Fiche de mathématiques

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Polynômes (II) : Fractions rationnelles

Ici, $\mathbb{K}$ désigne un corps commutatif ( $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ )

I. L'ensemble $\mathbb{K}(X)$

1. Définitions

Dans l'ensemble $\mathbb{K}[X] \times (\mathbb{K}[X] - \lbrace0\rbrace) = \lbrace(P,Q) /P,Q \in \mathbb{K}[X] , Q \neq 0\rbrace$ qu'on notera $E$ par la suite, on définit la relation $\mathcal{R}$ en posant : $(P,Q)\mathcal{R}(R, S) \Longleftrightarrow PS = QR$ .
Cette relation $\mathcal{R}$ est :
Réflexive : $\forall (P,Q)\in E$ on a : $PQ=PQ$ , donc $\forall (P,Q)\in E$ : $(P,Q)\mathcal{R}(P,Q)$ .
Symétrique : $\forall (P,Q) , (R,S) \in E$ : $(P,Q)\mathcal{R} (R,S) \Longrightarrow PS=QR \Longrightarrow RQ=SP \Longrightarrow (R,S)\mathcal{R}(P,Q)$ .
Transitive : $\forall (P,Q) , (R,S) , (T,L) \in E$ : $\left\lbrace\begin{array}l (P,Q)\mathcal{R} (R,S) \\ (R,S)\mathcal{R}(T,L) \end{array} \Longrightarrow \left\lbrace\begin{array}l PS=QR \\ RL=ST \end{array} \Longrightarrow PSRL=QRST$ $\Longrightarrow PL=QT \Longrightarrow (P,Q)\mathcal{R} (T,L)$ .
La relation $\mathcal{R}$ est donc une relation d'équivalence.

Définitions :

On appelle fraction rationnelle à coefficients dans $\mathbb{K}$ toute classe d?équivalence pour la relation $\mathcal{R}$ .
La classe de $(P,Q)$ est notée $\dfrac{P}{Q}$ (avec $P$ le numérateur et $Q$ le dénominateur), on a donc la fraction rationnelle : $\dfrac{P}{Q}=\lbrace (R,S) \in E / PS=QR \rbrace$ .
On dit que $(P,Q)$ est un représentant de la fraction $\dfrac{P}{Q}$ .
L'ensemble des fractions rationnelles à coefficients dans $\mathbb{K}$ est noté $\mathbb{K}(X)$ , il n'est autre que l'ensemble quotient $E_{/\mathbcal{R}}$ .
La relation $\mathcal{R}$ est appelée égalité des fractions rationnelles.

2. Opérations sur les fractions rationnelles
a) Loi d'addition "+"

Définition :

Dans $\mathbb{K}(X)$ , on définit une loi de composition interne, noté $+$ , par :
$\forall (P,Q), (R,S)\in E$ : $\dfrac{P}{Q}+\dfrac{R}{S}=\dfrac{PS+RQ}{QS}$

Cette loi "+" :
Est associative.
Est commutative.
Admet un élément neutre qui est la fraction $\dfrac{0}{Q}$ ( $\forall Q\neq 0$ ) qu'on appelle fraction nulle.
Remarque : Une fraction rationnelle est nulle ssi son numérateur est nul.
Toute fraction $\dfrac{P}{Q}$ admet un opposé $-\dfrac{P}{Q}$ .
Remarque : $-\dfrac{P}{Q}=\dfrac{-P}{Q}=\dfrac{P}{-Q}$ .

Proposition :

$(\mathbb{K}(X),+)$ est un groupe abélien.

b) Loi de multiplication " × "

Définition :

On définit une loi interne dans $\mathbb{K}(X)$ , notée $\times$ , par :
$\forall (P,Q),(R,S)\in E$ : $\dfrac{P}{Q}\times \dfrac{R}{S}=\dfrac{PR}{QS}$ .

Remarque : La loi $\times$ peut être notée $.$ ou encore par absence de signe.
Cette loi " $\times$ " :
Est associative, commutative.
Admet un élément neutre qui est la fraction $\dfrac{P}{P}$ ( $\forall P\neq0$ ), appelé fraction unité.
Toute fraction $\dfrac{P}{Q}$ non nulle ( $P\neq0$ ) admet un inverse $\left( \dfrac{P}{Q} \right)^{-1} = \dfrac{Q}{P}$ .
Est distributive sur l'addition.

Proposition :

$(\mathbb{K}(X),+,\times)$ est un corps commutatif, appelé corps des fractions rationnelles.

c) Multiplication par un scalaire " $.$ "

Définition :

On définit une loi externe dans $\mathbb{K}(X)$ à coefficients dans $\mathbb{K}$ , qu'on note $.$ par :
$\forall \lambda\in\mathbb{K}$ , $\forall (P,Q)\in E$ : $\lambda.\dfrac{P}{Q}=\dfrac{\lambda P}{Q}$ .

Propriétés :
$\forall (\lambda , \phi )\in \mathbb{K}^2$ , $\forall (A,B)\in(\mathbb{K}(X))^2$ :
$1.A=A$ .
$\lambda.(A+B)=\lambda.A+\lambda.B$ .
$(\lambda+\phi).A=\lambda.A+\phi.A$ .
$\lambda.(\phi.A)=(\lambda.\phi).A$ .
$\lambda.(A\times B)=(\lambda.A)\times B = A\times(\lambda.B)$ .

Proposition :

$(\mathbb{K}(X),+,.)$ est un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel.
$(\mathbb{K}(X),+,\times,.)$ est une $\mathbb{K}$ -algèbre commutative.

d) Plongement des polynômes dans $\mathbb{K}(X)$

Théorème :

L'application $\begin{array}{ll} &\mathbb{K}[X] \longrightarrow \mathbb{K}(X) \\ &P \longrightarrow \dfrac{P}{1} \end{array}$$$ est un morphisme injectif d'algèbres.

Par conséquent on peut identifier le polynôme $P$ avec la fraction $\dfrac{P}{1}$ , ce qui fait que l'on peut considérer que $\mathbb{K}[X] \subset \mathbb{K}(X)$ . En particulier la fraction nulle est identifiée au polynôme nul, et la fraction unité est identifiée au polynôme constant 1.

3. Représentant irréductible

Définition :

On appelle représentant irréductible d'une fraction rationnelle $A$ de $\mathbb{K}(X)$ non nulle tout couple $(P,Q)$ de $(\mathbb{K}[X] - \lbrace0\rbrace)^2$ tel que : $A=\dfrac{P}{Q} et P\wedge Q=1$ .

Remarque :
Toute fraction admet des représentants irréductibles.

Exemple :
Soit la fraction $A$ de $\mathbb{K}(X)$ : $A=\dfrac{X^3-1}{X^2-1}$ .
Puisque : $(X^3-1)(X+1)=(X^2-1)(X^2+X+1)$ , alors : $A=\dfrac{X^2+X+1}{X+1}$ .
Or, $pgcd(X^2+X+1,X+1)=1$
Donc $\dfrac{X^2+X+1}{X+1}$ est un représentant irréductible de $A$ .

II. Degré, pôles et racines d'une fraction rationnelle

1. Degré d'une fraction rationnelle

Soit $A$ une fraction rationnelle non nulle, et $(P,Q)$ et $(R,S)$ deux représentants de $A$ (c'est-à-dire : $A=\dfrac{P}{Q}=\dfrac{R}{S}$ ).
On a donc $PS = QR$ , d'où $\deg{(P)}-\deg{(Q)} = \deg{(R)}-\deg{(S)}$ . Autrement dit, la différence entre le degré du numérateur et le degré du dénominateur ne dépend pas du représentant de $A$ , mais seulement de $A$ .
Dès lors, on peut définir la notion de degré d'une fraction rationnelle.

Définition :

Soit $A=\dfrac{P}{Q} \in \mathbb{K}(X)$ , on appelle degré de $A$ est on note $\deg{(A)}$ le nombre de $\mathbb{Z}\cup\lbrace -\infty\rbrace$ tel que : $\deg{(A)}=\deg{(P)}-\deg{(Q)}$ .

Remarque :
Pour $A=\dfrac{P}{Q} \in \mathbb{K}(X)$ : $\deg{(A)}=-\infty \Longleftrightarrow A=0 \Longleftrightarrow P=0 \Longleftrightarrow \deg{(P)}=-\infty$ .

Propriétés :

Soient $(A,B)\in(\mathbb{K}(X))^2$ , $\lambda\in\mathbb{K}$ , on a :
$\deg{(A+B)}\leq \max{(\deg{(A)} ,\deg{(B)})}$ (Egalité si $\deg{(A)}\neq\deg{(B)}$ ).
$\deg{(A.B)}=\deg{(A)}.\deg{(B)}$ .
$\deg{(\lambda.A)}=\deg{(A)}$ .

Remarque :
Une fraction rationnelle constante non nulle a un degré nul, mais la réciproque est fausse en général : exemple : $A=\dfrac{X}{X+1}$ .

2. Pôles et racines et d'une fraction rationnelle

Définition :

Soient $A\in\mathbb{K}(X)-\lbrace 0\rbrace$ et $(P,Q)\in(\mathbb{K}[X])^2$ un représentant irréductible de $A$ .
On appelle racines (ou zéros) de $A$ les racines de $P$ . On appelle ordre de multiplicité (ou multiplicité tout court ) d'une racine de $A$ l'ordre de multiplicité de cette racine en tant que racine de $P$ .
On appelle pôles de $A$ les racines de $Q$ . On appelle ordre de multiplicité (ou multiplicité tout court ) d'un pôle de $A$ l'ordre de multiplicité de ce pôle en tant que racine de $Q$ .

Remarques :
Puisque $(P,Q)$ est irréductible, on voit qu?un scalaire $a$ ne peut pas être à la fois pôle et racine de $A$ , sinon $P$ et $Q$ seraient divisibles par $X-a$ .
$a$ est un pôle de $A$ de multiplicité $m \in \mathbb{N}^{*}$ équivaut à dire que $a$ est racine de multiplicité $m$ de la fraction $\dfrac{1}{A}$ .

Exemple :
Soit $A=\dfrac{X^3-1}{X^2-1}$ :
Dans $\mathbb{R}(X)$ : $A$ ne possède pas de racines et admet -1 comme pôle.
Par contre, dans $\mathbb{C}(X)$ : $A$ possède deux racines : $j$ et $-j$ et admet -1 comme pôle.
Rappelons que : $j = e^{i\frac{2\pi}{3}}$ .

Théorème :

Soient $A$ une fraction non nulle, $a \in\mathbb{K}$ et $m\in\mathbb{N}^{*}$ , on a :
$a$ est racine de $A$ de multiplicité $m$ si et seulement s'il existe une fraction rationnelle $B$ telle que $a$ ne soit ni pôle ni racine de $B$ et $A = (X-a)^{m}B$ .
$a$ est pôle de $A$ de multiplicité $m$ si et seulement s'il existe une fraction rationnelle $B$ telle que $a$ ne soit ni pôle ni racine de $B$ et $A = \dfrac{1}{ (X-a)^{m}} B$ .

3. Fonction rationnelle

Définition :

Soient $A \in\mathbb{K}(X)$ et $(P,Q)$ un représentant irréductible de $A$ .
On appelle fonction rationnelle associée à $A$ la fonction, notée $\widetilde{A}$ , et définie par : $\begin{array}{ll} &\mathcal{D}_{\widetilde{A}} \longrightarrow \mathbb{K} \\ &\widetilde{A}(x) \longrightarrow \frac{\widetilde{P}(x)}{\widetilde{Q}(x)} \end{array}$$$ avec $\mathcal{D}_{\widetilde{A}} = \lbrace{x\in\mathbb{K} / \widetilde{Q}(x)\neq0\rbrace$ .

Proposition :

Soient $A$ et $B$ deux fractions rationnelles associées respectivement aux fonctions rationnelles $\widetilde{A}$ et $\widetilde{B}$ et soit $I\subset \mathcal{D}_{\widetilde{A}}\cap\mathcal{D}_{\widetilde{B}}$ infinie.
On a : $(\widetilde{A}=\widetilde{B}$ sur $I ) \Longrightarrow A=B$ .

4. Fraction rationnelle dérivée

Définition :

Soient $A \in\mathbb{K}(X)$ et $(P,Q)$ un représentant de $A$ .
On définit la dérivée de la fraction rationnelle $A$ , appelée fraction rationnelle dérivée de $A$ , notée $A^{'}$ ou encore $\dfrac{dA}{dX}$ par : $A^{'}=\dfrac{P^{'}Q-PQ^{'}}{Q^{2}}$ .
On définit, par récurrence, les dérivées successives de la fraction rationnelle $A$ : $A^{(n)}=\begin{cases} A\text{ si & }n=0 \\ [A^{(n-1)}]^{'} \text{ si & } n\geq 1 \end{cases}$

Soit $A \in \mathbb{K}(X)$ une fraction rationnelle et $(P,Q)$ et $(R,S)$ deux représentants de $A$ , on a, $PS = QR$ , d'où :
$(P^{'}Q-PQ^{'})S^{2} = P^{'}QS^{2}-PQ^{'}S^{2} = P^{'}QS^{2}-Q^{'}QRS = QS(P^{'}S-Q^{'}R)$ .
En dérivant la relation polynomiale $PS=QR$ :
$P^{'}S + PS^{'} = Q^{'}R +RP^{'}$ , donc : $P^{'}S -Q^{'}R = RP^{'}-PS^{'}$ .
Donc : $(P^{'}Q-PQ^{'})S^{2} =QS(P^{'}S-Q^{'}R)=QS(RP^{'}-PS^{'})=Q^{2}SR^{'}-QPSS^{'} =Q^{2}SR^{'}-Q^{2}RS^{'} = Q^2(SR^{'}-RS^{'})$ .
On obtient donc : $\dfrac{P^{'}Q-PQ^{'}}{Q^{2}}=\dfrac{R^{'}S-RS^{'}}{S^{2}}$

Proposition :

La dérivée d'une fraction rationnelle est unique et ne dépend pas du représentant de cette dernière.

Remarque :
Pour $A \in\mathbb{K}(X)$ , contrairement aux polynômes, on a en général : $\deg{(A^{'})} \neq \deg{(A)}-1$ (exemple : $A=\dfrac{X}{X+1}$ , $\deg{(A)}=0$ et $\deg{(A^{'})}=\deg{\left(\dfrac{1}{(X+1)^2}\right)}=-2$ )
Par contre, on a toujours : $\deg{(A^{'})}\leq \deg{(A)}-1$ .

Proposition :

Pour tous $\alpha$ de $\mathbb{K}$ et $A,B$ de $\mathbb{K}(X)$ :
$\bullet$ $(A+\alpha B)^{'} = A^{'}+\alpha B^{'}$
$\bullet$ $(AB)^{'}=A^{'}B+AB^{'}$
$\bullet$ $\left(\dfrac{1}{A}\right)^{'}=\dfrac{-A^{'}}{A^{2}}$ .

Proposition : (Formule de Leibniz)

$\forall (A,B)$ de $(\mathbb{K}(X))^2$ , $\forall k\in\mathbb{N}$ : $(AB)^{k}= \displaystyle \sum_{i=0}^{k} {k\choose i} A^{(i)} B^{(k-i)}$ .

Proposition :

Soit $P\in\mathbb{K}[X]$ scindé, c'est-à-dire qu'il existe $\lambda\in\mathbb{K}^*$ , $n\in\mathbb{N}^*$ , $x_1,\cdots,x_n \in\mathbb{K}$ tels que : $P=\lambda \displaystyle \prod_{i=1}^{n} (X-x_i)$
On a alors : $\dfrac{P^{'}}{P}= \displaystyle \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{X-x_i}$ .

III. Décomposition d'une fraction rationnelle

1. Généralités
a) Partie entière

Soit $A = \dfrac{P}{Q} \in\mathbb{K}(X)$ .
Effectuons la division euclidienne de $P$ par $Q$ : $P= BQ+R$ avec $\deg{(R)} < \deg{(Q)}$ .
On a alors $A = B + \dfrac{R}{Q}$ avec $\deg{ \left( \dfrac{R}{Q} \right)} < 0$ et $B \in \mathbb{K}[X]$ .
Supposons qu'il existe un autre polynôme $S$ et une fraction $F$ tels que $A = S + F$ avec $\deg{(F)} < 0$ , alors $\deg{(B-S)} = \deg{ \left(F- \dfrac{R}{Q} \right)}<0$
Donc $B = S$ car ce sont des polynômes, et $F = \dfrac{R}{Q}$ . On peut donc énoncer :

Définition - proposition :

Soit $A \in \mathbb{K}(X)$ , il existe un unique polynôme $B$ tel que $\deg{(A-B)} < 0$ , celui-ci est appelé la partie entière de $A$ , c'est le quotient dans la division euclidienne du numérateur de $A$ par le dénominateur.

Remarque :
Si $\deg{(A)} < 0$ , alors la partie entière de $A$ est nulle et ça à cause de l'unicité.

b) Eléments simples

Définition :

On appelle éléments simples de $\mathbb{K}(X)$ :
Les monômes de $\mathbb{K}[X]$ .
Les éléments de $\mathbb{K}(X)$ de la forme $\dfrac{P}{Q^n}$ où : $\begin{cases} Q\in\mathbb{K}[X] , \text{& Q est irréductible unitaire et & }\deg{(Q)}\geq 1 \\ n\in\mathbb{N}^{*} \text{ & } \\ P\in\mathbb{K}[X]-\lbrace 0\rbrace\\ \deg{(P)}<\deg{(Q)} \end{cases}$

Résultats :

Pour $\mathbb{K}=\mathbb{C}$ :
Les éléments simples dans $\mathbb {C}(X)$ sont les fractions qui s'écrivent sous la forme : $\dfrac{\lambda}{(X-a)^n}$ avec : $\begin{cases} \lambda , a \in \mathbb{C} \text{& } \\ n\in\mathbb{N}^{*} \text{ & } \end{cases}$

Pour $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ :
On distingue deux espèces d'éléments simples dans $\mathbb {R}(X)$ :
Éléments simples de 1ère espèce :
Les fractions qui s'écrivent sous la forme : $\dfrac{\lambda}{(X-a)^n}$ avec : $\begin{cases} \lambda , a \in \mathbb{R} \text{& } \\ n\in\mathbb{N}^{*} \text{ & } \end{cases}$
Éléments simples de 2ème espèce :
Les fractions s'écrivant sous la forme : $\dfrac{aX+b}{(X^2+\alpha X+\beta)^n}$ avec : $\begin{cases} a, b,\alpha,\beta \in \mathbb{R} \text{& } \\ n\in\mathbb{N}^{*} \text{ & } \\ \alpha^2 - 4\beta <0 \end{cases}$

c) Existence et unicité de la décomposition

Définition :

Décomposer une fraction rationnelle non nulle, c'est l'écrire comme somme de sa partie entière et d'éléments simples.

Exemple :
$A= \dfrac{X^3}{X^2+1}$ .
Sa partie entière est $X$ , on a donc : $A = X + \dfrac{-X}{X^2+1}$ .
Cette forme est la décomposition de $A$ en éléments simples dans $\mathbb{R}(X)$ , mais pas dans $\mathbb{C}(X)$ .
Dans $\mathbb{C}(X)$ , on a : $A = X +\dfrac{ \dfrac{-1}{2}}{ X+i} +\dfrac{ \dfrac{-1}{2}}{ X-i}$ .

Théorème :

Soit $A=\dfrac{P}{Q_{1}^{\alpha_1} \cdots Q_{n}^{\alpha_n}}$ où : $\begin{cases} n\in\mathbb{N}^{*} \text{& & } \\ Q_{1},\cdots,Q_{n} \in\mathbb{K}[X]-\lbrace 0\rbrace \text{ irréductibles et premiers entre eux deux à deux & } \\ \alpha_{1},\cdots,\alpha_{n}\in\mathbb{N}^{*}\\ P\in\mathbb{K}[X] \end{cases}$

Il existe une famille unique de polynômes $(B,C_{\alpha_{1},1},\cdots, C_{\alpha_{1},\alpha_{1}},C_{\alpha_{2},1},\cdots,C_{\alpha_{2},\alpha_{2}},\cdots,C_{\alpha_{n},1},\cdots,C_{\alpha_{n},\alpha_{n}})$ de $\mathbb{K}[X]$ telle que : $\begin{cases} A=B+ \displaystyle \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{\alpha_{i}} \frac{C_{\alpha_{i},j}}{Q_{i}^{j}} \text{& & } \\ \forall i \in \lbrace 1,\cdots,n\rbrace, \forall j\in\lbrace 1,\cdots,\alpha_i\rbrace , \deg{(C_{\alpha_{i},j})}<\deg{(Q_i)} \text{ & } \end{cases}$

Remarque : $B$ est la partie entière de la fraction $A$ et les $\dfrac{C_{\alpha_{i},j}}{Q_{i}^{j}}$ les éléments simples.

2. Décomposition dans le cas complexe ( $\mathbb{K}=\mathbb{C}$ )
a) Introduction

Soit $A = \dfrac{P}{Q} \in\mathbb{C}(X)$ sous forme irréductible, soit $B$ sa partie entière et soit $Q= \displaystyle \prod_{k=1}^{r}(X-a_k)^{m_{k}}$ la factorisation du dénominateur telle que les $a_k$ avec $k\in\lbrace 1,\cdots, r\rbrace$ les pôles complexes de $A$ et les entiers $m_{k}\geq 1$ les multiplicités respectives ( $r\in\mathbb{N}^*$ ) .
D'après le théorème précédent et sachant la forme des éléments simples dans le cas complexe, la forme de la décomposition de $A$ sera : $\boxed{A= B+\sum_{k=1}^{r} \left( \sum_{i=1}^{ m_{k}} \frac{b_{i,k}}{(X-a_{k})^i} \right) }$ avec $b_{i,k} \in\mathbb{C}$ .
Chaque pôle $a_{k}$ ( $k\in\lbrace 1,\cdots, r\rbrace$ )de $A$ génère donc des éléments simples qui lui correspondent : les $\dfrac{b_{i,k}}{(X-a_{k})^i}$ avec $i\in\lbrace 1,\cdots, m_{k}\rbrace$ .

Définition : (Partie polaire)

Pour $k\in\lbrace 1,\cdots, r\rbrace$ , la somme des éléments simples relatifs au pôle $a_{k}$ est appelée la partie polaire de A relative au pôle $a_{k}$ , elle est notée $\Upsilon _{A} (a_{k})$ .

On a donc, pour chaque pôle $a_{k}$ de $A$ , $\Upsilon _{A} (a_{k})= \displaystyle \sum_{i=1}^{ m_{k}} \frac{b_{i,k}}{(X-a_{k})^i}$ .
La forme de la décomposition de $A$ est : $\boxed{A=B+\sum_{k=1}^{r} \Upsilon _{A} (a_{k})}$

On conclut alors que : pour décomposer une fraction rationnelle dans $\mathbb{C}(X)$ , il faut calculer les parties polaires de chacun de ses pôles.

b) Calcul d'une partie polaire

Soit $A = \dfrac{P}{Q} \in\mathbb{C}(X)$ sous forme irréductible de partie entière $B$ et soit $a \in\mathbb{C}$ un pôle de $A$ de multiplicité $m$ .

i) $a$ est un pôle simple $(m=1)$

On peut donc écrire : $Q=(X-A)S$ avec $S\in\mathbb{C}[X]$ et $\widetilde{S}(a)\neq 0$ .
Or, comme $m=1$ , la partie polaire de $A$ relative à $a$ s'écrit : $\Upsilon _{A}(a)=\dfrac{b}{X-a}$ avec $b\in\mathbb{C}$ .
En notant $\dfrac{U}{V}$ la somme des parties polaires de $A$ relatives aux autres pôles, on peut écrire : $A=B+\dfrac{b}{X-A}+\dfrac{U}{V}$ , ensuite, en multipliant par $X-a$ , on obtient : $\dfrac{P}{S}= (X-a)B+b+(X-a)\dfrac{U}{V}$ .
Le fait que $a$ n'est pas pôle de $\dfrac{U}{V}$ nous permet d'évaluer en $a$ pour trouver $b$ : $b=\dfrac{\widetilde{P}(a)}{\widetilde{S}(a)}$
Et comme $Q=(X-a)S$ , il est évident que : $\widetilde{S}(a)=\widetilde{Q^{'}}(a)$

Résultat :

Si $a$ est un pôle de $A=\dfrac{P}{Q}$ , alors la partie polaire de $A$ relative à $a$ est : $\boxed{\Upsilon _{A}(a)=\dfrac{\dfrac{\widetilde{P}(a)}{\widetilde{Q^{'}}(a)}}{X-a}}$

Exemple :
Prenons l'exemple classique suivant : $A=\dfrac{1}{X^n-1}$ avec $n\geq 1$ .
On a tout d'abord : $\deg{(A)}<0$ , donc la partie entière de $A$ est nulle .
Les pôles de $A$ sont les $a_{k}=e^{\dfrac{2ik\pi}{n}}$ avec $k \in\lbrace 1,\cdots,n-1\rbrace$ , de plus, ils sont simples.
$\Upsilon _{A}(a_{k})=\dfrac{c_{k}}{X-a_{k}}$ avec $c_{k}=\dfrac{1}{na_{k}^{n-1}}=\dfrac{a_k}{n}$ .
Donc, la décomposition en éléments simples de $A$ est : $\boxed{\frac{1}{X^n-1}=\sum_{k=1}^{n-1}\frac{e^{\frac{2ik\pi}{n}}}{n \left(X-e^{\frac{2ik\pi}{n}} \right)}}$

ii) $a$ est un pôle double $(m=2)$

Méthode 1 :
On peut donc écrire $Q = (X-a)^{2}S$ avec $S\in\mathbb{C}[X]$ et $\widetilde{S}(a)\neq 0$ .
La partie polaire de $A$ relative à $a$ est $\upsilon_A (a) = \dfrac{b}{X-A}+\dfrac{c}{(X-a)^{2}}$ avec $(b,c)\in\mathbb{C}^{2}$
En notant $\dfrac{U}{V}$ la somme des parties polaires de $A$ relatives aux autres pôles, on peut écrire : $A=B+\dfrac{b}{X-A}+\dfrac{c}{(X-a)^{2}}+\dfrac{U}{V}$ , ensuite, en multipliant par $(X-a)^{2}$ et en évaluant en $a$ , on obtient : $c=\dfrac{\widetilde{P}(a)}{\widetilde{S}(a)}$ .
Maintenant, pour trouver $b$ , on pose : $D=A-\dfrac{c}{(X-a)^{2}}=B+\dfrac{b}{X-A}+\dfrac{U}{V}$ .
$a$ est un pôle simple de $D$ , ce qui nous ramène au cas précédent (pôle simple).

Méthode 2 :
En utilisant les mêmes notations que la méthode 1, on pose $E=(X-a)^{2} A = \dfrac{P}{S}$ , on a en fait : $E=(X-a)^{2}B+b(X-a)+c+(X-a)^{2}\dfrac{U}{V}$ .
En évaluant $E$ en $a$ on trouve : $c=\widetilde{E}(a)$ , et en évaluant $E^{'}$ en $a$ : $b=\widetilde{E^{'}}(a)$ .

Résultat :

Si $a$ est un pôle double de $A = \dfrac{P}{Q}$ , alors la partie polaire de $A$ relative à $a$ est : $\Upsilon_{A}(a)= \dfrac{b}{X-a}+\dfrac{c}{(X-a)^2}$ telle que :
$c=\widetilde{E}(a)$ et $b=\widetilde{E^{'}}(a)$ avec $E=(X-a)^{2} A$ .

iii) Cas général: $a$ est un pôle de multiplicité $m>2$

On utilise la même procédure faite dans la méthode 2 pour les pôles doubles mais en prenant $E=(X-a)^{m} A$ .

Exemple :
Soit $A=\dfrac{X^6}{(X-1)^{2}(X^{3}+1)}$
$A$ est sous forme irréductible et $\deg{(A)}=1$ , la partie entière est donc non nulle, on trouve facilement : $B= X+2$ par division euclidienne (développer $(X-1)^{2}(X^{3}+1)= X^5-2X^4+X^3+X^2-2X+1$ ) .
$A$ possède 4 pôles :
Un pôle double : $1$
Trois pôles simples : $-1$ , $-j$ , $-j^2$

Pour $-1$ : la partie polaire de $A$ relative à $-1$ est $\Upsilon_{A}(-1)=\dfrac{\dfrac{1}{12}}{X+1}$
Pour $-j$ : la partie polaire de $A$ relative à $-j$ est $\Upsilon_{A}(-j)=\dfrac{\dfrac{1}{3}}{X+j}$
Pour $-j^{2}$ : la partie polaire de $A$ relative à $-j^{2}$ est $\Upsilon_{A}(-j^{2})=\dfrac{\dfrac{1}{3}}{X+j^{2}}$
Pour $1$ : On pose $E=(X-1)^2 A=\dfrac{X^6}{(X^{3}+1)}$ , la partie polaire de $A$ relative à $1$ est : $\Upsilon_{A}(1)=\dfrac{\dfrac{9}{4}}{X-1}+\dfrac{\dfrac{1}{2}}{(X-1)^{2}}$ car : $\widetilde{E}(1)=\dfrac{1}{2}$ et $\widetilde{E^{'}}(a)=\dfrac{9}{4}$
Enfin, la décomposition en éléments simples de $A$ est :
$\boxed{\frac{X^6}{(X-1)^{2}(X^{3}+1)}=X+2+\frac{\dfrac{9}{4}}{X-1}+\frac{\dfrac{1}{2}}{(X-1)^{2}}+\frac{\dfrac{1}{12}}{X+1}+\frac{\dfrac{1}{3}}{X+j}+\frac{\dfrac{1}{3}}{X+j^{2}}}$

c) Cas particuliers
i) Pôles conjugués

Soit $A$ une fraction à coefficients réelles, si $a$ est un pôle complexe non réel de $A$ de multiplicité $m$ , alors on sait que $\bar{a}$ est un pôle de $A$ de même multiplicité car $A \in \mathbb{R}(X)$ .
Dans ce cas : $\widebar{\Upsilon_{A}(a)}=\Upsilon_{A}(\bar{a})$ (Démonstration simple et laissée comme exercice)

Proposition :

Pour une fraction rationnelle à coefficients réelles, les parties polaires relatives aux pôles conjugués, sont conjuguées.

Remarque : Ce cas se présente lorsque la fraction $A\in\mathbb{R}(X)$ et qu'on veut la décomposer dans $\mathbb{C}(X)$ .

Exemple :
Soit $A=\dfrac{1}{(X^2+X+1)^2}$ .
On a $\deg{(A)}<0$ , donc la partie entière est nulle.
Les éléments simples :
j est un pôle de $A$ , or, puisque $A\in\mathbb{R}(X)$ , alors $\bar{j} = j^2$ l'est aussi.
Calculons la partie polaire relative au pôle j : $\Upsilon_{A}(j)=\dfrac{-1}{3(X-j)^2} -\dfrac{2i\sqrt{3}}{9(X-j)}$
D'après la proposition précédente : $\Upsilon_{A}(j^2)=\Upsilon_{A}(\bar{j})=\widebar{\Upsilon_{A}(j)} = \dfrac{-1}{3(X-j^2)^2} +\dfrac{2i\sqrt{3}}{9(X-j^2)}$
Donc : $\boxed{A=\frac{1}{(X^2+X+1)^2} = \frac{-1}{3(X-j)^2} -\frac{2i\sqrt{3}}{9(X-j)}+\frac{-1}{3(X-j^2)^2} +\frac{2i\sqrt{3}}{9(X-j^2)}}$

ii) Parité

Soit $A$ une fraction rationnelle, si $\tilde{A}$ est paire ou impaire, en utilisant la relation entre $\tilde{A}(x)$ et $\tilde{A}(-x)$ et en tenant compte de l'unicité de la décomposition, on obtient des relations entre les coefficients à déterminer pour les parties polaires.

Exemple :
Soit $A=\dfrac{X^4+1}{X(X^2-1)^2}$ .
Puisque $\deg{(A)}<0$ , la partie entière est nulle.
Or, $\dfrac{(-X)^4+1}{(-X)((-X)^2-1)^2}=\dfrac{X^4+1}{-X(X^2-1)^2}=-\dfrac{X^4+1}{X(X^2-1)^2}$ , donc $A$ est impaire.
Les pôles de $A$ sont : le pôle simple $0$ et les pôles doubles $1$ et $-1$ .
La décomposition de $A$ est de forme : $A=\dfrac{a}{X}+\dfrac{b}{X-1}+\dfrac{c}{(X-1)^2}+\dfrac{d}{X+1}+\dfrac{e}{(X+1)^2}$
L'imparité donne : $A=-\dfrac{(-X)^4+1}{-X((-X)^2-1)^2}$ , la décomposition est de la forme : $A=\dfrac{a}{X}+\dfrac{b}{X+1}+\dfrac{-c}{(X+1)^2}+\dfrac{d}{X-1}+\dfrac{-e}{(X-1)^2}$
Ensuite, par unicité de la décomposition : $d=b$ et $e=-c$
On se retrouve donc avec 2 coefficients de moins à calculer.
Après calcul on retrouve : $a=1$ , $c=\dfrac{1}{2}$ et $b=0$ , il vient directement que : $d=0$ et $e=-\dfrac{1}{2}$ .
Conclusion : $\boxed{A=\frac{1}{X}+\frac{1}{2(X-1)^2}+\frac{-1}{2(X+1)^2}}$

3. Décomposition dans le cas réel ( $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ )
a) Introduction

Soit $A=\dfrac{P}{Q} \in\mathbb{R}(X)$ sous forme irréductible de partie entière B et soit $Q = \left( \displaystyle \prod_{k=1}^{n} (X-a_k)^{m_{k}} \right) \left( \displaystyle \prod_{k=1}^{r} (X^2+p_k X+q_k)^{\alpha_k} \right)$ avec $\forall k\in\lbrace 1,\cdots, r\rbrace$ : $p_{k}^{2}-4q_{k}<0$ $(r\in\mathbb{N}^*)$ la factorisation du dénominateur en produit de facteurs irréductibles.
La forme générale de la décomposition de $A$ en éléments simples s'écrit :
$\boxed{A= B+\sum_{k=1}^{n}\sum_{j=1}^{m_k}\frac{b_{j,k}}{(X-a_k)^j} +\sum_{k=1}^{r} \sum_{j=1}^{\alpha_k} \frac{c_{j,k}X+d_{j,k}}{(X^2+p_{k}X+q_{k})^{j}}}$
La première somme qui est la somme des éléments simples de première espèce, n'est autre que la somme des parties polaires de $A$ relatives aux pôles réels de $A$ , les techniques de calcul reste les mêmes que dans le cas complexe (voir paragraphe précédent).
La deuxième somme est la somme des éléments simples de deuxième espèce, il s'agit dans ce paragraphe d'exposer la méthode de calcul de ce type d'éléments simples.

b) Calcul des éléments simples de seconde espèce

Étudions le cas où $X^2 + pX +q$ est un diviseur irréductible de $Q$ de multiplicité $1$ , en regroupant les autres éléments simples, on obtient : $A= B+\dfrac{aX+b}{X^2+pX+q}+\dfrac{U}{V}$ .
Soient $c$ et $\bar{c}$ les deux racines complexes (non réelles) de $X^2+pX+q$ , alors $c$ et $\bar{c}$ ne sont pas pôles de $\dfrac{U}{V}$ mais sont pôles simples de $A$ , on peut calculer la partie polaire de $A$ relative à $c$ dans $\mathbb{C}(X)$ : $\Upsilon_{A}(c) = \dfrac{\alpha}{X-c}$
Comme $A\in\mathbb{R}(X)$ , on a : $\Upsilon_{A}(\bar{c}) = \dfrac{\bar{\alpha}}{X-\bar{c}}$ .
La somme de ces deux parties polaires donne : $\Upsilon_{A}(c)+\Upsilon_{A}(\bar{c}) = \dfrac{2Re(\alpha)X-2Re(\alpha \bar{c})}{X^2+pX+q}$
Comme la décomposition en éléments simples est unique : $\boxed{ \frac{2Re(\alpha)X-2Re(\alpha \bar{c})}{X^2+pX+q} = \frac{aX+b}{X^2+pX+q}}$

Autre méthode :
Soit $E=(X^2+pX+q)A$ ; on a : $E=(X^2 + pX +q) B +aX + b+(X^2 + pX +q)\dfrac{ U}{V}$
On obtient alors le système : $\begin{cases} \tilde{E}(c)=ac+b \text{& } \\ \tilde{E}(\bar{c})=a\bar{c}+b \text{ & } \end{cases}$ , en résolvant ce dernier, on retrouve $a$ et $b$ .

Remarque : dans le cas où $m>1$ , utiliser la dernière méthode en prenant $E=(X^2+pX+q)^{m}A$

Publié par Panter le 14-01-2022

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b) Calcul d'une partie polaire

i) est un pôle simple

ii) est un pôle double

iii) Cas général: est un pôle de multiplicité

c) Cas particuliers i) Pôles conjugués

ii) Parité

3. Décomposition dans le cas réel () a) Introduction

b) Calcul des éléments simples de seconde espèce

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I. L'ensemble $\mathbb{K}(X)$

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a) Loi d'addition "+"

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2. Décomposition dans le cas complexe ( $\mathbb{K}=\mathbb{C}$ )
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i) $a$ est un pôle simple $(m=1)$

ii) $a$ est un pôle double $(m=2)$

iii) Cas général: $a$ est un pôle de multiplicité $m>2$

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3. Décomposition dans le cas réel ( $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ )
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