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Matrices de rang 1

Cherchons une méthode simple pour réduire toutes les matrices d'ordre n > 1, et de rang 1. Le corps de base sera K = ou . Nous poserons A = Mat(f, B₀) où B₀ = (a₁, ... , a_n) désigne la base canonique de Kⁿ.

I. Forme générale de A

Rg(A) = 1 signifie que toutes les colonnes de A : C₁, ... , C_n sont liées et non toutes nulles puisque A O. On peut donc écrire que A = (v₁U, ... , v_nU) où les v_j sont des scalaires non nuls et U = . En posant V = , on voit que : . U et V sont deux vecteurs non nuls et (A)_ij = u_iv_j.

II. Calcul de A²

L'associativité et le fait que soit un scalaire rendent le calcul de A² particulièrement simple.
A² = U^tVU^tV = (^tVU)U^tV = A = tr(A) A. D'où le résultat très intéressant :
On remarque de suite qu'il faudra distinguer les cas tr(A) nul ou non.

III. tr(A) non nulle

Dans ce cas, P(X) = X² - tr(A)X est un polynôme annulateur de A. Comme A est ni nulle ni égale à tr(A)I_n, on peut dire que P(X) est le polynôme minimal de A. Comme il est scindé à racines simples, A est diagonalisable. Passons aux éléments propres.

    a) Le sous-espace associé à la valeur propre 0 est H = Ker(A) qui est un hyperplan de Kⁿ. (rg(A) = 1).

On dispose ainsi de l'équation de l'hyperplan H.

    b) Le sous-espace propre associé à la valeur propre tr(A), que nous nommerons D, est une droite vectorielle. Cherchons une base de D. AU = U^tVU = (^tVU)U = tr(A)U ; ceci prouve que U est un vecteur propre associé à la valeur propre tr(A). Donc : D = Vect(U).
Conclusion. En prenant une base B₁ = (U,e₂, ... ,e_n), (e₂, ..., e_n) étant une base de H, nous aurons :
A₁ = Mat(f,B₁) = avec a = tr(A).

IV. tr(A) = 0

Dans ce cas, A² = O : la seule valeur propre possible de A est 0. Comme A est non nulle, A n'est pas diagonalisable. De toute façon, X² est le polynôme minimal de A et il n'est pas à racines simples. On a toujours Ker(A) = H, hyperplan, mais cette fois, il convient de remarquer que tr(A) = 0 signifie que U vérifie l'équation de H, donc U est dans le noyau. Il n'est donc plus question de choisir une base du style B₁. Intéressons nous à V. AV = U^tVV = (^tV.V)U = ||V||²U. (La notation sous forme de norme est licite si K = , par contre, ce n'est qu'une écriture si K =). Ceci nous amène à étudier séparément les deux cas.

    a) On suppose que K = . , donc AV 0 : V n'est pas dans Ker(A). D'où l'idée de choisir une nouvelle base : B' = (U, e₃, ... , e_n, V) où (U, e₃, ... , e_n ) constitue une base de H = Ker(A). Comme , on aura :
A' = Mat(f,B') = .

    b) Si K = on n'est plus assuré de la non nullité de , il faut donc trouver une autre base. Gardons U, e₃, ... , e_n base de H et cherchons un dernier vecteur pour former une base B". Reprenons les vecteurs a_j de la base canonique, nous savons que Aa_j = C_j = v_jU (colonne n°i de A). Or, A étant non nulle au moins une colonne est non nulle. Soit j tel que C_j non nulle. Posons B" = (U, e₃ , ... , e_n , a_j). Alors :
A" = Mat(f,B") = avec a = v_j
Cette dernière forme est plus générale que A' puisqu'elle s'applique dans tous les cas où tr(A) = 0.
Remarque. On peut utiliser ce dernier résultat pour chercher une base de réduction de la matrice A définie par :
étant une racine nième de l'unité non réelle. Pour cela, on remarquera que A = U^tV, avec U = V = .

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