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Fiche de mathématiques




I. L'ensemble des réels

(\mathbb{R},+,\times, \leq) est un corps commutatif totalement ordonné. La relation d'ordre \leq est compatible avec l'addition et la multiplication par un nombre réel positif, c'est-à-dire :
\forall (a,b,c) \in \mathbb{R}^3 :
      1. a \geq b \: \Longrightarrow \: a+c \geq b+c.
      2. a \geq b \text{ et } c \geq 0 \: \Longrightarrow \: ac \geq bc.

II. Borne supérieure et borne inférieure

Définitions :
Soit A une partie de \mathbb{R}. Soit x \in \mathbb{R}, on dit que :
      1. x est un majorant de A ssi : \forall a \in A \, , \, x \geq a.
      2. x est le plus grand élément de A ssi : x \in A \, \text{ et } \, \forall a \in A \, , \, x \geq a.
      3. x est un minorant de A ssi : \forall a \in A \, , \, x \leq a.
      4. x est le plus petit élément de A ssi : x \in A \text{ et }  \forall a \in A \, , \, x \leq a.
      5. x est la borne supérieure de A et on note x = \sup A ssi x est le plus petit élément de l'ensemble des majorants de A.
      6.  x est la borne inférieure de A et on note x = \inf A ssi x est le plus grand élément de l'ensemble des minorants de A.


Remarque :
\sup A et \inf A n'appartiennent pas nécessairement à A.
Théorème :
* Toute partie A de \mathbb{R}, non vide et majorée, admet une borne supérieure.
* Toute partie A de \mathbb{R}, non vide et minorée, admet une borne inférieure.

Définition :
Une partie à la fois majorée et minorée est dite bornée.



Caractérisation de la borne supérieure et de la borne inférieure :
x = \sup A \: \Longleftrightarrow \: \left \lbrace \begin{array}{l} \forall a \in A \hspace{5pt} x \geq a\\ \forall \epsilon > 0 \hspace{5pt} \exists b \in A \: / \: x - \epsilon < b \\ \end{array}
x =\inf A \: \Longleftrightarrow \: \left \lbrace \begin{array}{l} \forall a \in A \hspace{5pt} x \leq a \\ \forall \epsilon > 0 \hspace{5pt} \exists b \in A  \: / \: b < x + \epsilon \\ \end{array}

III. Intervalle

Définition - Proposition :
Soit I une partie de \mathbb{R}.
On dit que I est un intervalle de \mathbb{R} ssi : ( a \in I et   b \in I et  a \leq x \leq b alors  x \in I) .


Intervalle ouvert - Intervalle fermé - Intervalle semi-ouvert :
  • Un intervalle ouvert est de la forme : ]a,b[ = \lbrace x \in \mathbb{R} / a < x < b\rbrace .
  • Un intervalle fermé est de la forme : [a,b] = \lbrace x \in \mathbb{R} / a \leq x \leq b \rbrace .
  • Un intervalle semi-ouvert est de la forme [a,b[ ou ]a,b].
a \, , \, b sont dits les extremités de l'intervalle.

Intervalle fermé non borné - intervalle ouvert non borné :
  • Un intervalle fermé non borné est de la forme : [a \, , \, +\infty[ \: = \: \lbrace x \in \mathbb{R} / a \leq x \rbrace ou de la forme :  ]-\infty , a ] \: = \: \lbrace  x \in \mathbb{R} / x \leq a \rbrace .
  • Un intervalle ouvert non borné est de la forme :  ]-\infty , a [ = \lbrace  x \in \mathbb{R}   /  x <a \rbrace ou de la forme : ]a, + \infty[ = \lbrace x \in \mathbb{R} / a < x \rbrace .


IV. La valeur absolue d'un réel

Définition :
Soit x \in \mathbb{R}.
On appelle valeur absolue de x et on note |x| le réel positif : |x| = \max\lbrace -x,x\rbrace .

Propriétés :
 \forall (x,y) \in \mathbb{R}^2 \, , \, \forall a \in \mathbb{R}^+.
      1. |x|=|-x| \geq 0.
      2.  |x|= 0 \: \Longleftrightarrow \: x = 0.
      3.  |x.y| = |x|.|y|.
      4. Pour y \not = 0 \, , \, \|\frac{x}{y}\| = \frac{|x|}{|y|}.
      5. |x| \leq a \: \Longleftrightarrow  \: -a \leq x \leq a (dans ce cas si a = 0 alors x = 0).
      6. |x+y| \leq |x|+|y|.
      7. \| \, |x| - |y| \, \| \leq |x - y|.



V. La partie entière d'un réel

Proposition - définition :
Soit x un nombre réel, alors, il existe un unique nombre relatif p tel que p \leq x < p+1, on appelle ce nombre p la partie entière de x et on le note [x] ou E(x).


Remarques :
1. \forall x \in \mathbb{R} \, , \, [x] \leq x < [x]+1.
2. \forall x \in \mathbb{R} \, , \, x - 1 < [x] \leq x.
3. Si x \in \mathbb{Z}, alors : [x] = x.

VI. Densité dans \mathbb{R}

Définition :
Soit A une partie de \mathbb{R} non vide.
A est dite dense dans \mathbb{R} si pour chaque x \, , \, y de \mathbb{R} avec x < y on a : ]x \, , \, y[ \cap A \neq \emptyset.


Remarque :
Si A est dense dans \mathbb{R}, alors pour x \, , \, y \in \mathbb{R} (avec x < y), ]x \, , \, y[ \cap A est infini ; cela veut dire qu'il y a une infinité d'éléments de A entre x et y.
Propositions :
1. L'ensemble des rationnels \mathbb{Q} est une partie dense dans \mathbb{R} (c'est-à-dire qu'entre deux réels distincts il y a une infinité de rationnels).
2. L'ensemble des nombres irrationnels \mathbb{R} / \mathbb{Q} est dense dans \mathbb{R} (c'est-à-dire qu'entre deux réels distincts il y a une infinité d'irrationnels).




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