Inscription / Connexion Nouveau Sujet
A propos de fonctions implicites.
On munit l'espace vectoriel du produit scalaire euclidien
et on désigne par l'espace vectoriel des endomorphismes linéaires de
muni de la norme d'opérateur associée à la norme euclidienne.
a) Soit la fonction définie par
Calculer pour chaque
et chaque
b) Soient et
On suppose que
et que
est un vecteur de norme 1 de
Montrer qu'il existe un voisinage U de u_0 dans
un voisinage V de
dans
et une fonction
de classe
tels que pour
soit le seul couple de V formé d'un vecteur propre x de norme 1 de u associé à une valeur propre
de u.
Notons et
de sorte que
.
J'ai du mal!
Je suppose que c'est :
sont partiellement différentiable en
(resp.
)
est partiellement différentiable en
(resp.
) ?
Si oui, j'ai du mal a voir qui est qui et quoi est quoi!
est bien une application de
dans
?
Je ne saisi pas la notation .
b) regardons la différentielle précédente, pour l'inverser avec .
Il faut écrire , où l'on a décomposé l'espace selon
.
désigne l'espace engendré par
,
est son orthogonal pour la structure euclidienne.
Si l'on connait et
, on connait déjà
.
On remarque que est inversible de
dans
, où
désigne projection orthogonale sur
. Je m'explique:
Le noyau de est de dimension 1, et
ne rencontre pas le noyau de
.
En effet, l'image de ne rencontre pas le noyau de
d'après la dimension de
. Ce noyau est justement celui de
On en déduit que l'on peut alors calculer en faisant la projection de
sur
.
On peut enfin calculer aisément maintenant que l'on connait
et
Donc la différentielle est inversible, et on peut appliquer le théorème des fonctions implicites.
On considère comme une fonction de
et
seulement, en fixant
. Notons
l'application ainsi obtenue.
est une application qui va de
dans
.
Si cette application a une différentielle au point , alors cette différentielle est par définition
Annuler
connectez vous
analyse en post-bac