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Les nombres réels

I. L'ensemble des réels

$\text{[math]}$ est un corps commutatif totalement ordonné. La relation d'ordre $\text{[math]}$ est compatible avec l'addition et la multiplication par un nombre réel positif, c'est-à-dire :
$\text{[math]}$ :
1. $\text{[math]}$ .
2. $\text{[math]}$ .

II. Borne supérieure et borne inférieure

Définitions :
Soit $\text{[math]}$ une partie de $\text{[math]}$ . Soit $\text{[math]}$ , on dit que :
1. $\text{[math]}$ est un majorant de $\text{[math]}$ ssi : $\text{[math]}$ .
2. $\text{[math]}$ est le plus grand élément de $\text{[math]}$ ssi : $\text{[math]}$ .
3. $\text{[math]}$ est un minorant de $\text{[math]}$ ssi : $\text{[math]}$ .
4. $\text{[math]}$ est le plus petit élément de $\text{[math]}$ ssi : $\text{[math]}$ .
5. $\text{[math]}$ est la borne supérieure de $\text{[math]}$ et on note $\text{[math]}$ ssi $\text{[math]}$ est le plus petit élément de l'ensemble des majorants de $\text{[math]}$ .
6. $\text{[math]}$ est la borne inférieure de $\text{[math]}$ et on note $\text{[math]}$ ssi $\text{[math]}$ est le plus grand élément de l'ensemble des minorants de $\text{[math]}$ .

Remarque :
$\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ n'appartiennent pas nécessairement à $\text{[math]}$ .

Théorème :

Toute partie $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ , non vide et majorée, admet une borne supérieure.
Toute partie $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ , non vide et minorée, admet une borne inférieure.

Définition :
Une partie à la fois majorée et minorée est dite bornée.

Caractérisation de la borne supérieure et de la borne inférieure :
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

III. Intervalle

Définition - Proposition :
Soit $\text{[math]}$ une partie de $\text{[math]}$ .
On dit que $\text{[math]}$ est un intervalle de $\text{[math]}$ ssi : ( $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ alors $\text{[math]}$ ) .

Intervalle ouvert - Intervalle fermé - Intervalle semi-ouvert :

Un intervalle ouvert est de la forme : $\text{[math]}$ .
Un intervalle fermé est de la forme : $\text{[math]}$ .
Un intervalle semi-ouvert est de la forme $\text{[math]}$ ou $\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$ sont dits les extremités de l'intervalle.

Intervalle fermé non borné - intervalle ouvert non borné :

Un intervalle fermé non borné est de la forme : $\text{[math]}$ ou de la forme : $\text{[math]}$ .
Un intervalle ouvert non borné est de la forme : $\text{[math]}$ ou de la forme : $\text{[math]}$ .

IV. La valeur absolue d'un réel

Définition :
Soit $\text{[math]}$ .
On appelle valeur absolue de $\text{[math]}$ et on note $\text{[math]}$ le réel positif : $\text{[math]}$ .

Propriétés :
$\text{[math]}$ .
1. $\text{[math]}$ .
2. $\text{[math]}$ .
3. $\text{[math]}$ .
4. Pour $\text{[math]}$ .
5. $\text{[math]}$ (dans ce cas si $\text{[math]}$ alors $\text{[math]}$ ).
6. $\text{[math]}$ .
7. $\text{[math]}$ .

V. La partie entière d'un réel

Proposition - définition :
Soit $\text{[math]}$ un nombre réel, alors, il existe un unique nombre relatif $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ , on appelle ce nombre $\text{[math]}$ la partie entière de $\text{[math]}$ et on le note $\text{[math]}$ ou $\text{[math]}$ .

Remarques :
1. $\text{[math]}$ .
2. $\text{[math]}$ .
3. Si $\text{[math]}$ , alors : $\text{[math]}$ .

VI. Densité dans $\text{[math]}$

Définition :
Soit $\text{[math]}$ une partie de $\text{[math]}$ non vide.
$\text{[math]}$ est dite dense dans $\text{[math]}$ si pour chaque $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ on a : $\text{[math]}$ .

Remarque :
Si $\text{[math]}$ est dense dans $\text{[math]}$ , alors pour $\text{[math]}$ (avec $\text{[math]}$ ), $\text{[math]}$ est infini ; cela veut dire qu'il y a une infinité d'éléments de $\text{[math]}$ entre $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

Propositions :
1. L'ensemble des rationnels $\text{[math]}$ est une partie dense dans $\text{[math]}$ (c'est-à-dire qu'entre deux réels distincts il y a une infinité de rationnels).
2. L'ensemble des nombres irrationnels $\text{[math]}$ est dense dans $\text{[math]}$ (c'est-à-dire qu'entre deux réels distincts il y a une infinité d'irrationnels).

Merci à