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Absolutely Monotonic Functions !

Posté par
KurtGodel 28-10-09 à 14:29

Bonjour la communauté,

J'ai un exercice à faire pendant ces vacances, et je bloque déjà un peu sur les premières questions... donc je fais appel à vous!

Voici le début de l'énoncé :

On note E l'ensembles des fonctions f:[0,1[\longrightarrow\mathbb{R} de classe C^\infty et E^+ l'ensemble des éléments f de E tels que f et ses dérivées soient positives ou nulles sur [0,1[.

1) On considère ici la fonction \begin{array}{l|rcl} \\ f : & [0,1[ & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ \\ & x & \longrightarrow & \arcsin(x) \end{array}

a) Montrer que pour tout entier n\ge1, la dérivée n-ième de f est de la forme: \forall x\in [0,1[, f^{(n)}(x)=\frac{P_n(x)}{(1-x^2)^{n-1/2}}, où P_n(x) est une fonction polynômiale.
Par récurrence, c'est bon.

b) Vérifier que : \forall x\in [0,1[, (1-x^2)f^{''}(x)=xf^'(x), en en déduire une relation de récurrence entre P_n, P_{n+1} et P_{n+2}.
J'ai vérifié la première partie, et je bloque pour "déduire" cette relation.

c) Montrer que f\in E^+.

d) Calculer a_n=f^{(n)}(0) en fonction de n\in\mathbb{N}.

Merci d'avance pour quelques éclaircissements

Posté par
ptitjeanre : Absolutely Monotonic Functions ! 28-10-09 à 14:52

Bonjour,

Continue de dériver quelque fois la relation f"(x)=xf'(x)
f(3)(x)=f'(x)+xf"(x)
Calcules f(4), f(5), et tu devrais voir une relation entre f(n+2),f(n+1) et f(n) apparaître

Ptitjean

Posté par
KurtGodelre : Absolutely Monotonic Functions ! 28-10-09 à 22:27

Bonjour ptitjean,

Je ne vois pas d'où sort la relation f^{''}(x)=xf^'(x), c'est bien la relation (1-x^2)f^{''}(x)=xf^'(x) qu'il faut dériver plusieurs fois?
Si oui, je l'ai fait, et je trouve une relation du genre: (1-x^2)f^{(n+2)}=(2n-1)f^{(n+1)}+(n-1)^2f^{(n)}
Cette relation est-elle juste?
Mais je ne comprend pas, je dois ensuite démontrer cette relation (par récurrence), c'est ça? Ca fait pas un peu long pour un "en déduire"?

Posté par
ptitjeanre : Absolutely Monotonic Functions ! 29-10-09 à 09:30

Bonjour,

J'avais zappé le facteur (1-x²) devant f", désolé.
Je trouve pour la relation
(1-x^2)f^{(n+2)}(x)=(2n+1)xf^{(n+1)}(x)+n^2f^{(n)}(x)

Elle est même vraie pour n=0.
Oui j'imagine que pour être rigoureux, il faut la démontrer par récurrence.
C'est tout de même rapide.

Ptitjean

Posté par
KurtGodelre : Absolutely Monotonic Functions ! 29-10-09 à 11:02

En effet, après re-calculs je trouve la même chose, et la récurrence est faite.
Ensuite, pour la relation entre les Pn, je trouve P_{n+2}(x)=(2n+1)xP_{n+1}(x)+n^2(1-x^2)P_n(x)

Arrive la question c), en gros je dis que arcsin est positive sur l'intervalle considéré, je calcule P_1(x)=1 et P_2(x)=x et donc ils sont positifs, et par la relation de récurrence ci-dessus tous les P_n sont positifs, donc tous les f^{(n)} sont positives, donc f\in E^+, c'est ça?

Et paf je rebloque à la question d).

Posté par
ptitjeanre : Absolutely Monotonic Functions ! 29-10-09 à 14:28

Pour la question c, c'est effectivement cela. Vu que x appartient à [0,1[, que P1 et P2 sont positifs ou nul sur cette intervalle, et la relation de récurrence, il est clair que Pn est positif ou nul quelque soit n.
Donc par la relation de la question a), f(n) est positif ou nul, et f appartient à E+


Question d)
a_n=f^{(n)}(0)=P_n(0) (d'après la relation vu en a))

En calculant Pn(0) avec la formule de récurrence on obtient:
P_n(0)=n^2P_{n-2}(0)
Deux cas suivant que n est paire ou impaire. On remarquera que P1(0)=1 et P2(0)=0

A toi de trouver la suite

Ptitjean

Posté par
KurtGodelre : Absolutely Monotonic Functions ! 29-10-09 à 17:55

Pour les n impairs, P_n(x)=0.
En revanche, pour les n pairs, je suis toujours à la recherche d'une expression, laisse-moi encore un peu de temps pour chercher.

Viens ensuite une autre question:

Soit f\in E. On définit la fonction \begin{array}{l|rcl}\\g:&[0,1[&\longrightarrow&\mathbb{R}\\&x&\longrightarrow&\frac{f(x)-f(0)}{x}si x\neq0\\&0&\longrightarrow f^'(0)\end{array}

a) Démontrer que g est de classe C^1 sur [0,1[.
b) Exprimer pour x\in ]0,1[ et n\in \mathbb{N}, g^{(n)}(x) en fonction de f et de ses dérivées.
c) En déduire que g\in E
d) Montrer que si f\in E^+, alors g\in E^+

Pour la question a), on n'a même pas vu en classe que que veux dire C^1. Je dois démontrer que g est dérivable sur [0,1[, c'est ça? Comment dois-je faire?

Posté par
ptitjeanre : Absolutely Monotonic Functions ! 30-10-09 à 09:08

une fonction de classe Ck sur l'intervalle I est une fonction dérivable k-fois sur I et f(k) est continue sur I.

Donc il faut que tu montre que g est dérivable et que g' est continue.

Au passage tu remarqueras que l'ensemble E défini au départ est l'ensemble des fonctions f de [0,1[ dans de classe C
Les fonctions f sont donc indéfiniment dérivables et toutes les dérivées sont continues.

Pour montrer que g est de classe C1, montre d'abord que g est continue sur [0,1[
Puis du fait que g soit une composé de fonctions de classe C, alors g est dérivable.
Il n'y a plus qu'à montrer que g' est continue.

Ptitjean

Posté par
KurtGodelre : Absolutely Monotonic Functions ! 31-10-09 à 10:51

"Pour montrer que g est de classe C1, montre d'abord que g est continue sur [0,1["
Je ne comprend pas trop pourquoi il faut montrer cela d'abord.

Et comment démontre-je que g est dérivable en 0?

Posté par
ptitjeanre : Absolutely Monotonic Functions ! 31-10-09 à 13:15

Si g est de classe C1, c'est qu'elle est continue et dérivable et que g' est continue.

Donc il faut montrer que g est continue, ce qui est évident.

Pour montrer la continuité de g', calcule la dérivée de g sur ]0,1[ et montre qu'elle est continue sur ce même intervalle. Puis calcule la limite de g' en 0, si celle-ci est finie, tu peux donc prolonger g' par continuité en 0.

Ptitjean

Posté par
KurtGodelre : Absolutely Monotonic Functions ! 02-11-09 à 21:24

Je suis de retour!...mais sans grande inspiration.
Un petit coup de pouce pour la question b) ?

Posté par
ptitjeanre : Absolutely Monotonic Functions ! 03-11-09 à 11:06

Il te suffit de dériver 3 ou 4 fois pour voir arriver la solution.

Tu verrais que g^{(n)}=\frac{-1}{x}(ng^{(n-1)}-f^{n})

Posté par
ptitjeanre : Absolutely Monotonic Functions ! 03-11-09 à 11:11

correction, je voulais pas poster mais faire apercu

g^{(n)}=\frac{1}{x}(f^{(n)}-ng^{(n-1)})

Tu peux aussi trouver que
g^{(n)}=\frac{(-1)^n}{x^{n+1}}.\Bigsum_{k=0}^{n}(-1)^k.\frac{n!}{k!}.x^k.f^{(k)}

Posté par
KurtGodelre : Absolutely Monotonic Functions ! 03-11-09 à 11:30

La question est d'exprimer g^{(n)} en fonction de f et de ses dérivées, donc je pense que c'est la dernière expression qu'il faut prendre non? Mais dans cette expression, ne manque-t-il pas une expression en f(0) ?
Perso de mon côté j'ai trouvé \rm \forall x\in]0,1[, n\in\mathbb{N}, g^{(n)}(x)=\bigsum_{i=0}^n[(-1)^{n-i}\large*\frac{n!}{i!}*\frac{f^{(i)}(x)}{x^{n-i+1}}]-(-1)^n\cdot n!\frac{f(0)}{x^{n+1}}
Selon la calculatrice elle est juste, c'est sûrement la même que la tienne (avec un petit f(0) en plus), mais la tienne me semble plus jolie.
Ensuite il faut la démontrer par récurrence, c'est ça?

Posté par
ptitjeanre : Absolutely Monotonic Functions ! 03-11-09 à 11:37

oups effectivement, j'ai oublié f(0)
Cela me semble bon.

Ptitjean

Posté par
KurtGodelre : Absolutely Monotonic Functions ! 03-11-09 à 11:42

Mais je peine pour la récurrence (rassure-toi j'ai fait l'initialisation).

Posté par
ptitjeanre : Absolutely Monotonic Functions ! 03-11-09 à 14:30

Je réécris un peu ta forumle:

g^{(n)}=(-1)^{n+1}.n!\frac{f(0)}{x^{n+1}}+\Bigsum_{k=0}^{n}(-1)^{n-k}.\frac{n!}{k!}\frac{f^{(k)}}{x^{n-k+1}

Donc en dérivant:
g^{(n+1)}=(-1)^{n+1}.n!\frac{-(n+1)f(0)}{x^{n+2}}+\Bigsum_{k=0}^{n}(-1)^{n-k}.\frac{n!}{k!}[\frac{f^{(k+1)}}{x^{n-k+1}}-\frac{(n-k+1)f^{(k)}}{x^{n-k+2}}]

On sépare les deux sommes et on décale les indices de la première:

g^{(n+1)}=(-1)^{n+2}.(n+1)!\frac{f(0)}{x^{n+2}}+\Bigsum_{k=1}^{n+1}(-1)^{n-k+1}.\frac{n!}{(k-1)!}\frac{f^{(k)}}{x^{n-k+2}}+\Bigsum_{k=0}^{n}(-1)^{n-k+1}.\frac{n!}{k!}\frac{(n-k+1)f^{(k)}}{x^{n-k+2}}

On peut alors mettre de coté le terme de dérivée n+1 dans la première somme et le terme de dérivée 0 dans la seconde somme, puis rassembler les sommes.

g^{(n+1)}=(-1)^{n+2}.(n+1)!\frac{f(0)}{x^{n+2}}+\frac{f^{(n+1)}}{x}+(-1)^{n+1}n!\frac{(n+1)f}{x^{n+2}}+\Bigsum_{k=1}^{n}(-1)^{n-k+1}.\frac{f^{(k)}}{x^{n-k+2}}.(\frac{n!}{(k-1)!}+(n-k+1)\frac{n!}{k!})

Il te reste à mettre le tout dans la somme sur k! et ca devrait se simplifier.
Puis après, recombines avec les deux termes précédents;

Ptitjean

Posté par
KurtGodelre : Absolutely Monotonic Functions ! 03-11-09 à 15:01

YES! Merci infiniment ptitjean, t'es trop bon!

Pour la c), est-ce que cela suffit:
- g est de classe C^1 sur [0,1[
- pour tout n, g^n est dérivable sur ]0,1[
- Ensuite on a un théorème admis : Soit f une fonction continue sur [a,b[ à valeurs dans R, dérivable sur ]a,b[ admettant une limite réelle L à droite en a. Alors f est dérivable à droite en a et f'(a)=L. Grâce à ce théorème, on peut dire que pour tout n, g^(n) est dérivable à droite en 0.
Donc g appartient à E.
C'est bon?

Au fait, on a démontré (enfin je ne l'ai pas encore faite) la règle de l'Hospital à la question d'avant, je ne sais pas si ça sert (et si oui, comment?)

Posté par
KurtGodelre : Absolutely Monotonic Functions ! 03-11-09 à 15:07

Au lieu de polluer le forum en créant un nouveau topic, je vais poster cette question ici.

Je dois démontrer la règle de l"Hospital (ici: , c'est la première généralisation qui se trouve sur wiki que je dois démontrer).
Mais règle du jeu: ne pas utiliser la formule des accroissements finis (ni Rolle par ailleurs).
Tout ce j'ai en main, c'est ce théorème admis:
Soit f une fonction continue sur [a,b[ à valeurs dans R, dérivable sur ]a,b[ admettant une limite réelle L à droite en a. Alors f est dérivable à droite en a et f'(a)=L.

Mais bon cette question n'est pas pressée, on peut très bien faire l'exo en admettant cette question.
Je voudrais plutôt faire les question c) et d).

Posté par
KurtGodelre : Absolutely Monotonic Functions ! 03-11-09 à 18:41

Oups j'ai fait une erreur dans l'énoncé du théorème admis:
Soit f une fonction continue sur [a,b[ à valeurs dans R, dérivable sur ]a,b[, f' admettant une limite réelle L à droite en a. Alors f est dérivable à droite en a et f'(a)=L

Mais je n'arrive pas à démontrer que g^n est continue (en gros que lim_{x\to0^+}g^{(n)} est réel)

Posté par
ptitjeanre : Absolutely Monotonic Functions ! 04-11-09 à 12:58

Salut,

Oui comme tu dis, tout le problème est là.
On peut facilement montrer que g est de classe C1, mais pour C, il faut montrer que toutes les dérivées admettent une limite en 0+.
Je vais y réfléchir un peu, si je trouve une solution je reviens vers toi...


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