Fiche de mathématiques

algèbre

Espaces vectoriels de dimension finie

Soit $K$ un corps commutatif.

I. Familles libres - familles génératrices - bases

$E$ est un $K$ -espace vectoriel

1. Familles d'éléments

Définitions :

Une famille indexée par un ensemble $I$ est une application $i \longrightarrow x_i$ de $I$ dans $E$ . On la note $(x_i)_{i \in I}$ .

Le support d'une famille $(x_i)_{i \in I}$ est le sous-ensemble $\lbrace i \in I \, / \, x_i \not = 0 \rbrace$ .

Une famille $(x_i)_{i \in I}$ est dite finie lorsque $I$ est un ensemble fini.

Définition : "sous-famille et sur-famille" :

Soit $(x_i)_{i \in I}$ une famille de $E$ et $J \subset I$ .
On dit que $(x_j)_{j \in J}$ est une sous-famille de $(x_i)_{i \in I}$ ou encore que $(x_i)_{i \in I}$ est une sur-famille de $(x_j)_{j \in J}$ .

2. Combinaisons linéaires d'éléments de E

Définition :

Soit $(x_i)_{i \in I}$ une famille d'éléments de $E$ .
On dit que $x \in E$ est combinaison linéaire de cette famille quand il existe une famille $(\beta_i)_{i \in I}$ de scalaires à support fini telle que : $x = \displaystyle \sum _{ i \in I , \beta_i \not = 0 } \beta_i x_i$ , on note alors : $x = \displaystyle \sum_{i \in I} \beta_i x_i$ .

Définition :

Soit $F$ une partie de $E$ .
On dit que $x \in E$ est combinaison linéaire de $F$ lorsqu'il est combinaison linéaire de la famille $(x_k)_{k \in F}$ des éléments de $F$ .

3. Familles génératrices

Définition :

Une famille $(x_i)_{i \in I}$ d'éléments de $E$ est dite génératrice de $E$ si et seulement si tout élément de $E$ est combinaison linéaire de $(x_i)_{i \in I}$ .

Propriété :

Toute sur-famille d'une famille génératrice est aussi une famille génératrice de $E$ .

4. Familles libres - familles liées

Définition :

Une famille $(x_i)_{i \in I}$ d'éléments de $E$ est dite libre ssi pour toute famille $(\beta_i)_{i \in I}$ d'éléments de $K$ à support fini :
$\displaystyle \sum_{i \in I} \beta_i x_i = 0 \Longrightarrow (\forall i \in I \, , \, \beta_i = 0 )$

Une famille $(x_i)_{i \in I}$ d'éléments de $E$ est dite liée si elle n'est pas libre, c'est-à-dire ssi il existe une famille $(\beta_i)_{i \in I}$ d'éléments de $K$ à support fini, telle que :
$(\beta_i)_{i \in I} \not = (0)$ et $\displaystyle \sum_{i \in I} \beta_i x_i = 0$

Propriétés :

1. Une famille à un élément $(x)$ est libre ssi $x \not = 0_E$ .
2. Les éléments d'une famille libre sont deux à deux distincts.
3. Toute sur-famille d'une famille liée est liée.
4. Toute sous-famille d'une famille libre est libre.

5. Bases

Définition :

Une base de $E$ est une famille $(b_i)_{i \in I}$ d'éléments de $E$ à la fois libre et génératrice de $E$ .

Proposition - Définition :

Si $(b_i)_{i \in I}$ est une base de $E$ , alors, pour tout $x$ de $E$ , il existe une famille $(\lambda_i)_{i \in I}$ de $K$ ; à support fini, unique, telle que $x = \displaystyle \sum_{i \in I}^{ } \lambda_i b_i$ . Les $\lambda_i \: \: (i \in I)$ sont appelés les coordonnées ou composantes de $x$ dans la base $(b_i)_{i \in I}$ .

Proposition :

Si $B=(b_i)_{i\in I}$ est une famille d'éléments de E, les trois propositions suivantes sont équivalentes :
1. B est une base
2. B est une famille libre maximale (i.e. aucune sur-famille stricte de B n'est libre)
3. B est une famille génératrice minimale (i.e. aucune sous-famille stricte de B n'est génératrice).

6. Applications linéaires

Propriété :

Soient $E$ et $F$ des $K$ -ev, $u \in \mathfrak{L}(E,F)$ et $(x_i)_{i \in I }$ une famille génératrice de $E$ .
Alors $(u(x_i))_{i \in I}$ est une famille génératrice de $Im (u)$ .

Propriétés :

Soient $E$ et $F$ deux $K$ -ev et $u \in \mathfrak{L}(E,F)$ .

Si $(x_i)_{i \in I}$ est une famille liée de $E$ , alors $(u(x_i))_{i \in I}$ est une famille liée de $F$ .

Si $u$ est injective et $(x_i)_{i \in I}$ est une famille libre de $E$ , alors $(u(x_i))_{i \in I}$ est libre dans $F$ .

Théorème :

Soient $E$ et $F$ deux $K$ -ev, $\mathfrak{B} = (b_i)_{i \in I}$ une base de $E$ et $\mathfrak{X} = (x_i)_{i \in I}$ une famille de vecteurs de $F$ .
Alors il existe une unique application linéaire $\psi \: : \: E \longrightarrow F$ telle que : $\psi (b_i) = x_i$ (pour tout $i \in I$ ), et qui est :

Surjective ssi $\mathfrak{X}$ est une famille génératrice de $F$ .

Injective ssi $\mathfrak{X}$ est une famille libre.

Un isomorphisme ssi $\mathfrak{X}$ est une base de $F$ .

II. Les bases d'un espace vectoriel de dimension finie

1. Espaces vectoriels de dimension finie

Définition :

On dit qu'un $K$ -ev est de dimension finie s'il admet une famille génératrice finie.

Théorème de la base incomplète :

Soient $E$ un $K$ -ev non nul de dimension finie, et $(x_i)_{i \in I}$ une famille génératrice finie de $E$ .
Pour toute sous-famille libre $(x_i)_{i \in I'}$ de $(x_i)_{i \in I}$ (avec $I' \subset I$ ), il existe $I^{\prim \prim}$ tel que $I' \subset I^{\prim \prim} \subset I$ et tel que $(x_i)_{i \in I^{\prim \prim}}$ soit une base de $E$ .

Proposition :

Tout $K$ -ev non nul de dimension finie admet une base finie.

Lemme de "Ernst Steinitz" :

Soit $E$ un $K$ -ev et $A$ un sev non nul de dimension finie.
Si $A$ admet une famille génératrice de cardinal $n \in \mathbb{N}^*$ , donc toute famille de $A$ de cardinal $n+1$ est liée.

Proposition :

Soit $E$ un $K$ -ev. Si $E$ admet une famille génératrice de cardinal $n$ , alors :
1. Toute famille libre est de cardinal au plus $n$ .
2. Toute famille d'au moins $n+1$ vecteurs est liée.

2. Dimension d'un espace vectoriel

Théorème de la dimension :

Soit $E$ un $K$ -ev non nul de dimension finie.
Alors toutes les bases dans $E$ ont le même nombre d'éléments.

Définition :

Soit $E$ un $K$ -ev non nul de dimension finie.
On appelle le nombre d'éléments d'une base de $E$ la dimension de $E$ , et on le note par $\dim_K E$ ou plus simplement $\dim E$ s'il n'y a pas d'ambiguité.

Remarque :
On convient de dire que l'espace vectoriel nul a pour dimension $0$ .

Propriété :

Des $K$ -ev de dimensions finies sont isomorphes ssi ils ont la même dimension.

III. Sous-espaces supplémentaires et dimension

1. Dimension d'un sev

Propriété :

Soit $E$ un $K$ -ev de dimension finie et soit $F$ un sev de $E$ .
1. $F$ est de dimension finie et $\dim F \leq \dim E$ .
2.On a $\dim F = \dim E$ ssi $F = E$ .

2. Sous espaces supplémentaires

Théorème :

Tout sev d'un espace vectoriel $E$ de dimension finie admet un supplémentaire dans $E$ .

Théorème :

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie et soient $F$ et $G$ deux sev de $E$ .
Si $F \oplus G = E$ , alors $\dim F + \dim G = \dim E$ .

Remarque :
D'après le théorème précédent, si $H$ est un hyperplan, alors : $\dim H = \dim E -1$ .

Propriété :

Soit $E$ un $K$ -ev.
Si $F$ et $G$ sont deux sev non nuls supplémentaires dans $E$ et de dimensions finies, alors $E$ est aussi de dimension finie et on a : $\dim F + \dim G = \dim E$ .

Théorème :

Soit $E$ un $K$ -ev de dimension finie et soient $F$ et $G$ deux sev de $E$ , on a :
$\red \dim(F+G) + \dim (F \cap G) = \dim F+ \dim G$

Propriétés :

Soit $E$ un $K$ -ev de dimension finie et soient $F$ et $G$ deux sev de $E$ .
$F$ est $G$ sont supplémentaires ssi :
$F \cap G = \lbrace 0_E\rbrace$ et $\dim F + \dim G = \dim E$
ou bien ssi : $F+G = E$ et $\dim F + \dim G = \dim E$ .

Théorème de l'espace produit :

Soit $E$ et $F$ deux $K$ -ev de dimensions finies, alors :
$E \times F$ est de dimension finie et $\dim(E \times F) = \dim E+ \dim F$ .

Théorème fondamental des applications linéaires :

L'espace vectoriel $\mathfrak{L} (E,F)$ est de dimension finie et : $\dim \mathfrak{L}(E,F) = \dim E . \dim F$ .

IV. Rang d'une application linéaire - Rang d'un système de vecteurs

1. Rang d'une application linéaire

Définition - Théorème du rang :

Soit $E$ et $F$ des $K$ -espaces vectoriels et $f \in \mathfrak{L}(E,F)$ .
Si $E$ est de dimension finie, alors $Im(f)$ est de dimension finie et sa dimension est appelée le rang de $f$ et est notée $rg f$ , de plus, on a : $\dim(Im(f)) + \dim(Ker(f)) = \dim E$ c'est-à-dire : $rgf + \dim(Kerf) = \dim E$

Théorème :

Soit $E$ et $F$ des $K$ -ev de dimension finie avec $\dim E = \dim F= n$ et soit $f \in \mathfrak{L}(E,F)$ , alors les propositions suivantes sont équivalentes :
1. $f$ est injective.
2. $f$ est surjective.
3. $f$ est bijective.
4. $rg f = n$ .

Propriétés :

Soient $E \, , \, F$ et $G$ des $K$ -ev avec $E \, , \, F$ de dimensions finies, et soient $f \in \mathfrak{L}(E,F)$ et $g \in \mathfrak{L}(F,G)$ , on a :

$rg(g \circ f) = rg(g|_{Imf}) = rg f - \dim(Ker g \cap Im f)$

$rg(g \circ f) \leq inf(rg f, rg g)$
De plus, si $f$ est bijective, alors $rg(g \circ f) = rg g$ et si $g$ est bijective, alors $rg(g \circ f) = rg f$ .

2. Rang d'un système de vecteurs

Définition :

Le rang d'une famille finie $(x_1, \cdots, x_p)$ d'éléments d'un $K$ -ev $E$ est la dimension du sev engendré par ces $p$ vecteurs.

Remarque :
Soient $E$ et $F$ deux $K-$ ev avec $E$ de dimension finie $n$ , $f \in \mathfrak{L}(E,F)$ et $(e_1 \, , \, e_2 \, , \, \cdots \, , \, e_n)$ une base de $E$ .
Le système $(f(e_1) \, , \, \cdots \, , \, f(e_n))$ est un générateur de $Im f$ alors on a $rg f = rg(f(e_1) \, , \, \cdots \, , \, f(e_n))$ .

Propriétés : Méthode du pivot de Gauss :

Soit $E$ un $K$ -ev et soit $(x_1 \, , \, \cdots \, , \, x_n )$ une système de vecteurs de $E$ .
1. Pour toute permutation $\sigma \in \mathfrak{S}_p \, , \, rg(x_{\sigma(i)})_{i \in \ldbrack 1 \, , \, p\rdbrack} = rg(x_i)_{i \in \ldbrack 1,p \rdbrack }$ .
2. Pour tout $\gamma \in K^* \, , \, rg(\gamma x_1 \, , \, x_2 \, , \, \cdots \, , \, x_n) = rg(x_1 \, , \, x_2 \, , \, \cdots \, , \, x_n)$ .
3. Pour tout $(\gamma_k)_{k \in \ldbrack2 \, , \, p\rdbrack} \in K^{p-1} \, , \, rg(x_1 + \displaystyle \sum_{k=2}^{p} \gamma_k x_k , x_2, \cdots , x_p ) = rg(x_1, x_2, \cdots , x_p)$ .
4. $rg (x_1, \cdots , x_p , 0_E) = rg(x_1, \cdots , x_p)$ .

Merci à Panter

pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche

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