Fiche de mathématiques

Bac 2005

Bac Technologique 2005 - Sciences et Techniques de Laboratoire - Physique de Laboratoire et de Procédés Industriels

La calculatrice est autorisée.
Le formulaire officiel est autorisé.
Il est rappelé aux candidats que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Coefficient : 4 Durée : 4 heures

5 points

exercice 1

Le plan P est rapoorté à un repère orthnormal $(O; \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})$ , d'unité graphique 4 cm.

1. a) Résoudre dans l'ensemble $\mathbb{C}$ des nombres complexes l'équation : $z^2 - 2\sqrt{3}z + 4 = 0$ .
Donner les solutions sous forme algébrique et sous forme trigonométrique.
   b) Représenter dans le plan P, les points A d'affixe $\sqrt{3} - i$ et B d'affixe $\sqrt{3} + i$ .
   c) Démontrer que le triangle OAB est équilatéral.

2. On considère l'application R de P dans P qui à tout point M d'affixe z associe le point M' d'affixe z' telle que : $z' = exp^{i\pi/4}z$ .
   a) Caractériser géométriquement l'application R.
   b) Placer le point A' image du point A par R.
   c) Calculer sous forme trigonométrique puis sous forme algébrique l'affixe du point A'.
   d) En déduire les valeurs exactes de $\cos \frac{\pi}{12} \text{ et } \sin \frac{\pi}{12}$ . 5 points

exercice 2

Soit l'équation différentielle : $y'' + 10^4 \pi^2 y = 0$ , où y est une fonction de la variable t, et y '' sa dérivée seconde.

1. Résoudre cette équation différentielle.
2. Le plan est rapporté à un repère orthonormal $(O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$ .
Déterminer la fonction f solution de cette équation différentielle telle que :
La courbe représentative de f passe par le point A de coordonnées (0; 1).
La tangente à cette courbe en A a pour coefficient directeur $-100\pi$
3. Vérifier que, pour tout réel t : $f(t) = \sqrt{2} \cos \left(100 \pi t + \frac{\pi}{4}\right)$
4. Déterminer la valeur moyenne $\nu$ de f sur l'intervalle $\left[0; \frac{1}{50}\right]$ .
5. Calculer la valeur efficace de la fonction f sur cet intervalle, c'est-à-dire le nombre réel positif I défini par : $I^2 = 50 \displaystyle \int_0^{\frac{1}{50}} [f(t)]^2 dt$

Problème (10 points)

Partie A : Etude d'une fonction

On considère la fonction f définie sur l'ensemble $\mathbb{R}$ des nombres réels par : $f(x) = 2 - \frac{(x - 2)}{5} exp^x$ .
On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormal $(O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$ , d'unité graphique 2 cm.

1. a) Calculer la limite de f(x) quand x tend vers + $\small \infty$ .
    b) Calculer la limite de f(x) quand x tend vers - $\small \infty$ .
    c) En déduire l'équation d'une droite $\mathcal{D}$ asymptote à la courbe $\mathcal{C}$ .
    d) Calculer les coordonnées du point d'intersection A de la droite $\mathcal{D}$ et de la courbe $\mathcal{C}$ .
    e) Déterminer la position relative de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à la droite $\mathcal{D}$ .

2. a) Calculer f '(x).
    b) Etudier le signe de f '(x) et en déduire le tableau de variation de f sur $\mathbb{R}$ .

3. Donner une équation de la tangente $\mathcal{T}$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 0.

4. a) Montrer que l'équation f(x) = 0 admet une solution x₀ sur [2; 3].
    b) Donner un encadrement de x₀ à 10^-2 près.

5. Tracer sur un même graphique la droite $\mathcal{D}$ , la tangente $\mathcal{T}$ et la courbe $\mathcal{C}$ .

Partie B : Calcul d'aire

1. On considère la fonction g définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = \frac{(x - 3)}{5}exp^x$ .
    a) Calculer g'(x).
    b) En déduire une primitive de f sur $\mathbb{R}$ .

2. a) Hachurer sur le graphique le domaine délimité par la courbe $\mathcal{C}$ , l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation x = 2.
    b) Calculer l'aire de la partie hachurée.
Donner la valeur exacte en cm², puis la valeur arrondie à 10^-2 près.

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