Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 3 heures - Coefficient 5
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 3 heures - Coefficient 7
L'usage d'une calculatrice est autorisée.
Le candidat doit traiter tous les exercices.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des justifications entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
4 points exercice 1 - Commun à tous les candidats
Un commerçant vendant des produits biologiques propose quotidiennement des paniers de légumes frais contenant 2 kg de légumes ou des paniers contenant 5 kg de légumes.
35 % des clients qui achètent ces paniers ont au moins un enfant.
Parmi ceux qui n'ont pas d'enfant, 40% choisissent les paniers de 5 kg de légumes et les autres choisissent les paniers de 2 kg de légumes.
On interroge au hasard un client qui achète un panier de légumes.
On note E l'évènement : le client interrogé a au moins un enfant ; on note C l'évènement : le client interrogé a choisi un panier de 5 kg de légumes.
Pour tout événement A, on note

l'événement contraire.
Tous les résultats seront donnés sous forme décimale arrondie au millième.
1. Quelle est la probabilité que le client interrogé n'ait pas d'enfant ?
2. Sachant que le client interrogé n'a pas d'enfant, quelle est la probabilité qu'il ait choisi un panier contenant 5 kg de légumes ?
3. Décrire l'événement

et montrer que
 = 0,26)
.
4. On sait de plus que 36% des clients qui achètent des paniers choisissent des paniers de 5 kg.
a) Calculer
)
.
b) En déduire la probabilité de C sachant que E est réalisé.
5 points exercice 2 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité
La courbe

ci-dessous représente une fonction

définie et dérivable sur l'intervalle I = ]0 ; +

[. On note

la fonction dérivée de

sur l'intervalle I.
Les axes
)
et
)
sont asymptotes à

.
La courbe

passe par les points A(1 ; -1) et
)
et admet une tangente parallèle à
)
au point A.
1. En utilisant les données ci-dessus, déterminer sans justification :
a) )
et
)
.
b)  \text{ et } \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \: f(x))
.
c) Les solutions de l'inéquation
 \geq 0)
et les solutions de l'inéquation
 \geq 0)
.
2. On admet que, pour tout réel

de l'intervalle I,
 = \dfrac{a + b \ln x}{x})
où a et b sont deux nombres réels.
a) Exprimer
)
en fonction des réels a et b.
b) Utiliser les résultats de la question
1. a) pour montrer que a = -1 et b = -1.
c) Retrouver les résultats de la question
1. c) par le calcul.
5 points exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
Dans un pays, un organisme étudie l'évolution de la population. Compte tenu des naissances et des décès, on a constaté que la population a un taux d'accroissement naturel et annuel de 14 pour mille.
De plus, chaque année, 12 000 personnes arrivent dans ce pays et 5 000 personnes le quittent. En 2005, la population de ce pays était de 75 millions d'habitants. On suppose que l'évolution ultérieure obéit au modèle décrit ci-dessus.
On note P
n la population de l'année 2005 + n exprimée en milliers d'habitants.
1. Déterminer P
0, P
1 et P
2. La suite de terme général P
n est-elle arithmétique ? géométrique ? Justifier la réponse.
2. Expliquer pourquoi on obtient, pour tout entier naturel n, P
n+1 = 1,014P
n + 7.
3. Démontrer que la suite (U
n) définie par U
n = P
n + 500 pour tout entier naturel n est une suite géométrique. Déterminer sa raison et son premier terme.
4. Exprimer U
n puis P
n en fonction de n.
5. a) Combien d'habitants peut-on prévoir en 2010 ?
b) Au bout de combien d'années la population aura-t-elle doublé par rapport à l'année 2005 ?
5 points exercice 3 - Commun à tous les candidats
Le tableau ci-dessous donne une estimation du montant des achats en ligne des ménages français, en millions d'euros, de 1998 à 2004.
| Année |
1998 |
1999 |
2000 |
2001 |
2002 |
2003 |
2004 |
Rang de l'année :  |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
| Montant en millions d'euros : yi |
75 |
260 |
820 |
1650 |
2300 |
4000 |
5300 |
1. Calculer l'augmentation relative entre 2001 et 2002 du montant de ces achats.
2. Représenter le nuage de points associé à la série statistique
)
dans le plan rapporté à un repère orthogonal (unités graphiques : 2 cm pour une année sur l'axe des abscisses, 2 cm pour 1 000 millions d'euros sur l'axe des ordonnées).
3. Dans cette question, les calculs, effectués à la machine, ne seront pas justifiés et seront arrondis à l'unité.
Donner une équation de la droite d'ajustement affine D de y en

, obtenue par la méthode des moindres carrés.
Représenter cette droite dans le repère précédent.
4. On propose un deuxième ajustement de cette série statistique par la fonction

définie, pour tout réel positif

, par :
 = 130x^2 + 100x + 68)
.
Compléter le tableau de valeurs suivant :
 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
) |
|
|
|
|
|
|
|
Construire la courbe représentative de la fonction

dans le repère précédent.
5 Le montant des achats en ligne en 2005 a été de 7 700 millions d'euros. Lequel de ces deux ajustements vous paraît le plus conforme à la réalité ? Justifier votre réponse.
6 points exercice 4 - Commun à tous les candidats
Soit la fonction

définie sur

par
 = xe^x - 1)
.
Le tableau suivant est le tableau de variations de la fonction g.
1. On admet que l'équation
 = 0)
admet une unique solution a strictement positive. En déduire le signe de
)
suivant les valeurs de

.
2. On note

la fonction définie sur ]0 ; +

[ par :
 = e^x - \ln x)
.
a) Etudier la limite de

en 0. Donner une interprétation graphique du résultat.
b) Vérifier que, pour tout réel

,
 = \dfrac{g(x)}{x})
où

est la fonction dérivée de

.
c) Etudier les variations de

puis établir son tableau de variations en admettant que la limite de

en +

est +

.
3. Soit

la courbe représentative de

dans le plan muni d'un repère orthogonal.
Tracer la courbe

, en prenant 0,57 comme valeur approchée de a.
(Prendre 4 cm pour unité sur l'axe des abscisses et 2 cm sur l'axe des ordonnées.)
4. On note

l'ensemble des points
)
du plan muni du repère ci-dessus tels que
)
.
a) Hachurer le domaine

.
b) Vérifier que la fonction H définie sur ]0 ; +

[ par
 = x\ln x - x)
est une primitive de la fonction h définie sur ]0 ; +

[ par
 = \ln x)
.
c) En déduire une primitive F de

sur ]0 ; +

[.
d) Calculer l'aire du domaine

, en unités d'aire, puis en donner une valeur en cm², arrondie au dixième.