L'île des mathématiques propose des cours et des exercices de maths et de physique.

L'île des Mathématiques

Les Probabilités

LOI DE PROBABILITE

 Exercice 1

Une urne contient neuf boules.
Quatre de ces boules portent le numéro 0, trois portent le numéro 1 et deux le numéro 2.
Tous les tirages sont supposés équiprobables.
On tire au hasard deux boules simultanément. Soit X, la somme des numéros marqués sur ces boules.
Déterminer et représenter graphiquement la loi de probabilité de X.
Tracer aussi la courbe cumulative (= représentation graphique de la fonction de répartition)

 Exercice 2

Montrer que p(a<Xb) = p(Xb) - p(Xa).

VALEURS CARACTERISTIQUES D'UNE LOI DE PROBABILITE DISCRETE

 Exercice 3

Soit Y la variable aléatoire qui correspond à la somme obtenue en lançant deux dés.
Après avoir rappelé la définition générale, calculer l'espérance mathématique de Y.

 Exercice 4

Rappeler les définitions de la variance et de l'écart-type.

 Exercice 5

Compléter les égalités suivantes :

E(X+)=..........................    ()	V(X+)=..........................    ()
E(X-)=..........................    ()	V(X-)=..........................    ()
E(kX)=............................     (k )	V(kX)=............................     (k )

INEGALITE DE BIENAYME-TCHEBICHEV

 Exercice 6

On rappelle l'inégalité de Bienaymé-Tchebichev : p(|X-E(X)|>t) <
Soit l'expérience consistant au jet d'un dé où l'on suppose l'équiprobabilité d'apparition de chaque face.
Soit X la variable aléatoire égale au numéro lu sur la face supérieure.
1. Trouver, en utilisant l'inégalité de Bienaymé-Tchebichev, un majorant de la probabilité de l'événement suivant: « L'écart absolu entre la variable aléatoire et son espérance mathématique est strictement supérieur à 2 ».
2. Calculer exactement la probabilité de l'événement. Comparer cette valeur exacte avec le majorant obtenu en 1.

LES LOIS DE PROBABILITE CLASSIQUES

 Exercice 7

Rappeler tout ce qu'il faut savoir sur : la loi Binomiale la loi de Poisson la loi Normale ( et normale centrée réduite )

 Exercice 8

Soit deux avions : un biréacteur B et un quadriréacteur Q. On suppose que tous les réacteurs de ces avions ont la même probabilité p, de tomber en panne, et qu'ils sont indépendants les uns des autres.
Appelons X et Y les variables aléatoires suivantes :
 X: « nombre de réacteurs de B, tombant en panne »
 Y: « nombre de réacteurs de Q, tombant en panne »
1. Etablir les lois de probabilité de X et Y.
2. On estime qu'un avion ne peut achever son vol que si la moitié au moins de ses réacteurs fonctionnent normalement. Soient P_B et P_Q les probabilités d'un vol réussi respectivement par B et par Q.
Calculer P_B et P_Q en fonction de p. Indiquer selon les valeurs de p, celui des deux avions B ou Q qui offre la meilleure sécurité.

 Exercice 9

Il a été constaté statistiquement que, sur une chaîne de montage donnée, sur 1000 appareils qui sortent, 5 sont défectueux.
En assimilant la fréquence à la probabilité, montrer que la variable aléatoire donnant le nombre d'appareils défectueux, lorsqu'on prélève successivement 80 appareils dans la chaîne de montage, suit une loi binômiale que l'on précisera.
Justifier l'approximation de cette loi binomiale par une loi de Poisson que l'on déterminera. Utiliser cette loi de Poisson pour calculer les probabilités des événements suivants :
1. aucun appareil n'est défectueux;
2. deux appareils sont défectueux;
3. plus de deux appareils sont défectueux;
4. moins de cinq appareils sont défectueux.

 Exercice 10

Une variable aléatoire suit une loi normale N(m,s) avec m = 3  et  s = 12 .
1. Déterminer le réel X tel que : p(X>x) = 0,6255.
2. Calculer la probabilité pour que : 3,25<X<4,75

 Exercice 11

Le contrôle du poids (en grammes) des pièces fabriquées par une même machine permet de conclure que ces poids suivent une loi normale de moyenne 462 et de variance 2,89.
1. Quelle est la probabilité pour que le poids d'une pièce soit inférieur à 465,06 grammes?
2. Quelle est la probabilité pour que le poids d'une pièce dépasse 463,989 grammes ?

COUPLES DE VARIABLES ALEATOIRES

 Exercice 12

La loi de probabilité d'un couple (X,Y) de deux variables aléatoires X et Y définies sur un même univers W est donnée par le tableau suivant :

X Y	-1	-1	0	1	2
-1	0,02	0,04	0,08	0,04	0,02
0	0,06	0,04	0,30	0,07	0,03
1	0,02	0,12	0,02	0,09	0,05

1. Déterminer les lois marginales de X et de Y.
2. Les variables aléatoires X et Y sont-elles indépendantes ?
3. Calculer la probabilité : p(X+Y)=0.
4. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire H = XY.

LOIS LIMITES

 Exercice 13

Enoncer : la loi faible des grand nombres. le théorème de la limite centrée.

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