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ImprimerEspaces vectoriels de dimension finie
SoitI. Familles libres - familles génératrices - bases
1. Familles d'éléments
Définitions :
Une famille indexée par un ensemble 
est une application 
de dans 
. On la note _{i \in I})
.
Le support d'une famille est le sous-ensemble 
.
Une famille est dite finie lorsque est un ensemble fini.
Une famille indexée par un ensemble Le support d'une famille Une famille
Définition : "sous-famille et sur-famille" :
Soit une famille de et 
.
On dit que_{j \in J})
est une sous-famille de ou encore que est une sur-famille de .
Soit
On dit que
2. Combinaisons linéaires d'éléments de E
Définition :
Soit une famille d'éléments de .
On dit que
est combinaison linéaire de cette famille quand il existe une famille _{i \in I})
de scalaires à support fini telle que : 
, on note alors : 
.
Soit
On dit que
Définition :
Soit
une partie de .
On dit que est combinaison linéaire de lorsqu'il est combinaison linéaire de la famille _{k \in F})
des éléments de .
Soit
On dit que
3. Familles génératrices
Définition :
Une famille d'éléments de est dite génératrice de si et seulement si tout élément de est combinaison linéaire de .
Une famille
Propriété :
Toute sur-famille d'une famille génératrice est aussi une famille génératrice de.
Toute sur-famille d'une famille génératrice est aussi une famille génératrice de
4. Familles libres - familles liées
Définition :
Une famille d'éléments de est dite libre ssi pour toute famille d'éléments de 
à support fini :
)
Une famille d'éléments de est dite liée si elle n'est pas libre, c'est-à-dire ssi il existe une famille d'éléments de à support fini, telle que :
_{i \in I} \not = (0))
et 
Une famille Une famille
Propriétés :
1. Une famille à un élément)
est libre ssi 
.
2. Les éléments d'une famille libre sont deux à deux distincts.
3. Toute sur-famille d'une famille liée est liée.
4. Toute sous-famille d'une famille libre est libre.
1. Une famille à un élément
2. Les éléments d'une famille libre sont deux à deux distincts.
3. Toute sur-famille d'une famille liée est liée.
4. Toute sous-famille d'une famille libre est libre.
5. Bases
Définition :
Une base de est une famille _{i \in I})
d'éléments de à la fois libre et génératrice de .
Une base de
Proposition - Définition :
Si est une base de , alors,pour tout 
de , il existe une famille _{i \in I})
de ; à support fini, unique, telle que 
. Les )
sont appelés les coordonnées ou composantes de dans la base .
Si
Proposition :
Si_{i\in I})
est une famille d'éléments de E, les trois propositions suivantes sont équivalentes :
1. B est une base
2. B est une famille libre maximale (i.e. aucune sur-famille stricte de B n'est libre)
3. B est une famille génératrice minimale (i.e. aucune sous-famille stricte de B n'est génératrice).
Si
1. B est une base
2. B est une famille libre maximale (i.e. aucune sur-famille stricte de B n'est libre)
3. B est une famille génératrice minimale (i.e. aucune sous-famille stricte de B n'est génératrice).
6. Applications linéaires
Propriété :
Soient et des -ev, )
et _{i \in I })
une famille génératrice de .
Alors)_{i \in I})
est une famille génératrice de )
.
Soient
Alors
Propriétés :
Soient et deux -ev et .
Si est une famille liée de , alors est une famille liée de .
Si 
est injective et est une famille libre de , alors est libre dans .
Soient
Si Si
Théorème :
Soient et deux -ev, _{i \in I})
une base de et _{i \in I})
une famille de vecteurs de .
Alors il existe une unique application linéaire
telle que :  = x_i)
(pour tout 
), et qui est :
Surjective ssi 
est une famille génératrice de .
Injective ssi est une famille libre.
Un isomorphisme ssi est une base de .
Soient
Alors il existe une unique application linéaire
Surjective ssi Injective ssi Un isomorphisme ssi II. Les bases d'un espace vectoriel de dimension finie
1. Espaces vectoriels de dimension finie
Définition :
On dit qu'un-ev est de dimension finie s'il admet une famille génératrice finie.
On dit qu'un
Théorème de la base incomplète :
Soient un -ev non nul de dimension finie, et une famille génératrice finie de .
Pour toute sous-famille libre_{i \in I^{\prime}})
de (avec 
), il existe 
tel que 
et tel que _{i \in I^{\prim \prim}})
soit une base de .
Soient
Pour toute sous-famille libre
Proposition :
Tout-ev non nul de dimension finie admet une base finie.
Tout
Lemme de "Ernst Steinitz" :
Soit un -ev et 
un sev non nul de dimension finie.
Si admet une famille génératrice de cardinal 
, donc toute famille de de cardinal 
est liée.
Soit
Si
Proposition :
Soit un -ev. Si admet une famille génératrice de cardinal 
, alors :
1. Toute famille libre est de cardinal au plus.
2. Toute famille d'au moins vecteurs est liée.
Soit
1. Toute famille libre est de cardinal au plus
2. Toute famille d'au moins
2. Dimension d'un espace vectoriel
Théorème de la dimension :
Soit un -ev non nul de dimension finie.
Alors toutes les bases dans ont le même nombre d'éléments.
Soit
Alors toutes les bases dans
Définition :
Soit un -ev non nul de dimension finie.
On appelle le nombre d'éléments d'une base de la dimension de , et on le note par 
ou plus simplement 
s'il n'y a pas d'ambiguité.
Remarque :
Soit
On appelle le nombre d'éléments d'une base de
On convient de dire que l'espace vectoriel nul a pour dimension
Propriété :
Des-ev de dimensions finies sont isomorphes ssi ils ont la même dimension.
Des
III. Sous-espaces supplémentaires et dimension
1. Dimension d'un sev
Propriété :
Soit un -ev de dimension finie et soit un sev de .
1. est de dimension finie et 
.
2. On a
ssi 
.
Soit
1.
2. On a
2. Sous espaces supplémentaires
Théorème :
Tout sev d'un espace vectoriel de dimension finie admet un supplémentaire dans .
Tout sev d'un espace vectoriel
Théorème :
Soit un espace vectoriel de dimension finie et soient et 
deux sev de .
Si
, alors 
.
Soit
Si
Remarque :
D'après le théorème précédent, si
Propriété :
Soit un -ev.
Si et sont deux sev non nuls supplémentaires dans et de dimensions finies, alors est aussi de dimension finie et on a : .
Soit
Si
Théorème :
Soit un -ev de dimension finie et soient et deux sev de , on a :
 + \dim (F \cap G) = \dim F+ \dim G)
Soit
Propriétés :
Soit un -ev de dimension finie et soient et deux sev de .
est sont supplémentaires ssi :
et
ou bien ssi :
et .
Soit
ou bien ssi :
Théorème de l'espace produit :
Soit et deux -ev de dimensions finies, alors :
est de dimension finie et  = \dim E+ \dim F)
.
Soit
Théorème fondamental des applications linéaires :
L'espace vectoriel)
est de dimension finie et :  = \dim E . \dim F)
.
L'espace vectoriel
IV. Rang d'une application linéaire - Rang d'un système de vecteurs
1. Rang d'une application linéaire
Définition - Théorème du rang :
Soit et des -espaces vectoriels et )
.
Si est de dimension finie, alors )
est de dimension finie et sa dimension est appelée le rang de 
et est notée 
, de plus, on a : ) + \dim(Ker(f)) = \dim E)
c'est-à-dire :  = \dim E)
Soit
Si
Théorème :
Soit et des -ev de dimension finie avec 
et soit , alors les propositions suivantes sont équivalentes :
1. est injective.
2. est surjective.
3. est bijective.
4.
.
Soit
1.
2.
3.
4.
Propriétés :
Soient
et des -ev avec de dimensions finies, et soient et )
, on a :
 = rg(g|_{Imf}) = rg f - \dim(Ker g \cap Im f))
 \leq inf(rg f, rg g))
De plus, si est bijective, alors  = rg g)
et si 
est bijective, alors  = rg f)
.
Soient
De plus, si
2. Rang d'un système de vecteurs
Définition :
Le rang d'une famille finie)
d'éléments d'un -ev est la dimension du sev engendré par ces 
vecteurs.
Remarque :
Le rang d'une famille finie
Soient
Le système
Propriétés : Méthode du pivot de Gauss :
Soit un -ev et soit )
une système de vecteurs de .
1. Pour toute permutation})_{i \in \mathbb{[} 1 \, , \, p\mathbb{]}} = rg(x_i)_{i \in \mathbb{[} 1,p \mathbb{]} })
.
2. Pour tout = rg(x_1 \, , \, x_2 \, , \, \cdots \, , \, x_n))
.
3. Pour tout_{k \in \mathbb{[}2 \, , \, p\mathbb{]}} \in K^{p-1} \, , \, rg(x_1 + \displaystyle \sum_{k=2}^{p} \gamma_k x_k , x_2, \cdots , x_p ) = rg(x_1, x_2, \cdots , x_p))
.
4. = rg(x_1, \cdots , x_p))
.
Soit
1. Pour toute permutation
2. Pour tout
3. Pour tout
4.
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