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Réduction des endomorphismes linéaires

I. Notations et définitions

Dans toute la suite, on désigne par un corps commutatif (en général ou ) et par un -espace vectoriel de dimension finie , par exemple .
On note le -espace vectoriel des matrices carrées à coefficients dans et le groupe multiplicatif des matrices inversibles dans .
On dit qu'une matrice de est triangulaire si et seulement si pour et on dit qu'elle est diagonale si pour . Si sont des éléments de on note la matrice telle que et si . Par exemple, la matrice unité et la matrice nulle sont respectivement les matrices diagonales et .

Deux matrices et de sont semblables si et seulement s'il existe une matrice inversible telle que .
Une matrice de est diagonalisable si et seulement si elle est semblable à une matrice diagonale et elle est triangulable (ou trigonalisable) si et seulement si elle est semblable à une matrice triangulaire.
Une matrice de est nilpotente si et seulement s'il existe un entier tel que .
Le polynôme caractéristique d'une matrice est le polynôme .

Un endomorphisme linéaire de est une application linéaire . Un automorphisme de est un endomorphisme bijectif de . On note l'espace vectoriel des endomorphismes linéaires de .
Soit . Si est une base de , on appelle matrice de par rapport à la base , la matrice de dont la -ème colonne contient les coordonnées de par rapport à la base .
On dit que est diagonalisable (resp. triangulable) si et seulement s'il existe une base de telle que la matrice soit diagonale (resp. triangulaire.)

Un élément est une valeur propre de si et seulement s'il existe tel que
Un tel élément est un vecteur propre de relatif à .
Si , on pose
Donc est une valeur propre de si et seulement si et dans ce cas est le sous-espace propre de relatif à .

Un sous-espace vectoriel de est stable pour si et seulement si .
On appelle polynôme caractéristique de le polynôme , où est n'importe quelle base de .

On dit qu'un polynôme non constant a toutes ses racines dans s'il se décompose en facteurs du premier degré dans .

Soit un polynôme à coefficients dans . Pour toute matrice et pour tout endomorphisme on pose

On appelle polynôme minimal d'un endomorphisme ( resp. d'une matrice ) et on note ( resp. ) le polynôme unitaire de degré minimal tel que (resp. )

II. Propriétés

Dans tout ce paragraphe on fixe un endomorphisme .
Le polynôme caractéristique est un polynôme unitaire de degré . Son terme constant vaut .
Soit un polynôme unitaire de degré . La matrice compagnon de est la matrice

Par calcul on voit que et on prouve que l'on a aussi Soient des vecteurs propres relatifs à des valeurs propres distinctes de .
Alors la famille est libre.
On en déduit que Si est un sous-espace stable de , la restriction de à peut être regardée comme un endomorphisme linéaire de . On prouve que le polynôme divise . En particulier, si est une valeur propre de qui est racine d'ordre de multiplicité de , en prenant , on a d'où l'on voit que
Supposons triangulable ; alors on peut écrire . Pour , posons et . Les sont les sous-espaces caractéristiques de . Comme est stable, induit sur un endomorphisme noté Avec ces notations on a la Décomposition de Dunford :
Si la matrice est triangulable, il existe dans , une matrice diagonalisable et une matrice nilpotente telles que et cette décomposition est unique.

Soit le plus grand entier tel que . En appliquant la formule du binôme on voit que

Comme est diagonalisable, il existe et une matrice diagonale telles que et alors on a pour tout . Cette décomposition rend donc très aisé le calcul des puissances successives de et aussi celui de son exponentielle.

III. Exemples et applications

1. Homothéties

Soit L'homothétie de rapport est l'application définie sur le -espace vectoriel de dimension par .
On a pour n'importe quelle base de Pour tout on a On a

2. Rotations

Soit On désigne par la rotation de centre et d'angle dans et par la matrice de par rapport à la base canonique de .
On a donc
Si , on voit que Supposons On a
Le polynôme n'a aucune racine réelle, donc n'est ni diagonalisable, ni triangulable dans .

Considérons maintenant comme élément de . Dans on a , donc est diagonalisable dans . On voit que et sont des vecteurs propres associés aux valeurs propres et En calculant l'inverse de la matrice de passage de la base canonique à la base on vérifie qu'on a bien

3. Matrices nilpotentes

Soit une matrice nilpotente non nulle et soit le plus grand entier tel que On a donc est triangulable, mais n'est pas diagonalisable. Par exemple, si est semblable à la matrice

4. Projecteurs

Un élément est un projecteur si et seulement si .
Soit Comme on ne peut avoir que et alors , et alors ou . Dans tous les cas est diagonalisable.
Si on pose et , on voit que . On vérifie facilement que .

5. Eléments d'ordre fini de

Soit un entier strictement positif et soit une matrice d'ordre de , c'est-à-dire telle que et . Soit . On a et toutes les racines de sont simples. Il en résulte que est diagonalisable dans et est semblable à une matrice diagonale ayant comme termes diagonaux des racines -ièmes de l'unité.

6. Sous-espaces stables d'un endomorphisme diagonalisable

Soit un endomorphisme diagonalisable et soit un sous-espace de stable par . On note l'endomorphisme induit sur . Le polynôme se décompose en facteurs du premier degré dans et on a , donc est diagonalisable.

7. Suites récurrentes

Soit un entier strictement positif, des nombres réels et soit l'ensemble des suites réelles qui vérifient la condition .
est un -espace vectoriel de dimension .
Soit , et soit la matrice compagnon de .
Posons pour , . Pour tout , on a et par suite . Il suffit de calculer les puissances de pour avoir en fonction de , ou encore en fonction de . De plus, comme , on sait si est diagonalisable ou triangulable.

8. Suites de Fibonacci

Soit l'espace vectoriel des suites réelles telles que pour tout .
Avec les notations ci-dessus, on a donc la matrice , qui a deux valeurs propres distinctes, est diagonalisable. On voit qu'il existe des réels et tels que
et la donnée de et permet de déterminer et .

9. Remarques sur les matrices semblables

Soient et deux matrices de .
Si elles sont semblables, on a et , mais ces deux conditions ne suffisent pas en général à assurer la similitude de et . Ainsi, dans , les deux matrices

vérifient et , mais elles ne sont pas semblables puisque le sous-espace propre relatif à 1 est de dimension 2 pour et de dimension 3 pour .

Une matrice est diagonalisable dans si et seulement si est diagonalisable dans et toutes ses valeurs propres sont réelles.

10. Réduction en blocs dans

Pour tout couple , on pose .
Soit une matrice diagonalisable dans .
Il existe des entiers et tels que , et des réels tels que la matrice soit semblable à la matrice diagonale par blocs
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