Fiche de mathématiques

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Bac Scientifique
Nouvelle Calédonie - Session 2005

L'utilisation de la calculatrice est autorisée.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnement entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

Coefficient : 7 (pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité) ou 9 (pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité) Durée : 4 heures

5 points

exercice 1 - Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité -

Le plan est rapporté au repère orthonormal $(O; \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})$ . Unité graphique : 4 cm.

Partie I

1. Placer les points I, J, H, A, B, C, D d'affixes respectives :
z_I = 1, z_J = i, z_H = 1 + i, z_A = 2, z_B = $\frac{3}{2}$ + i, z_C = 2i et z_D = -1.

2. Soit E le symétrique de B par rapport à H. La perpendiculaire à la droite (AE) passant par C et la parallèle à la droite (OC) passant par D se coupent en F.
Placer E et F et vérifier que le point F a pour affixe z_F = -1 + $\frac{1}{2}$ i.

3. Montrer que les triangles OAB et OCF sont isométriques.

Partie II

On considère la transformation $f$ du plan, d'écriture complexe : z' = -i $\bar{z}$ + 2i.

1. Déterminer les images des points O, A, B par $f$ .

2. a) Montrer que $f$ est une similitude. Est-ce une isométrie ?
    b) Déterminer l'ensemble des points invariants par $f$ .
    c) La transformation $f$ est-elle une symétrie axiale ?

3. Soit t la translation de vecteur $\overrightarrow{\text{IJ}}$ . Donner l'écriture complexe de t et celle de sa réciproque t^-1.

4. On pose s = $f \circ t^{-1}$ .
    a) Montrer que l'écriture complexe de s est : z' = -i $\bar{z}$ + 1 + i.
    b) Montrer que I et J sont invariants par s. En déduire la nature de s.
    c) En déduire que $f$ est la composée d'une translation et d'une symétrie axiale à préciser. 5 points

exercice 1 - Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité -

Le plan est rapporté au repère orthonormal $(O; \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})$ . Unité graphique : 3 cm.
A tout point M d'affixe z du plan, on associe le point M' d'affixe z' par l'application $f$ qui admet pour écriture complexe : $z' = \frac{(3 + 4i)z + 5\bar{z}}{6}$

1. On considère les points A, B, C d'affixes respectives z_A = 1 + 2i, z_B = 1 et z_C = 3i.
Déterminer les affixes des points A', B', C' images respectives de A, B, C par $f$ .
Placer les points A, B, C, A', B', C'.

2. On pose $z = x + iy$ (avec $x \text{ et } y$ réels).
Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de z' en fonction de $x \text{ et } y$ .

3. Montrer que l'ensemble des points M invariants par $f$ est la droite (D) d'équation $y = \frac{1}{2}x$ .
Tracer (D). Quelle remarque peut-on faire ?

4. Soit M un point quelconque du plan et M' son image par $f$ . Montrer que M' appartient à la droite (D).

5.a) Montrer que, pour tout nombre complexe z : $\frac{z' - z}{z_{\text{A}}} = \frac{z + \bar{z}}{6} + i\frac{z - \bar{z}}{3}$
En déduire que le nombre $\frac{z' - z}{z_{\text{A}}}$ est réel.
b) En déduire que, si M' $\neq$ M, les droites (OA) et (MM') sont parallèles.

6. Un point quelconque N étant donné, comment construire son image N' ? (on étudiera deux cas suivant que N appartient ou non à (D)).
Effectuer la construction sur la figure. 5 points

exercice 2 - Commun à tous les candidats -

On considère les suites (u_n) et (v_n) définies, pour tout entier naturel n non nul, par :
$\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} u_1 & 1 \\ u_n & u_{n-1} + \frac{1}{n} \text{ pour } n \ge 2 \\ \end{array} \right.$ et v_n = u_n - ln n pour n $\geq$ 1.

1. a) Calculer u₂, u₃ et u₄.
    b) Montrer que, pour tout entier naturel n non nul : $u_n = \displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$

2. a) Montrer que, pour tout entier naturel k non nul : $\displaystyle \frac{1}{k+1} \leq \int_k^{k+1} \frac{1}{x} \mathrm{d}x \leq \frac{1}{k}$
    b) En déduire que, pour tout entier n supérieur ou égal à 2, on a les inégalités suivantes : $u_n - 1 \leq \ln n \leq u_n - \frac{1}{n} \hspace{10pt} \text{ et } \hspace{10pt} 0 \leq v_n \leq 1$

3. a) Montrer que, pour tout entier naturel n non nul : $v_{n+1} - v_n = \frac{1}{n+1} - \int_n^{n+1} \frac{1}{x} dx$
    b) En déduire le sens de variation de la suite (v_n).

4. Montrer que la suite (v_n) converge. On note $\gamma$ la limite de la suite (v_n) (on ne cherchera pas à calculer $\gamma$ ).
Quelle est la limite de la suite (u_n) ? 5 points

exercice 3 - Commun à tous les candidats -

Cet exercice comporte deux parties indépendantes.
La partie I est la démonstration d'un résultat de cours. La partie II est un Q.C.M.

Partie I : Question de cours

Soient A et B deux événements indépendants. Démontrer que A et $\bar{B}$ sont indépendants.

Partie II

Pour chacune des questions suivantes, une et une seule des quatre propositions est exacte.
Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse fausse enlève 0,5 point. L'absence de réponse est comptée 0 point. Si le total de cette partie est négatif, la note correspondant à la partie II est ramenée à zéro.

1. Une urne comporte cinq boules noires et trois boules rouges indiscernables au toucher.
On extrait simultanément trois boules de l'urne.
Quelle est la probabilité d'obtenir deux boules noires et une boule rouge ? $\boxed{A} \quad \frac{75}{512} \hspace{20pt} \boxed{B}\quad \frac{13}{56} \hspace{20pt} \boxed{C}\quad \frac{15}{64} \hspace{20pt} \boxed{D}\quad \frac{15}{28}$

2. Au cours d'une épidémie de grippe, on vaccine le tiers d'une population.
Parmi les grippés, un sur dix est vacciné. La probabilité qu'une personne choisie au hasard dans la population soit grippée est 0,25.
Quelle est la probabilité pour un individu vacciné de cette population de contracter la grippe ? $\boxed{A} \quad \frac{1}{120} \hspace{20pt} \boxed{B} \quad \frac{3}{40} \hspace{20pt} \boxed{C} \quad \frac{1}{12} \hspace{20pt} \boxed{D}\quad \frac{4}{40}$

3. Un joueur lance une fois un dé bien équilibré.
Il gagne 10 ? si le dé marque 1. Il gagne 1 ? si le dé marque 2 ou 4. Il ne gagne rien dans les autres cas.
Soit X la variable aléatoire égale au gain du joueur. Quelle est la variance de X ? $\boxed{A} \quad 2 \hspace{20pt} \boxed{B} \quad 13 \hspace{20pt} \boxed{C} \quad 16 \hspace{20pt} \boxed{D} \quad 17$

4. La durée d'attente T, en minutes, à un péage d'autoroute avant le passage en caisse est une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda = \frac{1}{6}$ .
On a donc pour tout réel t > 0 : P(T < t) = $\displaystyle \int_0^t \lambda \mathrm{e}^{-\lambda x} \mathrm{d}x \hspace{10pt} (\textrm{ avec } \lambda = \frac{1}{6})$ où t désigne le temps exprimé en minutes.
Sachant qu'un automobiliste a déjà attendu 2 minutes, quelle est la probabilité (arrondie à 10^-4 près) que son temps total soit inférieur à 5 minutes ? $\boxed{A} \quad 0,2819 \hspace{20pt} \boxed{B} \quad 0,3935 \hspace{20pt} \boxed{C} \quad 0,5654 \hspace{20pt} \boxed{D} \quad 0,6065$ 5 points

exercice 4 - Commun à tous les candidats -

Un lapin désire traverser une route de 4 mètres de largeur. Un camion, occupant toute la route, arrive à sa rencontre à la vitesse de 60 km/h. Le lapin décide au dernier moment de traverser, alors que le camion n'est plus qu'à 7 mètres de lui. Son démarrage est foudroyant et on suppose qu'il effectue la traversée en ligne droite au maximum de ses possibilités, c'est à dire à ... 30 km/h !

L'avant du camion est représenté par le segment [CC'] sur le schéma ci-dessous.
Le lapin part du point A en direction de D.
Cette direction est repérée par l'angle $\theta = \widehat{\text{BAD}}$ avec $0 \leq \theta < \frac{\pi}{2}$ (en radians).

1. Déterminer les distances AD et CD en fonction de $\theta$ et les temps t₁ et t₂ mis par le lapin et le camion pour parcourir respectivement les distances AD et CD.

2. On pose $f(\theta) = \frac{7}{2} + 2 \tan \theta - \frac{4}{\cos \theta}$ .
Montrer que le lapin aura traversé la route avant le passage du camion si et seulement si $f(\theta) > 0$ .

3. Conclure.

Rappel :
La fonction $x$ fleche2

$\tan x$ est dérivable sur $[0; \frac{\pi}{2}[$

Voir la correction

exercice 1 - Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité

Partie I

2. Déterminons l'affixe du point E :
H et B ont la même ordonnée dont $z_E = a + i$ .
Or $z_B = \frac{3}{2} + i$ et $z_H = 1 + i$ .
H est le milieu de [EB] donc : $\frac{a+\frac{3}{2}}{2} = 1 \, \Longleftrightarrow \, a = \frac{1}{2}$
Donc : $\boxed{z_E = \frac{1}{2} + i}$

Déterminons l'affixe du point F :
On déduit de l'énoncé que $\left(\overrightarrow{AE} ; \overrightarrow{CF}\right) = \frac{\pi}{2}$ .
On a : $z_A = 2$ et $z_E = \frac12 + i$ , donc : $\overrightarrow{AE}\left(-\frac32 ; 1\right)$ .
L'équation de la droite (CF), perpendiculaire à (AE) est donc de la forme : $-\frac32 x + y + c =0$
Or, comme cette droite passe par C et que $z_C = 2i$ , on a : $-\frac32 \times 0 + 2 \times 1 + c = 0 \, \Longleftrightarrow \, c=-2$
Donc une équation de la droite (CF) est : $-\frac32 x + y - 2 = 0$ .
On sait que le point F appartient à la parallèle à (OC) passant par D, on en déduit que $x_F = x_D = -1$ .
Donc on a : $-\frac32 \times (-1) + y_F - 2 = 0 \, \Longleftrightarrow y_F = \frac12$ .
On a donc bien : $\boxed{z_F = -1 +\frac12 i}$

3. Démontrons que les triangles OAB et OCF sont isométriques :
$OA = |z_A| = 2 \hspace{25pt} OC = |z_C| = 2$ donc OA = OC.
$OB = |z_B| = \sqrt{\frac94 + 1} = \frac{\sqrt {13}}{2} \hspace{25pt} CF = |z_F - z_C| = \sqrt{\frac94 + 1} = \frac{\sqrt{13}}{2}$ donc OB = CF.
$AB = |z_B - z_A| = \frac{\sqrt 5}{2} \hspace{25pt} OF = |z_F| = \frac{\sqrt 5}{2}$ donc AB = OF.
Donc les triangles OAB et OCF sont isométriques.

Partie II

1. z' = -i $\bar{z}$ + 2i
z'_O = 2i = z_C
z'_A = -i × 2 + 2i = 0 = z_O
z'_B = $-\text{i}\left(\frac{3}{2} - \text{i}\right) + 2i = -1 + \frac{1}{2}\text{i} = z_F$

2. a) f est de la forme z' = a $\bar{z}$ +b. Il s'agit donc d'une similitude indirecte.
D'après la question précédente, on a OCF et OAB qui sont isométriques. De plus on a vu que O a pour image C par f, que A a pour image O par f et que B a pour image F par f. Donc f est une isométrie.

2. b) Les points invariants de la forme $z = x + \text{i}y$ vérifient l'équation suivante :
$x + \text{i}y = -\text{i}(x - \text{i}y) + 2\text{i} \\ x + \text{i}y = -y + \text{i}(2-x)$
Soit :
$\lbrace {x = -y\atop y = 2-x}\ \Longleftrightarrow \lbrace {x = -y\atop y = 2+y}\ \Longleftrightarrow \lbrace {x = -y\atop 0y = 2}\$
Ce qui est impossible, donc il n'y a aucun point invariant.

2. c) D'après le résultat précédent, il n'y a pas de point invariant, donc f n'est pas une symétrie axiale car dans ce cas tous les points de l'axe de symétrie seraient des points invariants.

3. L'écriture complexe d'une translation de vecteur $\overrightarrow{t}$ s'écrit z' = z + z_t
Or $\overrightarrow{IJ} (-1;1)$
Donc l'écriture complexe de t est z' = z - 1 + i
La réciproque de t correspond à une translation de vecteur $\overrightarrow{JI}$ . On a donc pour écriture complexe de t^-1 : z' = z + 1 - i

4. a) L'écriture complexe de s correspond à :
$z' = -\text{i}(\bar{z+1-\text{i}}) + 2\text{i} = -\text{i}(\bar{z}+1+\text{i}) + 2\text{i} = -\text{i}\bar{z} + 1 + \text{i}$

4. b) z'_J= -i × 1 + 1 + i = 1 = z_J
z'_I = -i × (-i) + 1 + i = i = z_I
Donc, par s, I et J sont des points invariants. Or comme s est de la forme d'une similitude indirecte, on peut en déduire que s est une symétrie axiale d'axe (IJ).

4. c) Etant donné que s = f o t^-1
Cela équivaut à f = s o t
où s est la symétrie axiale d'axe (IJ) et où t est la translation de vecteur $\overrightarrow{IJ}$

exercice 1 - Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité

1. $z_{A'} = f(z_A) = f(1+2\text{i}) = \frac{(3+4\text{i})(1+2\text{i}) + 5(\bar{1+2\text{i}})}{6} = \frac{3+4\text{i}+6\text{i}-8+5(1-2\text{i})}{6} = \frac{-5+10\text{i}+5-10\text{i}}{6} = 0$
$z_{B'} = f(z_B) = f(1) = \frac{(3+4\text{i})+5}{6} = \frac{8+4\text{i}}{6} = \frac{4+2\text{i}}{3}$
$z_{C'} = f(z_C) = f(3\text{i}) = \frac{(3+4\text{i})(3\text{i}) + 5(\bar{3\text{i}})}{6} = \frac{9\text{i}-12+5(-3\text{i})}{6} = \frac{9\text{i}-12-15\text{i}}{6} = \frac{-12-6\text{i}}{6}=-2 - \text{i}$
Graphique :

2. Pour $z = x + \text{i}y$ ,
$z' = \frac{(3+4\text{i})z + 5\bar z}{6} = \frac{(3+4\text{i})(x+\text{i}y)+5(x-\text{i}y)}{6} = \frac{3x+4\text{i}x+3\text{i}y-4y+5x-5\text{i}y}{6} = \frac{(8x-4y) + \text{i}(4x-2y)}{6} = \frac{(4x-2y)+\text{i}(2x-y)}{3}$
Donc $\text{Re}(z') = \frac{4x-2y}{3}$ et $\text{Im}(z')=\frac{2x-y}{3}$

3. M est invariant par $f$
$\: \Longleftrightarrow \: \text{M}' = \text{M}\\ \Longleftrightarrow \: z' = z \\ \Longleftrightarrow \: \text{Re}(z') = \text{Re}(z) \text{ et } \text{Im}(z') = \text{Im}(z) \\ \Longleftrightarrow \: \frac{4x-2y}{3} = x \text{ et } \frac{2x-y}{3}=y \\ \Longleftrightarrow \: 4x-2y=3x \: \text{ et } \: 2x-y=3y \\ \Longleftrightarrow \: x-2y=0 \: \text{ et } \: 2x-4y=0 \\ \Longleftrightarrow \: y=\frac{1}{2}x$
L'ensemble (D) des points invariants par f est donc la droite d'équation $y=\frac{1}{2}x$
On trace (D) sur le graphique de la question 1.
On remarque que les points A', B' et C' appartiennent à la droite (D).

4. Les coordonnées du point M' sont $(x' \, , \, y') = \left(\text{Re}(z') \, , \, \text{Im}(z')) = \left(\frac{4x-2y}{3} \, , \, \frac{2x-y}{3}\right)$
On a donc $y' = \frac{2x-y}{3} = \frac{1}{2} \times \frac{4x-2y}{3}=\frac{1}{2}x'$
Les coordonnées $(x' \, , \, y')$ vérifient donc l'équation de la droite (D). Le point M' appartient donc à la droite (D).

5. a) Pour tout nombre complexe z, on a :
$\frac{z'-z}{z_A} = \frac{1}{1+2\text{i}} \times \left(\frac{(3+4\text{i})z+5\bar z}{6}-z\right) = \frac{1}{1+2\text{i}}\times\frac{(3+4\text{i})z+5\bar z-6z}{6}\\ = \frac{(1-2\text{i})(3+4\text{i})z+(1-2\text{i})5\bar z-(1-2i)6z}{6(1+2i)(1-2i)} = \frac{(3+4i-6i+8)z+(5-10i)\bar z-6z+12\text{i}z}{6(1+4)}\\ = \frac{11z-2\text{i}z+5\bar z-10\text{i}\bar z-6z+12\text{i}z}{30} = \frac{5z+5\bar z+10\text{i}z-10\text{i}\bar z}{30} \\ = \frac{5(z+\bar z)}{30}+\text{i}\frac{10(z-\bar z)}{30} = \frac{z+\bar z}{6}+\text{i}\frac{z-\bar z}{3}$
Or, en remplaçant z par $x+\text{i}y$ , on obtient :
$\frac{z+\bar z}{6} = \frac{x+\text{i}y+x-\text{i}y}{6} = \frac{2x}{6}=\frac{x}{3}$ et $\frac{z-\bar z}{3} = \frac{x+\text{i}y-(x-\text{i}y)}{3} = \frac{x+\text{i}y-x+\text{i}y}{3} = \frac{2\text{i}y}{3}$ donc :
$\frac{z'-z}{z_A} = \frac{z+\bar z}{6} + \text{i}\frac{z-\bar z}{3} = \frac{x}{3}+\text{i}\frac{2\text{i}y}{3} = \frac{x-2y}{3}\in\mathbb{R}$

5. b) Pour M $\neq$ M', on vient de montrer que $\frac{z'-z}{z_A}$ est un réel. Notons-le k : $\frac{z'-z}{z_A}=k$
Donc $z' - z = k . z_A$ , ce qui revient à écrire $z_{\overrightarrow{MM'}} = k.z_{\overrightarrow{OA}}$ .
On a donc $\overrightarrow{MM'}=k\overrightarrow{OA}$ .
Les vecteurs $\overrightarrow{MM'}$ et $\overrightarrow{OA}$ sont colinéaires.
Les droites (MM') et (OA) sont parallèles.

6. Si N est sur la droite (D), alors N est invariant donc N' = N. L'image de N est N (facile à construire!).
Si N n'est pas sur la droite (D), on a montré en 4. que N' appartient à la droite (D) et en 5.b) que (NN') est parallèle à (OA). Il suffit donc de tracer la parallèle à (OA) passant par N. Elle coupe (D) en N'.
Les traits correspondants à cette construction pour les points A, B et C sont apposés sur le graphique de la question 1, en rouge.

exercice 2 - Commun à tous les candidats

1. a) $u_2 = u_1+\frac{1}{2} = 1+\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$
$u_3 = u_2+\frac{1}{3} = \frac{3}{2}+\frac{1}{3} = \frac{11}{6} \\ u_4 = u_3+\frac{1}{4} = \frac{11}{6}+\frac{1}{4} = \frac{25}{12}$

1. b) On veut démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n non nul, $u_n = \displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$ .
$u_1 = 1$ et $\displaystyle \sum_{k=1}^1 \frac{1}{k} = \frac{1}{1} = 1$
donc : $u_1 = \displaystyle \sum_{k=1}^1 \frac{1}{k}$ , la propriété est vraie au rang n = 1.
Supposons que pour un certain entier naturel n, $u_n = \displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$ . Montrons qu'elle est alors vraie au rang n+1. Montrons que $u_{n+1} = \displaystyle \sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{k}$ .
$u_{n+1} = u_n + \frac{1}{n+1}\\ u_{n+1} = \displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}+\frac{1}{n+1} \\ u_{n+1} = \displaystyle \sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{k}$
La propriété est vraie au rang n+1.
Conclusion : pour tout entier naturel n non nul, $u_n = \displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$ .

2. a) Pour tout $k \in \mathbb{N}*$ ,
$k \le x \le k+1 \\ \frac{1}{k+1} \le \frac{1}{x} \le \frac{1}{k} \\ \frac{1}{k+1} \displaystyle \int_k^{k+1}1dx \le \displaystyle \int_k^{k+1}\frac{1}{x}dx \le \frac{1}{k} \displaystyle \int_k^{k+1}1 dx \\ \frac{1}{k+1}[x]_k^{k+1} \le \displaystyle \int_k^{k+1}\frac{1}{x}dx \le \frac{1}{k}[x]_k^{k+1} \\ \frac{1}{k+1}(k+1-k) \le \displaystyle \int_k^{k+1}\frac{1}{x}dx \le \frac{1}{k}(k+1-k) \\ \frac{1}{k+1} \le \displaystyle \int_k^{k+1}\frac{1}{x}dx \le \frac{1}{k}$

2. b) On en déduit que :
$\frac{1}{2} \le \displaystyle \int_1^2 \frac{1}{x}dx \le 1 \\ \frac{1}{3} \le \displaystyle \int_2^3\frac{1}{x}dx \le \frac{1}{2}$
...
$\frac{1}{n} \le \displaystyle \int_{n-1}^n\frac{1}{x}dx \le \frac{1}{n-1}$
On additionne membre à membre:
$\displaystyle \sum_{k=2}^n\frac{1}{k} \le \displaystyle \int_1^n\frac{1}{x}dx \le \displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k} \\ \displaystyle \sum_{k=1}^n\frac{1}{k} -1 \le [\ln x]_1^n \le \displaystyle \sum_{k=1}^n\frac{1}{k}-\frac{1}{n} \\ u_n-1 \le \ln n - \ln(1) \le u_n-\frac{1}{n}$
Pour tout entier naturel $n \ge 2$ , $u_n-1 \le \ln n \le u_n-\frac{1}{n}$ .
Ainsi :
$-u_n+\frac{1}{n} \le -\ln n \le -u_n+1 \\ \frac{1}{n} \le u_n-\ln n \le 1 \\ 0 < \frac{1}{n} \le v_n \le 1$
Pour tout entier naturel $n \ge 2$ , $0 \le v_n \le 1$ .

3.a et b) Pour tout entier naturel n non nul,
$v_{n+1} - v_n = u_{n+1}-\ln(n+1)-u_n+\ln n \\ v_{n+1}-v_n = \frac{1}{n+1}-\ln(n+1)+\ln n \\ v_{n+1} - v_n = \frac{1}{n+1} + \displaystyle \int_{n+1}^n\frac{1}{x}dx \\ v_{n+1} - v_n = \frac{1}{n+1} - \displaystyle \int_n^{n+1}\frac{1}{x}dx$
Or d'après 2. a) ,
$\frac{1}{n+1} \le \displaystyle \int_n^{n+1}\frac{1}{x}dx \le \frac{1}{n}$
Donc : $-\frac{1}{n} \le -\displaystyle \int_n^{n+1}\frac{1}{x}dx \le -\frac{1}{n+1}$
$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n} \le v_{n+1}-v_n \le 0$
$(v_n)$ est strictement décroissante.

4. $(v_n)$ est décroissante et minorée par 0 (d'après 2. b)), donc $(v_n)$ converge.
On note : $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} v_n = \gamma$ .
$\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = \displaystyle \lim_{n \to +\infty}v_n+\ln n \\ \displaystyle \lim_{n \to +\infty}u_n=\displaystyle \lim_{n \to +\infty}\gamma + \ln n \\ \displaystyle \lim_{n \to +\infty}u_n=+\infty$
$(u_n)$ , aussi appelée la série harmonique, diverge.

exercice 3 - Commun à tous les candidats

Partie I : Question de cours

Les événements A et B sont indépendants, on a donc $p(A \cap B) = p(A) \times p(B)$
D'après la formule des probabilités totales : $p(A) = p(A \cap B) + p(A \cap \bar B)$
Donc : $p(A \cap \bar B) = p(A) - p(A \cap B) = p(A) - p(A) \times p(B) = p(A) \times [1-p(B)] = p(A) \times p( \bar B)$
Donc les événements $A$ et $\bar{B}$ sont indépendants.

Partie II

1. Réponse : D
Justification :
On tire 3 boules parmi 8, donc on a ${8\choose 3} = \frac{8!}{5! 3!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2} = 8 \times 7 =56$ possiblités.
Parmi les cinq noires, il y a ${5\choose 2} = \frac{5!}{3! 2!} = \frac{5 \times 4 }{2} = 10$ 10 possibilités d'en tirer 2.
Parmi les trois rouges, il y a ${3\choose 1} = \frac{3!}{2! 1!} = 3$ possibilités d'en tirer 1.
Donc la probabilité de l'évènement est : $\frac{3 \times 10}{56} = \frac{15}{28}$

2. Réponse : B
Si parmi tous les grippés on en vaccine uniquement 1 sur 10, et que cela correspond à un nombre de x personnes, alors il y 9x personnes de non vaccinées, et cela correspond au total à un quart de la population.
On a donc : $x + 9 x = \frac{1}{4} \, \Longleftrightarrow \, x = \frac{1}{40}$
Donc $p(V \cap G) = \frac{1}{40}$
Or on a : $p_V(G) = \frac{p(V \cap G)}{p(V)} = \frac{\frac{1}{40}}{\frac{1}{3}} = \frac{3}{40}$

3. Réponse : B

x	10	1	0
P(X=x)	$\frac16$	$\frac13$	$\frac12$

$E(X) = 10 \times \frac{1}{6} + 1 \times \frac{1}{3} + 0 \times \frac{1}{2} = 2 \\ V(X) = (10-2)^2 \times \frac{1}{6} + (1-2)^2 \times \frac{1}{3} + (0-2)^2 \times \frac{1}{2} = \frac{64}{6} + \frac{1}{3} + \frac{4}{2} = 13$

4. Réponse : B
On cherche à calculer $P_{(T>2)} (T<5)$
$P_{(T>2)} (T<5) = \frac{P(T>2) \cap P(T<5)}{p(T>2)} = \frac{\displaystyle \int_2^{5} \lambda e^{-\lambda x} dx}{\displaystyle \int_0^{2} \lambda e^{-\lambda x} dx} = \frac{e^{\frac{-2}{6}} - e^{\frac{-5}{6}}}{e^{\frac{-2}{6}}}$
La probabilité vaut donc 0,3935 à 10^-4 près.

exercice 4 - Commun à tous les candidats

1. Calcul de la longueur AD :
Le triangle ABD est rectangle en B, donc : $AD = \frac{4}{\cos \theta}$
Calcul de la longueur CD :
$CD = CB + BD = 7 + 4 \tan \theta$
Calcul du temps t₁
On sait que le temps (en heures) est égal au rapport de la distance sur la vitesse, donc :
$t_1 = \frac{AD}{30} = \frac{4 . 10^{-3}}{30 \cos \theta}$
Calcul du temps t₂
De même : $t_2 = \frac{CD}{60} = \frac{(7+ 4 \tan \theta).10^{-3}}{60}$

2. Le lapin parvient à traverser si $t_1 < t_2$
$t_1 < t_2 \\ \Longleftrightarrow \, \frac{4.10^{-3}}{30 \cos \theta} < \frac{(7+ 4 \tan \theta).10^{-3}}{60} \\ \Longleftrightarrow \, \frac{4}{\cos \theta} < \frac{7+ 4 \tan \theta}{2} \\ \Longleftrightarrow \, \frac{7+ 4 \tan \theta}{2} - \frac{4}{\cos \theta} > 0 \\ \Longleftrightarrow \, \frac{7}{2} + 2 \tan \theta - \frac{4}{\cos \theta} > 0 \\ \Longleftrightarrow \, f(\theta) > 0$

3. La dérivée de $f(\theta)$ est égale à :
$f'(\theta) = \frac{2}{\cos^2 \theta} - \frac{4 \sin \theta}{\cos^2 \theta} = \frac{2(1 - 2 \sin \theta)}{\cos^2 \theta}$
L'étude du signe de la dérivée montre que la fonction est croissante sur $\left[0 \, ; \, \frac{\pi}{6}\right]$ et décroissante sur $\left[\frac{\pi}{6} \, ; \, \frac{\pi}{2}\right]$ .
On peut aussi démontrer que l'équation $f(\theta) = 0$ possède une solution sur $\left[0 \, ; \, \frac{\pi}{6}\right]$ et une sur $\left[\frac{\pi}{6} \, ; \; \frac{\pi}{2}\right]$ . (voir représentaton graphique ci-dessous)
La recherche des solutions approchées de l'équation $f(\theta) = 0$ montre que le lapin doit prendre un angle compris entre 23 et 37 degrés environ pour parvenir à traverser.

Publié par Océane/elda-puisea-Aurélien le 21-02-2016

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