Bonjour, en utilisant la fonction ln

je suis désolé je ne vois pas comment peut intervenir ln dedans...

j'ai pensé à ln (1+x) < x => ln (1+x)^n < nx
ca ressemble de tres loin mais ca m'amene pas à ce que je veux.

jvois vraiment pas

sinon en faisant une etude de fonction ca donne rien du tout.

à l'aide

Bonjour etudies la fonction (1+x)^n - 1-nx.

Sa derivee s'annule en un point que tu trouves en passant au log comme te l'as conseille Alex715.
Ensuite tu en deduis l'inegalite.

bonjour,

une methode deux bis:
une autre idée est la convexite de la fonction f:t->(1+t)^n pour t >-1
f''(t)=n(n-1)(1+t)^(n-2)>0 pour t>O et n>1 donc la fonction f est convexe sur R+

c est la dire que la courbe representative de la fonction f est au dessus de toute ses tengentes donc en particulier au dessus de la tengente en O d'equation y=f'(0)x+f(0)
                                                     y=nx+1

donc finalement f(t)>nx+1 qui est bien l'inequation recherchee

Bonjour une methode deux tierce:

posons P(X)=X^n-n(X-1)-1,n>=2.

On a P(X)=(X-1)(X^n-1+X^n-2+.....+1-n).On voit donc que P(X)>0 pour X dans [0,1[ et dans ]1,+infini[ et P(1)=0.

Donc pour X>=0 on a P(X)>=0 c'est a dire X^n>=1+n(X-1).

Donc comme pour a>=-1 on a 1+a>=0 on en deduit (1+a)^n>=1+n(1+a-1)=1+na.

ahahahaha je suis trop bete!!!
letude de fonction marche bien en effet (meme si je ne vois toujours pas où intervient la fonction Ln )

cqfd67 merci pour cette astuce, cest vrai que je n'ai pas précisé mais je cherchais surtout une methode niveau terminale^^

bon bah puisqu'on est à toutes les methodes possibles, ya pas une histoire des inegalités des accroissements finis pour resoudre ce truc?

bonsoir,

par le développement de

donc pour x > 0

K.

bonsoir Cauchy

methode deux prime prime prime:

on va utiliser le theoreme des accroissement finis entre O et x

[min f'(t)]x<f(x)-f(0)
t€[O,x]

f'(t)=n(t+1)^(n-1)
donc [min f'(t)]=f'(O)=n

nx<f(x)-1
donc nx+1<f(x)

bonsoir  disdrometre

il y a un "probleme" avec ta methode puisque x peut etre negatif (l'inegalite de Bernoulli est vraie si x>-1)

si je lisais tes messages jusqu'au bout  disdrometre.... tu as bien preciser le domaine de definition de ta formule donc faut oublier mon post precedent

Et bien ca en fait deja pas mal plus d'idées?

"[min f'(t)]=f'(O)=n" ??

f'(0)=n > f'(-1)=0 comment trouver le min justement?

j ai choisi d appliquer le theoreme des accroissements finis sur [0,x] donc on prends bien le minimum de f' sur [0,x]

donc ma formule ne marche que si x est positif

ah cest exact autant pour moi.

si disdrometre etait là il te repondrait la meme chose à la remarque que tu lui as faite lol

Bon une autre demo trouvee sous la douche :

pour

donc en intégrant sur on obtient:  



car on a intégré une fonction positive.

D'ou

Moralité : lavez-vous !

Salut Rouliane une autre demo?

Salut Cauchy !

Non, désolé, je ne connaissais déjà "que" 3 des démos proposées ici ( Récurrence, développement et convexité), alors c'est pas moi qui vais en pondre une nouvelle

Sympatique la tienne d'ailleurs, je prend note, ainsi que celle de cqfd utilisant les acroissements finis

au fait alex715, quelle etait ta demonstration avec la fonction Ln ??

merci