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Les nombres réels

I. L'ensemble des réels

est un corps commutatif totalement ordonné. La relation d'ordre est compatible avec l'addition et la multiplication par un nombre réel positif, c'est-à-dire :
:
      1. .
      2. .

II. Borne supérieure et borne inférieure

Définitions :
Soit une partie de . Soit , on dit que :
      1. est un majorant de ssi : .
      2. est le plus grand élément de ssi : .
      3. est un minorant de ssi : .
      4. est le plus petit élément de ssi : .
      5. est la borne supérieure de et on note ssi est le plus petit élément de l'ensemble des majorants de .
      6. est la borne inférieure de et on note ssi est le plus grand élément de l'ensemble des minorants de .
Remarque :
et n'appartiennent pas nécessairement à .
Théorème :
Définition :
Une partie à la fois majorée et minorée est dite bornée.

Caractérisation de la borne supérieure et de la borne inférieure :



III. Intervalle

Définition - Proposition :
Soit une partie de .
On dit que est un intervalle de ssi : ( et et alors ) .

Intervalle ouvert - Intervalle fermé - Intervalle semi-ouvert : sont dits les extremités de l'intervalle.

Intervalle fermé non borné - intervalle ouvert non borné :



IV. La valeur absolue d'un réel

Définition :
Soit .
On appelle valeur absolue de et on note le réel positif : .
Propriétés :
.
      1. .
      2. .
      3. .
      4. Pour .
      5. (dans ce cas si alors ).
      6. .
      7. .


V. La partie entière d'un réel

Proposition - définition :
Soit un nombre réel, alors, il existe un unique nombre relatif tel que , on appelle ce nombre la partie entière de et on le note ou .
Remarques :
1. .
2. .
3. Si , alors : .

VI. Densité dans

Définition :
Soit une partie de non vide.
est dite dense dans si pour chaque de avec on a : .
Remarque :
Si est dense dans , alors pour (avec ), est infini ; cela veut dire qu'il y a une infinité d'éléments de entre et .
Propositions :
      1. L'ensemble des rationnels est une partie dense dans (c'est-à-dire qu'entre deux réels distincts il y a une infinité de rationnels).
      2. L'ensemble des nombres irrationnels est dense dans (c'est-à-dire qu'entre deux réels distincts il y a une infinité d'irrationnels).

Merci à profil de Pantercorrecteur Panter (Correcteur) pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche
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