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Méthode sur les équations différentielles

Résolution avec second membre

position du probléme

L'énoncé introduit une équation différentielle avec second membre ( par exemple ) et pose des questions destinées à la résoudre.
Ces questions sont pratiquement toujours les mêmes, mais n'ont pas forcément le même ordre que celui donné dans le principe suivant.

Principe :

Pour résoudre l'équation avec second membre (E) on demande de :
a) Résoudre l'équation sans second membre(E')
b) Montrer qu'une fonction g est solution de (E)
c) Montrer que f est solution de (E) si et seulement si (f-g) est solution de (E')
d) En déduire les solutions de (E)

Exercice concret

Résolution de (E)
a) résoudre y'+2y=0 (E')
b) Déterminez a et b de façon à ce que g définie sur par soit solution de (E)
c) Montrez que f est solution de (E) si et seulement si (f-g) est solution de (E ')
d) Déduisez-en les solution s de (E)



a) On applique la propriété du cour , on trouve que les solutions de (E ') sont les fonctions

b) Le principe de ce genre de question est de remplacer y par g et d'identifier alors les constantes . allons-y :
g est dérivable sur et
on en déduit que
f sera donc solution de (E) si c'est-à-dire si a et b vérifient :

c'est-à-dire pour et
On a donc :

c) f-g est solution de (E') :


(on a car g est solution de l'équation avec second membre)
f solution de (E)

REMARQUE :
Retenez bien ces différentes phases car c'est toujours pareil. L'important étant de partir de (f-g) et de faire dérouler la démonstration.

d) f solution de (E)
solution de (E')
d'après a)
est définie par
cours particuliers