I. Familles libres - familles génératrices - bases
est un -espace vectoriel
1. Familles d'éléments
Définitions : Une famille indexée par un ensemble est une application de dans . On la note .
Le support d'une famille est le sous-ensemble .
Une famille est dite finie lorsque est un ensemble fini.
Définition : "sous-famille et sur-famille" : Soit une famille de et .
On dit que est une sous-famille de ou encore que est une sur-famille de .
2. Combinaisons linéaires d'éléments de E
Définition : Soit une famille d'éléments de .
On dit que est combinaison linéaire de cette famille quand il existe une famille de scalaires à support fini telle que : , on note alors : .
Définition : Soit une partie de .
On dit que est combinaison linéaire de lorsqu'il est combinaison linéaire de la famille des éléments de .
3. Familles génératrices
Définition : Une famille d'éléments de est dite génératrice de si et seulement si tout élément de est combinaison linéaire de .
Propriété : Toute sur-famille d'une famille génératrice est aussi une famille génératrice de .
4. Familles libres - familles liées
Définition : Une famille d'éléments de est dite libre ssi pour toute famille d'éléments de à support fini :
Une famille d'éléments de est dite liée si elle n'est pas libre, c'est-à-dire ssi il existe une famille d'éléments de à support fini, telle que :
et
Propriétés : 1. Une famille à un élément est libre ssi .
2. Les éléments d'une famille libre sont deux à deux distincts.
3. Toute sur-famille d'une famille liée est liée.
4. Toute sous-famille d'une famille libre est libre.
5. Bases
Définition : Une base de est une famille d'éléments de à la fois libre et génératrice de .
Proposition - Définition : Si est une base de , alors,pour tout de , il existe une famille de ; à support fini, unique, telle que . Les sont appelés les coordonnées ou composantes de dans la base .
Proposition : Si est une famille d'éléments de E, les trois propositions suivantes sont équivalentes :
1. B est une base
2. B est une famille libre maximale (i.e. aucune sur-famille stricte de B n'est libre)
3. B est une famille génératrice minimale (i.e. aucune sous-famille stricte de B n'est génératrice).
6. Applications linéaires
Propriété : Soient et des -ev, et une famille génératrice de .
Alors est une famille génératrice de .
Propriétés : Soient et deux -ev et .
Si est une famille liée de , alors est une famille liée de .
Si est injective et est une famille libre de , alors est libre dans .
Théorème : Soient et deux -ev, une base de et une famille de vecteurs de .
Alors il existe une unique application linéaire telle que : (pour tout ), et qui est :
Surjective ssi est une famille génératrice de .
Injective ssi est une famille libre.
Un isomorphisme ssi est une base de .
II. Les bases d'un espace vectoriel de dimension finie
1. Espaces vectoriels de dimension finie
Définition : On dit qu'un -ev est de dimension finie s'il admet une famille génératrice finie.
Théorème de la base incomplète : Soient un -ev non nul de dimension finie, et une famille génératrice finie de .
Pour toute sous-famille libre de (avec ), il existe tel que et tel que soit une base de .
Proposition : Tout -ev non nul de dimension finie admet une base finie.
Lemme de "Ernst Steinitz" : Soit un -ev et un sev non nul de dimension finie.
Si admet une famille génératrice de cardinal , donc toute famille de de cardinal est liée.
Proposition : Soit un -ev. Si admet une famille génératrice de cardinal , alors :
1. Toute famille libre est de cardinal au plus .
2. Toute famille d'au moins vecteurs est liée.
2. Dimension d'un espace vectoriel
Théorème de la dimension : Soit un -ev non nul de dimension finie.
Alors toutes les bases dans ont le même nombre d'éléments.
Définition : Soit un -ev non nul de dimension finie.
On appelle le nombre d'éléments d'une base de la dimension de , et on le note par ou plus simplement s'il n'y a pas d'ambiguité.
Remarque : On convient de dire que l'espace vectoriel nul a pour dimension .
Propriété : Des -ev de dimensions finies sont isomorphes ssi ils ont la même dimension.
III. Sous-espaces supplémentaires et dimension
1. Dimension d'un sev
Propriété : Soit un -ev de dimension finie et soit un sev de .
1. est de dimension finie et .
2. On a ssi .
2. Sous espaces supplémentaires
Théorème : Tout sev d'un espace vectoriel de dimension finie admet un supplémentaire dans .
Théorème : Soit un espace vectoriel de dimension finie et soient et deux sev de .
Si , alors .
Remarque : D'après le théorème précédent, si est un hyperplan, alors : .
Propriété : Soit un -ev.
Si et sont deux sev non nuls supplémentaires dans et de dimensions finies, alors est aussi de dimension finie et on a : .
Théorème : Soit un -ev de dimension finie et soient et deux sev de , on a :
Propriétés : Soit un -ev de dimension finie et soient et deux sev de .
est sont supplémentaires ssi :
et ou bien ssi : et .
Théorème de l'espace produit : Soit et deux -ev de dimensions finies, alors :
est de dimension finie et .
Théorème fondamental des applications linéaires : L'espace vectoriel est de dimension finie et : .
IV. Rang d'une application linéaire - Rang d'un système de vecteurs
1. Rang d'une application linéaire
Définition - Théorème du rang : Soit et des -espaces vectoriels et .
Si est de dimension finie, alors est de dimension finie et sa dimension est appelée le rang de et est notée , de plus, on a : c'est-à-dire :
Théorème : Soit et des -ev de dimension finie avec et soit , alors les propositions suivantes sont équivalentes :
1. est injective.
2. est surjective.
3. est bijective.
4. .
Propriétés : Soient et des -ev avec de dimensions finies, et soient et , on a :
De plus, si est bijective, alors et si est bijective, alors .
2. Rang d'un système de vecteurs
Définition : Le rang d'une famille finie d'éléments d'un -ev est la dimension du sev engendré par ces vecteurs.
Remarque : Soient et deux ev avec de dimension finie , et une base de .
Le système est un générateur de alors on a .
Propriétés : Méthode du pivot de Gauss : Soit un -ev et soit une système de vecteurs de .
1. Pour toute permutation .
2. Pour tout .
3. Pour tout .
4. .
Merci à Panter (Correcteur) pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche