Fiche de mathématiques

Bac 2005

Baccalauréat Technologique
Techniques de la Musique et de la Danse
France - Session Juin 2005

7 points

exercice

Sur le schéma 1, $\mathcal{C}$ est la courbe représentative dans le repère $(O ; \vec{i},\vec{j})$ d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $[-1~ ;~ 5]$ .
On précise que la courbe passe par les points O(0 ; 0), A (1 ; 1) et B (3 ; 0).

bac TMD Métropole Juin 2005 - terminale : image 1

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Schéma 1 1. L'un des trois schémas suivants, 2, 3 ou 4, correspond à la courbe représentative de la dérivée $f'$ de $f$ . Préciser lequel, en justifiant la réponse.

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Schéma 2

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Schéma 3

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Schéma 4

2. Soit $m$ un réel quelconque. Préciser graphiquement (à l'aide du schéma 1), le nombre de solutions de l'équation $f(x) = m$ , suivant la valeur de $m$ .

3. On admet que $f(x) = \dfrac{1}{4}x^3 + ax^2 + bx$ où $a$ et $b$ sont des nombres réels.
    a) Calculer $f(1)$ et $f(3)$ en fonction de $a$ et $b.$
    b) En déduire les nombres réels $a$ et $b$ .
    c) À l'aide de l'expression de la fonction $f$ , retrouver les valeurs de $f'(1)$ et $f'(3)$ .

13 points

probleme

Soit $f$ la fonction, définie sur $\mathbb{R}$ , par $f(x) = \text{e}^{2x} - 5\text{e}^x +4$ .
On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal $(O ; \vec{i},\vec{j})$ d'unités 2 cm sur l'axe des abscisses et 1 cm sur l'axe des ordonnées.

1. a) En justifiant que $f(x)= \text{e}^x\left(\text{e}^x - 5\right) + 4$ , déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty.$
    b) Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$ ; en déduire l'existence d'une asymptote D au voisinage de $- \infty$ , dont on précisera une équation.
    c) On désigne par $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ .
Calculer $f'(x)$ pour tout réel $x$ .
    d) Étudier le signe de $f'(x)$ pour tout réel $x$ .
    e) Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ . On précisera la valeur de $f\left[\ln \left(\dfrac{5}{2}\right)\right]$ .

2. Soit T la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point A d'abscisse $\ln \left( \dfrac{1}{2}\right)$ . Calculer les valeurs exactes de l'ordonnée de A et du coefficient directeur de la droite T.

3. a) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $X^2 - 5X + 4 = 0$ .
    b) En déduire la résolution de l'équation $f(x) = 0$ .

4. Reproduire le tableau suivant et le compléter avec les valeurs décimales arrondies à 10^-1 près.

$x$	-5	-4	-2	-1,5	-1	-0,5	0	0,5	1	1,5	1,6
$f(x)$

5. Construire dans le repère $(O ; \vec{i},\vec{j})$ l'asymptote D, la tangente T puis la courbe $\mathcal{C}$ en tenant compte des résultats obtenus aux questions 3. et 4.

6. a) Déterminer une primitive $F$ de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$ .
b) Calculer l'intégrale $\text{I} = \displaystyle \int_{0}^{\ln (4)} f(x)\:\text{d}x$ (on donnera la valeur exacte puis la valeur décimale arrondie à 10^-2 près).

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