L'île des mathématiques propose des cours et des exercices de maths et de physique.

L'île des Mathématiques

Bac Economique et Social
Antilles Guyane - Session 2007

Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 3 heures - Coefficient 5
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 3 heures - Coefficient 7

L'usage d'une calculatrice est autorisée.

Le candidat doit traiter tous les exercices.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des justifications entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

 Exercice 1 (4 points) - Commun à tous les candidats

Un commerçant vendant des produits biologiques propose quotidiennement des paniers de légumes frais contenant 2 kg de légumes ou des paniers contenant 5 kg de légumes/
35 % des clients qui achètent ces paniers ont au moins un enfant.
Parmi ceux qui n'ont pas d'enfant, 40% choisissent les paniers de 5 kg de légumes et les autres choisissent les paniers de 2 kg de légumes.
On interroge au hasard un client qui achète un panier de légumes.

On note E l'évènement : le client interrogé a au moins un enfant ; on note C l'évènement : le client interrogé a choisi un panier de 5 kg de légumes.
Pour tout événement A, on note l'événement contraire.
Tous les résultats seront donnés sous forme décimale arrondie au millième.

1. Quelle est la probabilité que le client interrogé n'ait pas d'enfant ?

2. Sachant que le client interrogé n'a âs d'enfant, quelle est la probabilité qu'il ait choisi un panier contenant 5 kg de légumes ?

3. Décrire l'événement et montrer que .

4. On sait de plus que 36% des clients qui achètent des paniers choisissent des paniers de 5 kg.
   a) Calculer .
   b) En déduire la probabilité de C sachant que E est réalisé.

 Exercice 2 (5 points) - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

la courbe ci-dessous représente une fonction définie et dérivable sur l'intervalle I = ]0 ; +[. On note la fonction dérivée de sur l'intervalle I.
Les axes et sont asymptotes à .
La courbe passe par les points A(1 ; -1) et et admet une tangente parallèle à au point A.

1. En utilisant les données ci-dessus, déterminer sans justification :
   a) et .
   b) .
   c) Les solutions de l'inéquation et les solutions de l'inéquation .

2. On admet que, pour tout réel de l'intervalle T, où a et b sont deux nombres réels.
   a) Exprimer en fonction des réels a et b.
   b) Utiliser les résultats de la question 1. a) pour montrer que a = -1 et b = -1.
   c) Retrouver les résultats de la question 1. c) par le calcul.

 Exercice 2 (5 points) - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Dans un pays, un organisme étudie l'évolution de la population. Compte tenu des naissances et des décès, on a constaté que la population a un taux d'accroissement naturel et annuel de 14 pour mille.
De plus, chaque année, 12 000 personnes arrivent dans ce pays et 5 000 personnes le quittent. En 2005, la population de ce pays était de 75 millions d'habitants. On suppose que l'évolution ultérieure obéit au modèle décrit ci-dessus.
On note P_n la population de l'année 2005 + n exprimée en milliers d'habitants.

1. Déterminer P₀, P₁ et P₂. La suite de terme général P_n est-elle arithmétique ? géoémtrique ? Justifier la réponse.

2. Expliquer pourquoi on obtient, pour tout entier naturel n, P_n+1 = 1,014P_n + 7.

3. Démontrer que la suite (U_n) définie par U_n = P_n + 500 pour tout entier naturel n est une suite géométrique. Déterminer sa raison et son premier terme.

4. Exprimer U_n puis P_n en fonction de n.

5. a) Combien d'habitants peut-on prévoir en 2010 ?
   b) Au bout de combien d'années la population aura-t-elle doublé par rapport à l'année 2005 ?

 Exercice 3 (5 points) - Commun à tous les candidats

Le tableau ci-dessous donne une estimation du montant des achats en ligne des ménages français, en millions d'euros, de 1998 à 2004.

Année	1998	1999	2000	2001	2002	2003	2004
Rang de l'année :	0	1	2	3	4	5	6
Montant en millions d'euros : yi	75	260	820	1650	2300	4000	5300

1. Calculer l'augmentation relative entre 2001 et 2002 du montant de ces achats.

2. Représenter le nuage de points associé à la série statistique dans le plan rapporté à un repère orthogonal (unités graphiques : 2 cm pour une année sur l'axe des abscisses, 2 cm pour 1 000 millions d'euros sur l'axe des ordonnées).

3. Dans cette question, les calculs, effectués à la machine, ne seront pas justifiés et seront arrondis à l'unité.
Donner une équation de la droite d'ajustement affine D de y en , obtenue par la méthode des moindres carrés.
Représenter cette droite dans le repère précédent.

4. On propose un deuxième ajustement de cette série statistique par la fonction définie, pour tout réel positif , par : .
Compléter le tableau de valeurs suivant :

	0	1	2	3	4	5	6

Construire la courbe représentative de la fonction dans le repère précédent.

5 Le montant des achats en ligne en 2005 a été de 7 700 millions d'euros. Lequel de ces deux ajustements vous paraît le plus conforme à la réalité ? Justifier votre réponse.

 Exercice 4 (6 points) - Commun à tous les candidats

Soit la fonction g définie sur par .
Le tableau suivant est le tableau de variations de la fonction g.

1. On admet que l'équation admet une unique solution a strictement positive. En déduire le signe de suivant les valeurs de .

2. On note la fonction définie sur ]0 ; +[ par : .
   a) Etudier la limite de en 0. Donner une interprétation graphique du résultat.
   b) Vérifier que, pour tout réel , où est la fonction dérivée de .
   c) Etudier les variations de puis établir son tableau de variations en admettant que la limite de en + est +.

3. Soit la courbe représentative de dans le plan muni d'un repère orthogonal.
Tracer la courbe , en prenant 0,57 comme valeur approchée de a.
(Prendre 4 cm pour unité sur l'axe des abscisses et 2 cm sur l'axe des ordonnées.)

4. On note l'ensemble des points du plan muni du repère ci-dessus tels que .
   a) Hachurer le domaine .
   b) Vérifier que la fonction H définie sur ]0 ; +[ par est une primitive de la fonction h définie sur ]0 ; +[ par .
   c) En déduire une primitive F de sur ]0 ; +[.
   d) Calculer l'aire du domaine , en unités d'aire, puis en donner une valeur en cm², arrondie au dixième.

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