est un corps commutatif totalement ordonné. La relation d'ordre est compatible avec l'addition et la multiplication par un nombre réel positif, c'est-à-dire :
:
1. .
2. .
II. Borne supérieure et borne inférieure
Définitions :
Soit une partie de . Soit , on dit que :
1. est un majorant de ssi : .
2. est le plus grand élément de ssi : .
3. est un minorant de ssi : .
4. est le plus petit élément de ssi : .
5. est la borne supérieure de et on note ssi est le plus petit élément de l'ensemble des majorants de .
6. est la borne inférieure de et on note ssi est le plus grand élément de l'ensemble des minorants de .
Remarque : et n'appartiennent pas nécessairement à .
Théorème :
Toute partie de , non vide et majorée, admet une borne supérieure.
Toute partie de , non vide et minorée, admet une borne inférieure.
Définition :
Une partie à la fois majorée et minorée est dite bornée.
Caractérisation de la borne supérieure et de la borne inférieure :
III. Intervalle
Définition - Proposition :
Soit une partie de .
On dit que est un intervalle de ssi : ( et et alors ) .
Intervalle fermé non borné - intervalle ouvert non borné :
Un intervalle fermé non borné est de la forme : ou de la forme : .
Un intervalle ouvert non borné est de la forme : ou de la forme : .
IV. La valeur absolue d'un réel
Définition :
Soit .
On appelle valeur absolue de et on note le réel positif : .
Propriétés :
.
1. .
2. .
3. .
4. Pour .
5. (dans ce cas si alors ).
6. .
7. .
V. La partie entière d'un réel
Proposition - définition :
Soit un nombre réel, alors, il existe un unique nombre relatif tel que , on appelle ce nombre la partie entière de et on le note ou .
Remarques : 1. .
2. .
3. Si , alors : .
VI. Densité dans
Définition :
Soit une partie de non vide.
est dite dense dans si pour chaque de avec on a : .
Remarque : Si est dense dans , alors pour (avec ), est infini ; cela veut dire qu'il y a une infinité d'éléments de entre et .
Propositions :
1. L'ensemble des rationnels est une partie dense dans (c'est-à-dire qu'entre deux réels distincts il y a une infinité de rationnels).
2. L'ensemble des nombres irrationnels est dense dans (c'est-à-dire qu'entre deux réels distincts il y a une infinité d'irrationnels).
Publié par panter
le
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