto&||x-y||\\ \end{array}$ est appelée distance euclidienne associée à $(.|.)$

Propriétés :

Inégalité triangulaire : $\forall (x,y)\in E^{2}$ : $||x+y||\leq ||x||+||y||$ .
Inégalité triangulaire renversée : $\forall (x,y)\in E^{2}$ : $| ||x||-||y|| |\leq d(x,y)\leq ||x||+||y||$
Identité du parallélogramme : $\forall (x,y)\in E^{2}$ : $||x+y||^{2}+||x-y||^{2}=2(||x||^{2}+||y||^{2})$
Identité de polarisation : $\forall (x,y)\in E^{2}$ : $||x+y||^{2}-||x-y||^{2}=4(x|y)$
Identités remarquables : $\forall (x,y)\in E^{2}$ : $\begin{cases} ||x+y||^{2}=||x||^{2}+2(x|y)+||y||^{2} \\ ||x-y||^{2}=||x||^{2}-2(x|y)+||y||^{2} \\ (x+y|x-y)=||x||^{2}-||y||^{2} \end{cases}$

II. Orthogonalité - Orthonormalité

Soient $E$ un $\mathbb{R}-$ ev, $(.|.)$ un produit scalaire sur $E$ et $||.||$ la norme euclidienne associée à $(.|.)$

1. Orthogonalité

Définition :

Soit $(x,y)\in E^{2}$ .
On dit que $x$ est orthogonal à $y$ (ou $x$ et $y$ sont orthogonaux), et on note $x\perp y$ , si et seulement si : $(x|y)=0$

Exemple :
Soit $E=\mathfrak{C}^{0}([0,2\pi],\mathbb{R})$ .
$\forall (f,g)\in E^{2}$ , on pose : $(f|g)=\displaystyle \int_{0}^{2\pi} f(t)g(t)dt$ .
$(.|.)$ est un produit scalaire sur $E$ . (Démonstration laissée en exercice)

Soient $f:t\mapsto sin(t)$ , $g:t\mapsto cos(t)$ deux fonctions de $E$ .
$(f|g)=\displaystyle \int_{0}^{2\pi} f(t)g(t)dt= \int_{0}^{2\pi} sin(t)cos(t)dt=[\frac{1}{2}sin^{2}(t)]_{0}^{2\pi}=0$
Donc : $f\perp g$

Remarque :
Le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur de l'espace car $\forall x\in E$ : $(x|0)=0$ .
Inversement, puisqu'un vecteur orthogonal à tout vecteur est orthogonal à lui-même et puisque $(x|x)=0 \Longleftrightarrow x=0$ , on peut affirmer que le vecteur nul est le seul vecteur orthogonal à tout vecteur.

Définition : (Famille orthogonale)

On dit qu'une famille $(x_{i})_{i\in I}$ de vecteurs de $E$ est orthogonale si et seulement si elle est constituée de vecteurs deux à deux orthogonaux, c'est-à-dire :
$\forall(i,j)\in I^{2}$ : $i \neq j\Longrightarrow (x_{i}|x_{j})=0$
_{Rappelons que est l'ensemble des indices de la famille}

Exemple :
Dans $\mathbb{R}^{n}$ ( $n\in\mathbb{N}^{*}$ ) muni du produit scalaire canonique défini par :
$\forall x=(x_{i})_{1\leq i\leq n} \in \mathbb{R}^{n}$ , $\forall y=(y_{i})_{1\leq i\leq n} \in \mathbb{R}^{n}$ : $(x|y)=\displaystyle \sum_{k=1}^{n} x_{k}y_{k}$ (démonstration laissée en exercice)

La base canonique de $\mathbb{R}^{n}$ est une famille orthogonale.

Théorème : (Dit de Pythagore)

Pour toute famille $(x_{i})_{i\in I}$ orthogonale, on a : $||\displaystyle\sum_{i\in I} x_{i}||^{2}=\sum_{i\in I} ||x_{i}||^{2}$

Proposition :

Toute famille orthogonale ne comportant pas le vecteur nul est libre.

2. Orthonormalité

Définition :

On dit qu'un vecteur $x$ de $E$ est unitaire (ou normé) si et seulement si $||x||=1$ .

Définition :

On dit qu'une famille $(x_{i})_{i\in I}$ d'éléments de $E$ est orthonormale (ou orthonormée) si et seulement si : $\begin{cases} (x_{i})_{i\in I} \text{ est orthogonale } \\ \forall i \in I, \text{ } ||x_{i}||=1 \end{cases}$ , c'est-à-dire que toute famille orthonormée est constituée de vecteurs unitaires deux à deux orthogonaux.

Remarque :
Si $(x_{i})_{i\in I}$ est orthonormée, alors: $\forall i,j\in I$ : $(x_{i}|x_{j})=\delta_{i,j}$ (symbole de Kronecker)

Définition :

On dit qu'on norme un vecteur $x$ de $E$ si on le multiplie par l'inverse de sa norme, cela veut dire qu'on considère le vecteur unitaire $u=\dfrac{x}{||x||}$ .

Proposition :

i la famille $(x_{i})_{i\in I}$ de vecteurs de $E$ est orthogonale ne comportant pas le vecteur nul, alors la famille $\left(\dfrac{x_{i}}{||x_{i}||} \right)_{i\in I}$ est orthonormée.

Proposition :

Toute famille orthonormée est libre.

3. Orthogonal d'une partie

Définition :

Soient $x\in E$ et $A$ une partie de $E$ .
On dit que $x$ est orthogonal à $A$ , et on note $x \perp A$ , si et seulement si : $\forall a\in A$ , $(x|a)=0$

Définition : (Orthogonal d'une partie)

Pour toute partie $A$ de $E$ , on définit l'orthogonal de $A$ , noté $A^{\perp}$ , par :
$A^{\perp}=\lbrace x\in E / x\perp A\rbrace$

Proposition :

Pour toute partie $A$ de $E$ , $A^{\perp}$ est un sous-espace vectoriel de $E$ .
Pour toutes parties $A,B$ de $E$ : $A\subset B\Longrightarrow B^{\perp}\subset A^{\perp}$ .
Pour toute partie $A$ de $E$ : $A^{\perp}=(Vect(A))^{\perp}$ .
Pour toute partie $A$ de $E$ : $A\subset A^{\perp\perp}$ .
$E^{\perp}=\lbrace 0\rbrace$ , $\lbrace 0\rbrace^{\perp}=E$ .
Pour toute partie $A$ de $E$ , $A\cap A^{\perp} \subset \lbrace 0 \rbrace$ .
Pour tous sous-espaces vectoriels $F,G$ de $E$ : $(F+G)^{\perp}=F^{\perp}\cap G^{\perp}$ , $F^{\perp}+G^{\perp} \subset (F\cap G)^{\perp}$ .

4. Sous-espaces vectoriels orthogonaux

Définition :

Deux sous-espaces vectoriels $F$ et $G$ de $E$ sont dits orthogonaux si et seulement si: $\forall (x,y)\in F\times G$ : $(x|y)=0$

Proposition :

Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels de $E$ .
Si $F$ et $G$ sont orthogonaux alors $F\cap G=\lbrace 0\rbrace$

Proposition :

Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels de $E$ . Les propositions suivantes sont équivalentes :
(i) $F$ et $G$ sont orthogonaux.
(ii) $F\subset G^{\perp}$ .
(iii) $G\subset F^{\perp}$ .

III. Espaces vectoriels euclidiens

1. Définition et généralités

Définition :

On appelle espace vectoriel euclidien tout $\mathbb{R}$ -espace vectoriel de dimension finie muni d'un produit scalaire.

Théorème : (Orthogonalisation/Orthonormalisation de Schmidt)

Soit $p\in\mathbb{N}^{*}$ , soit $\mathcal{F}=(e_{1},\ldots,e_{p})$ une famille libre de vecteurs d'un espace vectoriel euclidien $E$ .
On peut construire une famille orthogonale $(v_{1},\ldots,v_{p})$ de vecteurs de $E$ ou encore une famille orthnormée $(V_{1},\ldots,V_{p})$ de vecteurs de $E$ vérifiant: $\forall k\in \lbrace 1,\ldots, p\rbrace$ : $Vect(e_{1},\ldots,e_{k})=Vect(v_{1},\ldots,v_{k})=Vect(V_{1},\ldots,V_{k})$ .

Procédé d'orthonormalisation de Schmidt :
Dans la pratique, pour orthonormaliser une famille libre $(e_{1},\ldots,e_{p})$ :
on pose $v_{1}=e_{1}$ .
pour $1\leq k\leq p-1$ , lorsque $v_{1},\ldots,v_{k}$ sont trouvés, on cherche $v_{k+1}$ de la forme : $v_{k+1}=e_{k+1}+\lambda_{1}v_{1}+\lambda_{k}v_{k}$ (où $\forall i\in\lbrace 1,\ldots k\rbrace$ : $\lambda_{i}\in \mathbb{R}$ ) , de sorte que $\forall m\in\lbrace 1,\ldots,k\rbrace$ : $(v_{k+1}|v_{m})=0$ , ce qui fournit la valeur de $\lambda_{m}$ .
une fois la famille $(v_{1},\ldots,v_{p})$ obtenue, on normalise chaque vecteur en posant $\displaystyle V_{m}=\frac{v_{m}}{||v_{m}||}$ .
La famille $(V_{1},\ldots,V_{p})$ ainsi formée est appelée famille orthonormalisée de $(e_{1},\ldots,e_{p})$ selon le procédé de Schmidt.

Remarque :
On peut se contenter d'orthogonaliser une famille libre en utilisant le même procédé (qui sera appelé procédé d'orthogonalisation de Schmidt), c'est la famille $(v_{1},\ldots,v_{p})$ pas normalisée, appelée dans ce cas la famille orthogonalisée de $(e_{1},\ldots,e_{p})$ .

Exemple :
Dans $\mathbb{R}^3$ muni du produit scalaire canonique : $\forall x=(x_{1},x_{2},x_{3})$ et $y=(y_1,y_2,y_3)$ de $\mathbb{R}^{3}$ : $(x|y)=\displaystyle \sum_{k=1}^{3}x_{k}y_{k}$
Soient $e_1=(0,1,1)$ , $e_2=(1,0,1)$ , $e_3=(1,1,0)$ .
La famille $(e_1,e_2,e_3)$ est libre puisque $\begin{vmatrix}0&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{vmatrix}=2$ .
Formons son orthonormalisée selon le procédé de Schmidt.
On pose : $v_1=e_1=(0,1,1)$
$v_2=e_2+\lambda v_1$
$(v_2|v_1)=0$ donne $\lambda=-\displaystyle\frac{1}{2}$ , donc: $v_2 \displaystyle=(1,-\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ .
$v_3=e_3+\lambda v_1+\mu v_2$
$(v_3|v_1)=0$ donne $\lambda=-\displaystyle\frac{1}{2}$
$(v_3|v_2)=0$ donne $\mu=-\displaystyle\frac{1}{3}$ , donc: $v_3=(\displaystyle\frac{2}{3},\frac{2}{3},-\frac{2}{3})$ .
Il ne reste qu'à normaliser la famille $(v_1,v_2,v_3)$ (qui n'est autre que l'orthogonalisée de $(e_1,e_2,e_3)$ ) :
$\begin{cases}V_1=\displaystyle\frac{v_1}{||v_1||}=(0,\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}})\\ V_2=\displaystyle\frac{v_2}{||v_2||}=(\frac{2}{\sqrt{6}},-\frac{1}{\sqrt{6}},\frac{1}{\sqrt{6}})\\V_3=\displaystyle\frac{v_3}{||v_3||}=(\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}},-\frac{1}{\sqrt{3}})\end{cases}$
La famille $(V_1,V_2,V_3)$ est l'orthonormée de $(e_1,e_2,e_3)$

Définition : (Base Orthonormée)

On appelle base orthonormée d'un espace vectoriel euclidien $E$ (en abrégé : b.o.n) toute base de $E$ constituée de vecteurs unitaires deux à deux orthogonaux.

Proposition :

Tout espace vectoriel euclidien $E$ possède une b.o.n.

Démonstration immédiate d'après le procédé d'orthonormalisation de Schmidt

Proposition :

Tout sous-espace vectoriel d'un espace euclidien possède une b.o.n.

Théorème : (de la b.o.n incomplète)

Soit $E$ un espace vectoriel euclidien de dimension $n$ .
Pour toute famille $(e_1,\ldots,e_p)$ de vecteurs dans $E$ $(p \text{ un entier }\leq n)$ , il existe $e_{p+1},\ldots,e_{n} \in E$ tels que la famille $(e_1,\ldots,e_n)$ soit une b.o.n de $E$ .

2. Composantes dans une base orthonormée

Soit $E$ un espace vectoriel euclidien de dimension $n$ , muni d'une b.o.n $\mathcal{B}=(e_1,\ldots,e_n)$

Théorème :

Les composantes de tout vecteur $x$ de $E$ dans la b.o.n $\mathcal{B}$ sont les $(e_1|x),\ldots,(e_n|x)$ .

Preuve :
Puisque $\mathcal{B}$ est une base de $E$ , on peut écrire $x=\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \lambda_k e_k$ avec $\forall k\in\lbrace 1,\ldots, n\rbrace$ : les $\lambda_k$ sont les composantes de $x$ dans $\mathcal{B}$ .
Or, par bilinéarité du produit scalaire: $\forall i\in\lbrace 1,\ldots, n\rbrace$ : $(e_i|x)=(e_i|\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \lambda_k e_k)=\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\lambda_k(e_i|e_k)=\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\lambda_k \delta_{i,k}=\lambda_i$ .
Donc: $\forall x\in E$ , on a: $x=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(e_k|x)e_k$ .

Théorème :

Si $x$ et $y$ sont de vecteurs de $E$ de composantes respectives $x_1,\ldots,x_n$ et $y_1,\ldots,y_n$ dans la b.o.n $\mathcal{B}$ , alors :
$\begin{cases}(x|y)=\displaystyle\sum_{k=1}^{n} x_ky_k \\ ||x||=\sqrt{\displaystyle\sum_{k=1}^{n} x_k^{2}}\end{cases}$

Proposition : (représentation matricielle)

Soient $x$ , $y$ $\in E$ de composantes respectives $x_1,\ldots,x_n$ et $y_1,\ldots,y_n$ dans la b.o.n $\mathcal{B}$ , si on pose :
$X=Mat_{\mathcal{B}}(x)=\begin{pmatrix}x_1\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}$ et $Y=Mat_{\mathcal{B}}(y)=\begin{pmatrix}y_1\\\vdots\\y_n\end{pmatrix}$
Alors : $(x|y)=^{t}XY=\displaystyle\sum_{k=1}^{n} x_ky_k$ et $||x||^{2}=^{t}XX$

Proposition :

L'application $\psi:E\rightarrow \mathbb{R}^n$ définie par $\psi(x)=(x_1,\ldots,x_n)$ est un isomorphisme de $\mathbb{R}-$ espace vectoriel.
De plus, $\forall x,y\in E$ : $(x|y)_{E}=(\psi(x)|\psi(y))_{\mathbb{R}^{n}}$ où $(.|.)_{E}$ un produit scalaire sur $E$ et $(.|.)_{\mathbb{R}^{n}}$ le produit scalaire canonique de $\mathbb{R}^{n}$

Ainsi $E$ muni d'une b.o.n devient semblable à $\mathbb{R}^{n}$ .

3. Supplémentaire orthogonal

Soit $E$ un espace vectoriel euclidien.

Proposition - définition :

Pour tout sous-espace vectoriel $F$ de $E$ , $F^{\perp}$ est un supplémentaire de $F$ dans $E$ , appelé supplémentaire orthogonal de $F$ dans $E$ .
En particulier : $dim(F^{\perp})=dim(E)-dim(F)$

Proposition :

Pour tout sous-espace vectoriel $F$ de $E$ : $F^{\perp \perp}=F$
Pour tous sous-espaces vectoriels $F,G$ de $E$ : $(F\cap G)^{\perp}=F^{\perp}+G^{\perp}$

4. Projection et symétrie orthogonales

$E$ désigne un espace vectoriel euclidien de dimension $n$ muni d'un produit scalaire $(.|.)$ .

a) Projection orthogonale

Définition :

Pour tout sous-espace vectoriel $F$ de $E$ , on appelle projecteur orthogonal sur (ou projection orthogonale sur) $F$ et on note $p_{F}$ le projecteur sur $F$ parrallèlement à $F^{\perp}$

Remarque :
$p_{\lbrace 0\rbrace}=0$ et $p_{E}=Id$

Exemples :
Projection sur droite vectorielle: Soit $D=Vect(a)$ avec $a\neq0$ .
$\forall x\in E$ : $p_D(x)=\displaystyle\frac{(a|x)}{||a||^{2}}a$

Projection sur hyperplan vectorielle: Soit $H=Vect(a)^{\perp}$ avec $a\neq0$ .
$\forall x\in E$ : $p_H(x)=x-\displaystyle\frac{(a|x)}{||a||^{2}}a$

Théorème :

Soit $F$ un sous-espace vectoriel de $E$ , si $\mathcal{B}=(e_1,\ldots,e_p)$ est une b.o.n de $F$ alors :
$\forall x \in E$ : $p_F(x)=\displaystyle \sum_{i=1}^{p}(e_i|x)e_i$ .

Théorème : (Caractérisation des projections orthogonales)

Soit $p\in\mathcal{L}(E)$ . On a équivalence entre :
(i) $p$ est une projection orthogonale.
(ii) $p^2=p$ et $\forall x,y\in E$ : $(p(x)|y)=(x|p(y))$ .

Corollaire :

La matrice représentative d'une projection orthogonale dans une base orthonormée est symétrique.

Définition :

Soient $F$ un sous-espace vectoriel de $E$ et $x\in E$ , on appelle distance de $x$ à $F$ , et on note $d(x,F)$ , le réel défini par: $d(x,F)=\displaystyle Inf_{y\in F} ||x-y||$

Proposition :

Soient $F$ un sous-espace vectoriel de $E$ et $x\in E$ . On a :
$\begin{cases} \forall y\in F, ||x-y||\geq ||x-p_{F}(x)||\\ \forall y\in F, ||x-y||=||x-p_{F}(x)|| \Longleftrightarrow y=p_{F}(x) \end{cases}$

Corollaire :

Soient $F$ un sous-espace vectoriel de $E$ et $x\in E$ :
$d(x,F)=||x-p_F(x)||$

Exemples :
Projection sur droite vectorielle: Soit $D=Vect(a)$ avec $a\neq0$ .
$\forall x\in E$ : $p_D(x)=\displaystyle\frac{(a|x)}{||a||^{2}}a$
Donc : $d(x,D)=||x-\displaystyle\frac{(a|x)}{||a||^{2}}a||$ .

Projection sur hyperplan vectorielle: Soit $H=Vect(a)^{\perp}$ avec $a\neq0$ .
$\forall x\in E$ : $p_H(x)=x-\displaystyle\frac{(a|x)}{||a||^{2}}a$
Donc : $d(x,H)=||x-(x-\displaystyle\frac{(a|x)}{||a||^{2}}a)||= \dfrac{|(a|x)|}{||a||}$

b) Symétrie orthogonale

Définition :

Pour tout sous-espace vectoriel $F$ de $E$ , on appelle symétrie orthogonale par rapport à $F$ l'endomorphisme $s_{F}$ de $E$ défini par: $s_{F}=2p_{F}-Id_{E}$ où $p_{F}$ est le projecteur orthogonal sur $F$ .

Remarques :
$s_{\lbrace 0\rbrace}=-Id_{E}$ .
$s_{E}=Id_{E}$ .

Exemple :
Symétrie par rapport à une droite vectorielle : Soit $D=Vect(a)$ avec $a\neq0$ .
$\forall x\in E$ : $s_D(x)=\displaystyle 2\frac{(a|x)}{||a||^{2}}a-x$

Théorème :

Soient $F$ un sous-espace vectoriel de $E$ , si $\mathcal{B}=(e_1,\ldots,e_p)$ est une b.o.n de $F$ alors :
$\forall x\in E$ : $s_F(x)=\displaystyle\sum_{j=1}^{p}(e_j|x)e_j-x.$

Théorème : (Caractérisation des symétries orthogonales)

Soit $s\in\mathcal{L}(E)$ . On a équivalence entre :
(i) $s$ est un symétrie orthogonale.
(ii) $s^{2}=Id$ et $\forall x,y\in E$ : $(s(x)|y)=(x|s(y))$ .

Corollaire :

La matrice d'une symétrie orthogonale dans une base orthonormée est symétrique.

Corollaire :

Les symétries orthogonales conservent le produit scalaire: $\forall x,y\in E$ : $(s(x)|s(y))=(x|y)$ (où $s$ est une symétrie quelconque de $\mathcal{L}(E)$ )
Les symétries orthogonales conservent la norme : $\forall x\in E$ : $||s(x)||=||x||.$ (où $s$ est une symétrie quelconque de $\mathcal{L}(E)$ )

Définition :

On appelle réflexion de $E$ toute symétrie orthogonale par rapport à un hyperplan de $E$ .

Exemple :
Soit $H=Vect(a)^{\perp}$ avec $a \neq 0$ .
$\forall x\in E$ : $s_H(x)=x- 2 \dfrac{(a|x)}{||a||^{2}}a$

IV. Groupe orthogonal

Soient $n \in \mathbb{N}^{*}$ , $E$ un espace vectoriel euclidien de dimension $n$ muni d'un produit scalaire $(.|.)$

Rappel :
Dans $\mathbb{R}^{n}$ , le produit scalaire canonique est défini par:
$\forall x=(x_{i})_{1\leq i\leq n} \in \mathbb{R}^{n}$ , $\forall y=(y_{i})_{1\leq i\leq n} \in \mathbb{R}^{n}$ : $(x|y)=\displaystyle \sum_{k=1}^{n} x_{k}y_{k}$
Dans $\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})$ , le produit scalaire canonique est défini par:
$\forall A,B\in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})$ : $(A|B)=tr(^{t}AB)$

1. Endomorphismes orthogonaux

Définition :

Un endomorphisme $f$ de $E$ est dit orthogonal si et seulement si $f$ conserve le produit scalaire, c'est-à-dire :
$\forall x,y\in E$ : $(f(x)|f(y))=(x|y)$
On note $\mathcal{O}(E)$ l'ensemble des endomorphismes orthogonaux.

Exemple :
$Id_{E}$ et $-Id_{E}$ sont des endomorphismes orthogonaux.

Remarque :
Les symétries orthogonales, et en particulier les réflexions, sont des endomorphismes orthogonaux, tandis que Les projections orthogonales ne le sont pas en général.

Théorème :

Soit $f$ un endomorphisme de $E$ . On a équivalence entre :
(i) $f$ est orthogonal.
(ii) $f$ conserve la norme ( $\forall x\in E$ , $||f(x)||=||x||$ )

Proposition :

Soit $f\in \amthcal{L}(E)$ . les propriétés suivantes sont deux à deux équivalentes :
(i) $f\in\mathcal{O}(E)$
(ii) Pour toute b.o.n $\mathcal{B}$ de $E$ , $f(\mathcal{B})$ est une b.o.n de $E$ .
(iii) Il existe une b.o.n $\mathcal{B}$ de $E$ telle que $f(\mathcal{B})$ soit une b.o.n de $E$

Corollaire :

Un endomorphisme orthogonal de $E$ est un automorphisme de $E$ .
On parle indifféremment d'endomorphisme ou d'automorphisme orthogonal.

Preuve :
Si $f\in\mathcal{O}(E)$ , alors par conservation de la norme : $f(x)=0\Longrightarrow x=0$ et donc $ker(f)=\lbrace 0\rbrace$ .

Proposition - Définition :

$\mathcal{O}(E)$ est un sous-groupe de $(\mathcal{GL}(E),o)$ .
$(\mathcal{O}(E),o)$ est appelé groupe orthogonal de $E$ .

Corollaire :

Si $f\in\mathcal{O}(E)$ alors $det(f)\in\lbrace -1,1\rbrace$ .

Définition :

Les automorphismes orthogonaux de déterminant 1 (resp. -1) sont appelés positifs (ou directs) (resp. négatifs (ou indirects)).

Proposition - définition :

$\mathcal{SO}(E)=\lbrace f\in\mathcal{O}(E) / det(f)=1\rbrace$ est un sous-groupe de $(\mathcal{GL}(E),o)$ appelé groupe spécial orthogonal de $E$ .

2. Matrices orthogonales

Définition :

Une matrice $A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$ est dite orthogonale si et seulement si l'endomorphisme de $\mathbb{R}^{n}$ représenté par $A$ dans la base canonique de $\mathbb{R}^{n}$ est un endomorphisme orthogonal de $\mathbb{R}^{n}$ muni du produit scalaire usuel.
On note $\mathcal{O}_{n}(\mathbb{R})$ l'ensemble de ces matrices.

Proposition :

$A\in\mathcal{O}_{n}(\mathbb{R}) \Longleftrightarrow A\in GL_{n}(\mathbb{R}) \text{ et } A^{-1}=^{t}A$

Proposition :

Soit $A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$ ; Les propositions suivantes sont 2 à 2 équivalentes :
$A\in\mathcal{O}_{n}(\mathbb{R})$
$^{t}AA=I_{n}$
$A^{t}A=I_{n}$
Pour toute b.o.n $\mathcal{B}$ de $E$ , l'endomorphisme de $E$ représenté par $A$ dans $\mathcal{B}$ est orthogonal.
Il existe une b.o.n de $E$ dans laquelle l'endomorphisme représenté par $A$ est orthogonal.
Les colonnes de $A$ forment une b.o.n de $\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})$ pour le produit scalaire usuel.
Les lignes de $A$ forment une b.o.n de $\mathcal{M}_{1,n}(\mathbb{R})$ pour le produit scalaire usuel.

Proposition :

$\mathcal{O}_{n}(\mathbb{R})$ est un groupe pour la multiplication, appelé groupe orthogonal d'ordre $n$ .

Proposition :

Soit $\mathcal{B}$ une b.o.n de $E$ , $\mathcal{B}^{'}$ une base de $E$ , $P$ la matrice de passage de $\mathcal{B}$ à $\mathcal{B}^{'}$ . Alors :
$\mathcal{B}^{'}$ est une b.o.n si et seulement si $P\in\mathcal{O}_{n}(\mathbb{R})$

Proposition - définition :

[puce ]Soit $A\in\mathcal{O}_{n}(\mathbb{R})$ . On dit que $A$ est orthogonale droite (resp. gauche) si et seulement si $det(A)=1$ (resp. $-1$ ).
L'ensemble des matrices orthogonales droites d'ordre $n$ est un sous-groupe de $\mathcal{O}_{n}(\mathbb{R})$ , appelée groupe spécial orthogonal d'ordre $n$ , noté $\mathcal{SO}_{n}(\mathbb{R})$

Définition - Proposition :

Soit $(V_{1},\ldots,V_{n})\in E^{n}$ . Le déterminant $det_{\mathcal{B}}(V_{1},\ldots,V_{n})$ ne dépend pas du choix de la b.o.n directe $\mathcal{B}$ , et est appelé produit mixte de $(V_{1},\ldots,V_{n})$ et noté $[V_{1},\ldots,V_{n}]$

Publié par Panter le 30-11--0001

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