Fiche de mathématiques

Bac 2005

Bac Scientifique
Pondichéry - Session 2005

4 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

On considère la fonction $f$ , définie sur $\small [1; + \infty[$ par $f(t) = \frac{exp^t}{t}$ .
1. a) Justifier la continuité de $f$ sur $\small [1; +\infty[$ .
b) Montrer que $f$ est croissante sur $\small [1; +\infty[$ .

2. Restitution organisée de connaissances
On pourra raisonner en s'appuyant sur le graphique fourni.
Pour tout réel $\small x_0$ de $\small [1; +\infty[$ , on note $\small A(x_0)$ l'aire du domaine délimité par la courbe représentant $f$ dans un repère orthogonal, l'axe des abscisses et les droites d'équations $\small x = 1 \hspace{10pt} \text{ et } \hspace{10pt} x = x_0$ .
On se propose de démontrer que la fonction ainsi définie sur $\small [1; +\infty[$ est une primitive de $f$ .

a) Que vaut $\small A(1)$ ?
b) Soit $\small x_0$ un réel queconque de $\small [1; +\infty[$ et $\small h$ un réel strictement positif. Justifier l'encadrement suivant :
$f(x_0) \leq \frac{A(x_0 + h) - A(x_0)}{h} \leq f(x_0 + h)$ .
c) Lorsque $\small x_0 > 1$ , quel encadrement peut-on obtenir pour h < 0 et tel que $\small x_0 + h \geq 1$ ?
d) En déduire la dérivabilité en $\small x_0$ de la fonction $\small A$ ainsi que le nombre dérivé en $\small x_0$ de la fonction $\small A$ .
e) Conclure.
bac S 2005 pondichéry : image 1

5 points

exercice 2 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormal direct $\small (O; \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})$
On désigne par I le point d'affixe $z_I = 1$ , par A le point d'affixe $z_A = 1 - 2i$ , par B le point d'affixe $z_B = -2 + 2i$ et par $\small (\mathcal{C})$ le cercle de diamètre [AB].
On fera une figure que l'on complètera avec les différents éléments intervenant dans l'exercice. On prendra pour unité graphique 2 cm.

1. Déterminer le centre $\small \Omega$ du cercle $\small (\mathcal{C})$ et calculer son rayon.
2. Soit D le point d'affixe $z_D = \frac{3 + 9i}{4 + 2i}$ .
Ecrire $z_D$ sous forme algébrique puis démontrer que D est un point du cercle $\small (\mathcal{C})$ .
3. Sur le cercle $\small (\mathcal{C})$ , on considère le point E, d'affixe $z_E$ , tel qu'une mesure en radians de $\left(\overrightarrow{\Omega I},\overrightarrow{\Omega E}\right) \text{ est } \frac{\pi}{4}$ .
a) Préciser le module et un argument de $z_E + \frac12$ .
b) En déduire que $z_E = \frac{5\sqrt{2} - 2}{4} + \frac{5\sqrt{2}}{4}i$ .
4. Soit $r$ l'application du plan P dans lui-même qui à tout point M d'affixe $z$ associe le point M' d'affixe $z'$ tel que : $z' + \frac12 = e^{^{i\frac{\pi}{4}}}\left(z + \frac12\right)$ .
a) Déterminer la nature de $r$ et ses éléments caractéristiques.
b) Soit K le point d'affixe $z_K = 2$ .
Déterminer par le calcul l'image de K par $r$ . Comment peut-on retrouver géométriquement ce résultat ? 5 points

exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct $\small (O; \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})$ .
On considère l'application $f$ qui au point M d'affixe z fait correspondre le point M' d'affixe z' tel que : $z' = \frac{3 + 4i}{5} \bar{z} + \frac{1 - 2i}{5}$

1. On note x et x', y et y' les parties réelles et les paties imaginaires de z et z'.
Démontrer que : $\left\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} {x' & \frac{3x + 4y + 1}{5} \\ y' & \frac{4x - 3y - 2}{5}} \\ \end{array} \right.$

2.a) Déterminer l'ensemble des points invariants par $f$
b) Quelle est la nature de l'application $f$

3. Déterminer l'ensemble D des points M d'affixe z tels que z' soit réel.

4. On cherche à déterminer les points de D dont les coordonnées sont entières.
a) Donner une colution particulière (x₀, y₀) appartenant à $\small \mathbb{Z}^2$ de l'équation $\small 4x - 3y = 2$ .
b) Déterminer l'ensemble des solutions appartenant à $\small \mathbb{Z}^2$ de l'équation $\normalsize 4x - 3y = 2$ .

5. On considère les points M d'affixe $z = x + iy \hspace{5pt} \text{ tels que } x = 1 \hspace{10pt} \text{ et } \hspace{10pt} y \in \mathbb{Z}$ . Le point M' = $f$ (M) a pour affixe z'.
Déterminer les entiers y tels que Re(z') et Im(z') soient entiers (on pourra utiliser les congruences modulo 5).

exercice 3 - Commun à tous les candidats (5 poins)

L'espace E est rapporté à un repère orthonormal $\left(O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k}\right)$ . On considère les points A, B et C de coordonnées respectives (1, 0, 2), (1, 1, 4) et (-1, 1, 1).

1. a) Montrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.
b) Soit $\overrightarrow{n}$ le vecteur de coordonnées (3, 4, -2).
Vérifier que le vecteur $\normalsize \overrightarrow{n}$ est orthogonal aux vecteurs $\normalsize \overrightarrow{\mbox{AB}} \hspace{5pt} \text{ et } \hspace{5pt} \overrightarrow{\mbox{AC}}$ .
En déduire une équation cartésienne du plan (ABC).

2. Soient P₁ et P₂ les plans d'équations respectives $2x + y + 2z + 1 = 0 \text{ et } x- 2y + 6z = 0$ .
a) Montrer que les plans P₁ et P₂ sont sécants selon une droite D dont on déterminera un système d'équations paramétriques.
b) La droite D et le plan (ABC) sont-ils sécants ou bien parallèles ?

3. Soit t un réel positif quelconque. On considère le barycentre G des points A, B et C affectés des coefficients respectifs 1, 2 et t.
a) Justifier l'existence du point G pour tout réel positif t.
Soit I le barycentre des points A et B affectés des coefficients respectifs 1 et 2. Déterminer les coordonnées du point I.
Exprimer le vecteur $\overrightarrow{\mbox{IG}}$ en fonction du vecteur $\normalsize \overrightarrow{\mbox{IC}}$
b) Montrer que l'ensemble des points G lorsque t décrit l'ensemble des nombres réels positifs ou nuls est le segment [IC] privé du point C.
Pour quelle valeur de t, le milieu J du segment [IC] coïncide-t-il avec G ? 6 points

exercice 4 - Commun à tous les candidats

Pour tout entier naturel n, on pose $u_n = \frac{n^{^{^{10}}}}{2^n}$ . On définit ainsi une suite $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$

1. Prouver, pour tout entier naturel n non nul, l'équivalence suivante : $u_{n+1} \leq 0,95 u_n \hspace{15pt} \text{ si et seulement si } \hspace{15pt} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{10} \leq 1,9$ .

2. On considère la fonction $f$ définie sur $\small [1; +\infty[$ par $f(x) = \displaystyle \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{10}$ .
a) Etudier le sens de variation et la limite en $\small +\infty$ de la fonction $f$ .
b) Montrer qu'il existe dans l'intervalle $\small [1; +\infty[$ un unique nombre réel $\normalsize \alpha$ tel que $f(\alpha ) = 1,9$ .
c) Déterminer l'entier naturel n₀ tel que : $n_0 - 1 \leq \alpha \leq n_0$ .
d) Montrer que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 16, on a : $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{10} \leq 1,9$ .

3. a) Déterminer le sens de variation de la suite (u_n) à partir du rang 16.
b) Que peut-on en déduire pour la suite ?

4. En utilisant un raisonnement par récurrence, prouver pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 16, l'encadrement :
$0 \leq u_n \leq 0,95^{n - 16} u_{16}$ .
En déduire la limite de la suite $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ .

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