Fiche de mathématiques

Les nombres réels

I. L'ensemble des réels

$(\mathbb{R},+,\times, \leq)$ est un corps commutatif totalement ordonné. La relation d'ordre $\leq$ est compatible avec l'addition et la multiplication par un nombre réel positif, c'est-à-dire :
$\forall (a,b,c) \in \mathbb{R}^3$ :
1. $a \geq b \: \Longrightarrow \: a+c \geq b+c$ .
2. $a \geq b \text{ et } c \geq 0 \: \Longrightarrow \: ac \geq bc$ .

II. Borne supérieure et borne inférieure

Définitions :

Soit $A$ une partie de $\mathbb{R}$ . Soit $x \in \mathbb{R}$ , on dit que :
1. $x$ est un majorant de $A$ ssi : $\forall a \in A \, , \, x \geq a$ .
2. $x$ est le plus grand élément de $A$ ssi : $x \in A \, \text{ et } \, \forall a \in A \, , \, x \geq a$ .
3. $x$ est un minorant de $A$ ssi : $\forall a \in A \, , \, x \leq a$ .
4. $x$ est le plus petit élément de $A$ ssi : $x \in A \text{ et } \forall a \in A \, , \, x \leq a$ .
5. $x$ est la borne supérieure de $A$ et on note $x = \sup A$ ssi $x$ est le plus petit élément de l'ensemble des majorants de $A$ .
6. $x$ est la borne inférieure de $A$ et on note $x = \inf A$ ssi $x$ est le plus grand élément de l'ensemble des minorants de $A$ .

Remarque :
$\sup A$ et $\inf A$ n'appartiennent pas nécessairement à $A$ .

Théorème :

Toute partie $A$ de $\mathbb{R}$ , non vide et majorée, admet une borne supérieure.

Toute partie $A$ de $\mathbb{R}$ , non vide et minorée, admet une borne inférieure.

Définition :

Une partie à la fois majorée et minorée est dite bornée.

Caractérisation de la borne supérieure et de la borne inférieure :
$x = \sup A \: \Longleftrightarrow \: \left \lbrace \begin{array}{l} \forall a \in A \hspace{5pt} x \geq a\\ \forall \epsilon > 0 \hspace{5pt} \exists b \in A \: / \: x - \epsilon < b \\ \end{array}$
$x =\inf A \: \Longleftrightarrow \: \left \lbrace \begin{array}{l} \forall a \in A \hspace{5pt} x \leq a \\ \forall \epsilon > 0 \hspace{5pt} \exists b \in A \: / \: b < x + \epsilon \\ \end{array}$

III. Intervalle

Définition - Proposition :

Soit $I$ une partie de $\mathbb{R}$ .
On dit que $I$ est un intervalle de $\mathbb{R}$ ssi : ( $a \in I$ et $b \in I$ et $a \leq x \leq b$ alors $x \in I$ ) .

Intervalle ouvert - Intervalle fermé - Intervalle semi-ouvert :

Un intervalle ouvert est de la forme : $]a,b[ = \lbrace x \in \mathbb{R} / a < x < b\rbrace$ .
Un intervalle fermé est de la forme : $[a,b] = \lbrace x \in \mathbb{R} / a \leq x \leq b \rbrace$ .
Un intervalle semi-ouvert est de la forme $[a,b[$ ou $]a,b]$ .

$a \, , \, b$ sont dits les extremités de l'intervalle.

Intervalle fermé non borné - intervalle ouvert non borné :

Un intervalle fermé non borné est de la forme : $[a \, , \, +\infty[ \: = \: \lbrace x \in \mathbb{R} / a \leq x \rbrace$ ou de la forme : $]-\infty , a ] \: = \: \lbrace x \in \mathbb{R} / x \leq a \rbrace$ .
Un intervalle ouvert non borné est de la forme : $]-\infty , a [ = \lbrace x \in \mathbb{R} / x <a \rbrace$ ou de la forme : $]a, + \infty[ = \lbrace x \in \mathbb{R} / a < x \rbrace$ .

IV. La valeur absolue d'un réel

Définition :

Soit $x \in \mathbb{R}$ .
On appelle valeur absolue de $x$ et on note $|x|$ le réel positif : $|x| = \max\lbrace -x,x\rbrace$ .

Propriétés :

$\forall (x,y) \in \mathbb{R}^2 \, , \, \forall a \in \mathbb{R}^+$ .
1. $|x|=|-x| \geq 0$ .
2. $|x|= 0 \: \Longleftrightarrow \: x = 0$ .
3. $|x.y| = |x|.|y|$ .
4. Pour $y \not = 0 \, , \, \|\frac{x}{y}\| = \frac{|x|}{|y|}$ .
5. $|x| \leq a \: \Longleftrightarrow \: -a \leq x \leq a$ (dans ce cas si $a = 0$ alors $x = 0$ ).
6. $|x+y| \leq |x|+|y|$ .
7. $\| \, |x| - |y| \, \| \leq |x - y|$ .

V. La partie entière d'un réel

Proposition - définition :

Soit $x$ un nombre réel, alors, il existe un unique nombre relatif $p$ tel que $p \leq x < p+1$ , on appelle ce nombre $p$ la partie entière de $x$ et on le note $[x]$ ou $E(x)$ .

Remarques :
1. $\forall x \in \mathbb{R} \, , \, [x] \leq x < [x]+1$ .
2. $\forall x \in \mathbb{R} \, , \, x - 1 < [x] \leq x$ .
3. Si $x \in \mathbb{Z}$ , alors : $[x] = x$ .

VI. Densité dans $\mathbb{R}$

Définition :

Soit $A$ une partie de $\mathbb{R}$ non vide.
$A$ est dite dense dans $\mathbb{R}$ si pour chaque $x \, , \, y$ de $\mathbb{R}$ avec $x < y$ on a : $]x \, , \, y[ \cap A \neq \emptyset$ .

Remarque :
Si $A$ est dense dans $\mathbb{R}$ , alors pour $x \, , \, y \in \mathbb{R}$ (avec $x < y$ ), $]x \, , \, y[ \cap A$ est infini ; cela veut dire qu'il y a une infinité d'éléments de $A$ entre $x$ et $y$ .

Propositions :

1. L'ensemble des rationnels $\mathbb{Q}$ est une partie dense dans $\mathbb{R}$ (c'est-à-dire qu'entre deux réels distincts il y a une infinité de rationnels).
2. L'ensemble des nombres irrationnels $\mathbb{R} / \mathbb{Q}$ est dense dans $\mathbb{R}$ (c'est-à-dire qu'entre deux réels distincts il y a une infinité d'irrationnels).

Merci à Panter

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