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Somme directe - Sous espaces supplémentaires - Notion de Codimension

Dans ce chapitre, $\text{[math]}$ désigne un corps commutatif et $\text{[math]}$ un espace vectoriel sur $\text{[math]}$ .

I. Somme directe

Définition :
Soit $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ sev de $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ ).
L'ensemble $\text{[math]}$ est un sev de $\text{[math]}$ appelé le sev somme de $\text{[math]}$ , on le note $\text{[math]}$ ou $\text{[math]}$ ou encore $\text{[math]}$ .

Remarque :
$\text{[math]}$ avec égalité ssi : $\text{[math]}$

Définition :
Soit $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ sev de $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ ).
On dit que la somme $\text{[math]}$ est directe ssi :
$\text{[math]}$
Et dans ce cas, on note cette somme : $\text{[math]}$ ou $\text{[math]}$

Théorème :
Soit $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ sev de $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ ) et $\text{[math]}$
Alors les p.s.s.e :

La somme $\text{[math]}$ est directe.

$\text{[math]}$

Théorème :
Soit $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ sev de dimension finie de $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ ) et soit $\text{[math]}$ .
Alors $\text{[math]}$ est de dimension finie et $\text{[math]}$ avec égalité ssi la somme $\text{[math]}$ est directe.

II. Sous espaces supplémentaires

Définition :
Soit $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ sev de $\text{[math]}$ .
On dit que $\text{[math]}$ sont supplémentaires ssi : $\text{[math]}$ .

Vocabulaire :
Lorsque $\text{[math]}$ .
On dit que $\text{[math]}$ (resp. $\text{[math]}$ est supplémentaire de $\text{[math]}$ (resp. $\text{[math]}$ ).

Exemple :
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
On a : $\text{[math]}$ .

Proposition :
Soit $\text{[math]}$ un polynôme non constant de $\text{[math]}$ .
Posons : $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ , alors l'idéal $\text{[math]}$ admet $\text{[math]}$ comme supplémentaire dans $\text{[math]}$ .

Théorème :
Soit $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ sev supplémentaires de $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$ .
Soit $\text{[math]}$ un $\text{[math]}$ -ev et pour tout $\text{[math]}$ soit $\text{[math]}$ . Alors :
il existe une unique application linéaire $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ tel que : $\text{[math]}$

Commentaires :
Si $\text{[math]}$ sont supplémentaires dans $\text{[math]}$ alors :
1. Toute application linéaire de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ est complètement determinée par sa restriction aux sev $\text{[math]}$ .
2. Deux applications linéaires de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ sont égales ssi elles le sont sur chaque $\text{[math]}$ . En particulier, une application linéaire est nulle ssi elle s'annule sur chaque $\text{[math]}$ .

Théorème :
Soit $\text{[math]}$ des sev supplémentaires de $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ . Soit $\text{[math]}$ une famille de vecteurs de $\text{[math]}$ , et $\text{[math]}$ une partition de $\text{[math]}$ en $\text{[math]}$ parties telle que pour tout $\text{[math]}$ est une famille de vecteurs de $\text{[math]}$ .
Alors : $\text{[math]}$ est une base de $\text{[math]}$ ssi chaque $\text{[math]}$ est une base de $\text{[math]}$ .

Notation - Vocabulaire :
$\text{[math]}$ est notée $\text{[math]}$ , on dit que $\text{[math]}$ est une base de $\text{[math]}$ adaptée à la décomposition : $\text{[math]}$ .

il faut distinguer entre $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

Remarque :
S'il existe une base $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ et si $\text{[math]}$ est une partition de $\text{[math]}$ , alors les sev $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ sont supplémentaires dans $\text{[math]}$ .

Théorème :
Soit $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ deux $\text{[math]}$ -ev et $\text{[math]}$ .
Si $\text{[math]}$ est un supplémentaire de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ alors l'application : $\text{[math]}$ induite par $\text{[math]}$ est un isomorphisme de $\text{[math]}$ -ev.

Proposition :
Tout sev d'un $\text{[math]}$ -ev de dimension finie admet un supplémentaire.

Corollaire :
Soit $\text{[math]}$ un sev de $\text{[math]}$ .
Si $\text{[math]}$ admet deux supplémentaires $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , alors $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont isomorphes.

Remarque :
Si un sev $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ possède un suppplémentaire $\text{[math]}$ de dimension finie, alors $\text{[math]}$ ne depend pas du choix de $\text{[math]}$ .

III. Notion de Codimension

Définition :
Soit $\text{[math]}$ un sev de $\text{[math]}$ , on dit que $\text{[math]}$ est de codimension finie ssi $\text{[math]}$ admet un supplémentaire $\text{[math]}$ de dimension finie.
Dans ce cas, $\text{[math]}$ , indépendante du choix de $\text{[math]}$ et appelé la codimension de $\text{[math]}$ qu'on note : $\text{[math]}$ ou $\text{[math]}$ s'il n'y a pas d'ambiguité.

Exemple :
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$ un polynôme de degré $\text{[math]}$ non constant.
On sait que : $\text{[math]}$ est un supplémentaire de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ .
Alors $\text{[math]}$ est de codimension fine et $\text{[math]}$

Proposition :
Soit $\text{[math]}$ un $\text{[math]}$ -ev de dimension finie, alors :
Tout sev $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ est de codimension finie et on a : $\text{[math]}$

Théorème :
Soit $\text{[math]}$ deux $\text{[math]}$ -ev dont $\text{[math]}$ est de dimension finie, soit $\text{[math]}$ .
Alors $\text{[math]}$ est de codimension finie et $\text{[math]}$ .

Définition :
On appelle hyperplan de $\text{[math]}$ tout sev de $\text{[math]}$ de codimension $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$

Remarque :
Soit $\text{[math]}$ un sev de $\text{[math]}$ .
$\text{[math]}$ est un hyperplan de $\text{[math]}$ ssi : $\text{[math]}$ Et forcément, un tel $\text{[math]}$

Merci à