Fiche de mathématiques

Bac 2005

Bac Scientifique
Session de remplacement
Polynésie Française - Session 2005

Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la réglementation en vigueur.
Coefficient : 7 Durée de l'épreuve: 4 heures

5 points

exercice 1

On étudie le mouvement aléatoire d'une puce. Cette puce se déplace sur trois cases notées A, B et C.
A l'instant 0, la puce est en A.
Pour tout entier naturel n :

si à l'instant n la puce est en A, alors à l'instant (n + 1), elle est :
soit en B avec une probabilité égale à $\frac13$ ;
soit en C avec une probabilité égale à $\frac23$ .

si à l'instant n la puce est en B, alors à l'instant (n + 1), elle est :
soit en C, soit en A de façon équiprobable.

si à l'instant n la puce est en C, alors elle y reste.
On note A_n (respectivement B_n, C_n) l'événement « à l'instant n la puce est en A » (respectivement en B, en C).
On note a_n (respectivement b_n, c_n) la probabilité de l'événement A_n, (respectivement B_n, C_n).
On a donc : a₀ = 1, b₀ = c₀ = 0.
Pour traiter l'exercice, on pourra s'aider d'arbres pondérés.

1. Calculer a_k, b_k et c_k pour k entier naturel tel que 1 $\leq$ k $\leq$ 3.

2. a) Montrer que, pour tout entier naturel n, a_n + b_n + c_n = 1 et $\lbrace \begin{array}{lll} a_{n+1} &=& \frac12b_n\\ b_{n+1}&=& \frac13a_n\\ \end{array}$
b) Montrer que, pour tout entier naturel n, a_n+2 = $\frac16$ a_n.
c) En déduire que, pour tout entier naturel p, $\left\lbrace \begin{array}{lcl} a_{2p} = \left(\frac16\right)^p & \hspace{10pt} \text{et} \hspace{10pt} & a_{2p+1} = 0\\ b_{2p} = 0 & \hspace{10pt} \text{et} \hspace{10pt} & b_{2p+1} = \frac13\left(\frac16\right)^p\\ \end{array}$

3. Montrer que $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} a_{n} = 0$ .
On admet que $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} b_{n} = 0$ . Quelle est la limite de c_n lorsque n tend vers + $\infty$ ? 7 points

exercice 2

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct $(O; \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})$ (unité graphique : 1 cm).

Partie A

Dans le repère $(O; \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})$ , on considère la courbe $\mathscr{H}$ d'équation $y^2 - x^2 = 16$ .

1. Montrer que $\mathscr{H}$ est la réunion de deux courbes $\mathscr{C}$ et $\mathscr{C}'$ où $\mathscr{C}$ est la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \sqrt{x^2 + 16}$ et où $\mathscr{C}'$ est l'image de $\mathscr{C}$ par une transformation simple que l'on précisera.

2. a) Etudier la fonction $f$ (limites aux bornes de l'ensemble de définition et sens de variation).
   b) Montrer que la droite d'équation $y = x$ est une asymptote de $\mathscr{C}$ .
   c) Tracer $\mathscr{H}$ dans le repère $(O; \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})$ .
On nomme A et B les points de la courbe $\mathscr{C}$ d'abscisses respectives -3 et 3.
On considère le domaine $\mathscr{D}$ du plan constitué des points M( $x ; y$ ) vérifiant : $-3 \leq x \leq 3 \hspace{10pt} \text{ et } \hspace{10pt} \sqrt{x^2 + 16} \leq y \leq 5$
   b) Hachurer le domaine $\mathscr{D}$ et exprimer l'aire de $\mathscr{D}$ à l'aide d'une intégrale que l'on ne cherchera pas à calculer.

Partie B

On appelle r la rotation de centre O et d'angle $-\frac{\pi}{4}$ .

1. a) Donner l'écriture complexe de r.
   b) On désigne par $x$ ' et $y$ ' les coordonnées du point M', image du point M( $x; y$ ) du plan.
Vérifier que $\left\lbrace \begin{array}{lcl} x' &=& \frac{1}{\sqrt{2}}(x + y)\\ y' &=& \frac{1}{\sqrt{2}}(-x + y)\\ \end{array}$
Déterminer les coordonnées des points A' et B', images respectives de A et B par la rotation r. Placer les points A' et B' dans le repère $(O; \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})$ .

2. Soit $\mathscr{H}'$ l'hyperbole d'équation $xy = 8$ .
   a) Tracer $\mathscr{H}'$ dans le repère $(O; \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})$ .
   b) Montrer que $\mathscr{H}'$ est l'image de $\mathscr{H}$ par la rotation r.

3. Soit $\mathscr{D}'$ l'image de $\mathscr{D}$ par la rotation r. On admet que $\mathscr{D}'$ est l'ensemble des points M( $x; y$ ) du plan vérifiant $\sqrt{2} \leq x \leq 4\sqrt{2} \hspace{10pt} \text{ et } \hspace{10pt} \frac{8}{x} \leq y \leq 5\sqrt{2} - x$ .
   a) Hachurer $\mathscr{D}'$ .
   b) Calculer l'aire de $\mathscr{D}'$ ,exprimée en cm².
En déduire une valeur approchée à 10^-3 près de l'aire de $\mathscr{D}$ . 3 points

exercice 3

Pour chacune des 3 questions, une seule des trois propositions est exacte.
Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
Une réponse exacte rapporte 1 point; une réponse inexacte enlève 0,5 point; l'absence de réponse est comptée 0 point.
Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro.
Dans tout l'exercice, le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct $(O; \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})$ .

1. Le point M est situé sur le cercle de centre A(-2; 5) et de rayon $\sqrt{3}$ . Son affixe $z$ vérifie :
    a) $\|z - 2 + 5i\|^2 = 3$ ;
    b) $\|z + 2 - 5i\|^2 = 3$ ;
    c) $\|z - 2 + 5i\| = 3$ .

2. On considère trois points A, B et C d'affixes respectives a, b et c, deux à deux distincts et tels que le triangle ABC n'est pas équilatéral. Le point M est un point dont l'affixe $z$ est telle que les nombres complexes $\frac{z - b}{c - a} \hspace{10pt} \text{ et } \hspace{10pt} \frac{z - c}{b - a}$ sont imaginaires purs.
    a) M est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC;
    b) M appartient aux cercles de diamètres respectifs [AC] et [AB];
    c) M est l'orthocentre du triangle ABC.

3. Soit A et B les points d'affixes respectives 1 + i et 5 + 4i, et C un point du cercle de diamètre [AB]. On appelle G l'isobarycentre des points A, B et C et on note $z_{G}$ son affixe.
    a) $\left|z_{G} - 3 - 2,5i\right| = \frac{5}{6}$ ;
    b) $z_{G}- (1 + i) = \frac{1}{3}(4 + 3i)$ ;
    c) $z_{G} - (3 + 2,5i) = \frac{1}{3}(4 + 3i)$ . 5 points

exercice 4

L'annexe se rapporte à cet exercice.
Elle sera complétée et remise avec la copie à la fin de l'épreuve.
Le plan est rapporté à un repère orthogonal $(O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$ .
Soit la fonction $f$ définie sur [0; + $\infty$ [ par $f(x) = e^{-x} \cos (4x)$ et $\normalsize\Gamma$ sa courbe représentative tracée dans le repère $(O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$ de l'annexe.
On considère également la fonction g définie sur [0; + $\infty$ [ par $g(x) = \text{e}^{-x}$ et on nomme $\mathscr{C}$ sa courbe représentative dans le repère $(O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$ .

1. a) Montrer que, pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle [0; + $\infty$ [, $-\text{e}^{-x} \leq f(x) \leq \text{e}^{-x}$ .
    b) En déduire la limite de $f$ en + $\infty$ .

2. Déterminer les coordonnées des points communs aux courbes $\Gamma$ et $\mathscr{C}$ .

3. On définit la suite (u_n) sur $\mathbb{N}$ par $u_{n} = f\left(n\frac{\pi}{2}\right)$ .
    a) Montrer que la suite (u_n) est une suite géométrique. En préciser la raison.
    b) En déduire le sens de variation de la suite (u_n) et étudier sa convergence.

4. a) Montrer que, pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle [0; + $\infty$ [, $f'(x) = -\text{e}^{-x} \left[\cos (4x) + 4 \sin (4x)\right]$ .
    b) En déduire que les courbes $\Gamma$ et $\mathscr{C}$ ont même tangente en chacun de leurs points communs.

5. Donner une valeur approchée à 10^-1 près par excès du coefficient directeur de la droite $\mathscr{T}$ tangente à la courbe $\Gamma$ au point d'abscisse $\frac{\pi}{2}$ .
Compléter le graphique donné en annexe, en y traçant $\mathscr{T}$ et $\mathscr{C}$ .