Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Master GéométrieTopics traitant de géométrie [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Master
Partager :

Action dans les espaces affines

Posté par
mellepapillon 10-10-08 à 18:06

Bonjour,

Je suis entrain d'étudier l'action naturelle de GAn(K) sur Gr(n,m)={sous-espaces affines de dimension m sur K^n} telle que f.W = f(W).
J'ai calculé l'orbite pour un élément de Gr(n,m) et j'ai trouvé
Orb(V) = Gr(n,m) puisque tous les espaces affines de même dimension sont isomorphes.

Ensuite j'étudie le stabilisateur ( c'est là que les doutes arrivent).
Je note F le sous-espace vectoriel de dimension m qui dirige V. Pour tout f élément de Stab(V), f a une partie linéaire que  notée g telle g(F)=F

J'ai montré qu'on avait m! choix pour g (afin qu'elle stabilise une base de F). Mais je me demande si on a card(Stab(V)))=m! ( comme les applications affines sont caractérisés par AX+B ( où B appartient à K^n et A est un matrice carré n x n inversible ) et je me demande si on a le choix pour B ( je pense que non mais j'ai quand même un doute)...

D'autre part on a un morphisme de groupe entre GAn(K) et Gln(K), surjectif et de noyau les translation de GAn(K). Donc avec le théorème du rang on a    dim GAn(K) = dim GLn(K) + dim{translations affines}
je pense que l'ensemble des translations affines est de dimension K^n est ce ça ?

Merci d'avance pour votre aide et passez un excellent week end !

Melle Papillon

Posté par
kaiser Moderateurre : Action dans les espaces affines 10-10-08 à 20:46

Salut Marie, ça va ?

Pour la stabilisateur, fais attention : ce n'est pas un ensemble fini (à moins peut-être que K soit un corps fini). Il y a beaucoup plus de choix : g(F)=F ne signifie pas qu'elle stabilise une base (elle peut par exemple, transformée un vecteur en deux fois ce vecteur ou bien 2 fois un autre vecteur de la base). Un élément du stabilisateur est entièrement déterminé par la donnée de l'image d'un point fixé à l'avance et d'un automorphisme de l'espace vectoriel F donc il semblerait qu'il y en ait beaucoup plus que m!.



Citation :
D'autre part on a un morphisme de groupe entre GAn(K) et Gln(K), surjectif et de noyau les translation de GAn(K). Donc avec le théorème du rang on a dim GAn(K) = dim GLn(K) + dim{translations affines}
je pense que l'ensemble des translations affines est de dimension K^n est ce ça ?


Attention tout de même : il n'y pas de théorème du rang pour les morphismes de groupe, seulement un théorème de factorisation mais qui ne va rien nous dire. Quand tu parles de la dimension de l'ensemble des translations, tu considères quelle structure sur cet ensemble (car c'est groupe pour la composition mais ça ne semble pas être un espace vectoriel et pas un espace affine non plus).

Kaiser

Posté par
mellepapillonre : Action dans les espaces affines 11-10-08 à 18:12

Bonjour Kaiser,

Merci pour ta réponse. Je suis désolée de répondre si tard j'étais partie dans tout autre chose...
J'ai effectivement oublié de dire quelque chose d'important, de très important: K est un corps fini de cardinal q.
Ceci me pose quelques problèmes et je me rends compte que j'ai mal raisonné , même que je pensais faux.

Travaillons pour commencer dans les espaces vectoriels et considérons l'action de Gln(K) sur Gr(n,m)={sous-espaces vectoriels de dimension m de K^n}
telle que f.W=f(W)

J'ai trouvé que l'orbite d'un élément V de Gr(n,m) est Gr(n,m) ( tous les espaces vectoriels de même dimension sont isomorphes)
puis pour le stabilisateur de V, je pense que c'est à ce niveau que je raisonne mal.
Qu'est ce que signifie que f(V)=V ? moi je pensais qu'une base de V était conservée...où alors V est le noyau de f-Id...
ici GLn(K) est un ensemble fini donc le stabilisateur (qui est inclus dedans) est fini.
Pour déterminer le cardinal du stabilisateur je pensais me placer dans une base de V (b1,...bm)
pour l'image de b1 j'ai m possibilités pour le vecteur et q pour le scalaire multiplicateur
pour b2, m-1 x q
d'où le cardinal du stabilisateur: m!.q^m ...est ce que c'est ça ?


Autre petite question, GAn(K) est-il fini si K est fini?

Merci d'avance!

Posté par
kaiser Moderateurre : Action dans les espaces affines 11-10-08 à 18:33

Salut Marie

Citation :
Je suis désolée de répondre si tard j'étais partie dans tout autre chose...


C'est pas grave !

Citation :
J'ai trouvé que l'orbite d'un élément V de Gr(n,m) est Gr(n,m) ( tous les espaces vectoriels de même dimension sont isomorphes)


Je suis d'accord avec toi !

Citation :
Qu'est ce que signifie que f(V)=V ?


Rappelons la définition de f(V) :

\Large{f(V)=\{f(x),\; x\in V\}}

donc f(V)=V ça veut dire que pour tout x de V, f(x) est un élément de V et que tout élément de V s'écrit sous a forme f(x). Bref, f est une application linéaire bijective qui envoie V dans V donc la stabilisateur est simplement l'ensemble des automorphismes de V (c'est-à-dire GL(V)).

Citation :
où alors V est le noyau de f-Id...


ça voudrait dire que la restriction de f à V est l'identité. Pourtant il y a bien plus d'éléments. Par exemple, il y a toutes les homothéties de rapport non nul et j'en passe (attention, on n'a pas le droit de "faire passer V de l'autre côté" de l'égalité).

Citation :
Pour déterminer le cardinal du stabilisateur je pensais me placer dans une base de V (b1,...bm)
pour l'image de b1 j'ai m possibilités pour le vecteur et q pour le scalaire multiplicateur
pour b2, m-1 x q
d'où le cardinal du stabilisateur: m!.q^m ...est ce que c'est ça ?


non, c'est plus compliqué que ça. Par exemple, dans ton raisonnement, tu ne prends pas en compte le cas où on pourrait avoir \Large{f(b_1)=b_1+b_2} et pour tout i supérieur ou égal 2, \Large{f(b_i)=b_i}.


Citation :
Autre petite question, GAn(K) est-il fini si K est fini?


En raisonnant matriciellement, un tel élément est entièrement déterminé par la donnée d'un vecteur B et d'une matrice carrée inversible A. Pour B, il y à \Large{q^n} possibilités (car B vit dans \Large{K^n}) et pour A, il y un nombre fini de possibilités. Donc, lorsque K est fini, le groupe affine est un ensemble fini.

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Action dans les espaces affines 11-10-08 à 18:47

Citation :
Bref, f est une application linéaire bijective qui envoie V dans V donc la stabilisateur est simplement l'ensemble des automorphismes de V (c'est-à-dire GL(V)).


Je vais reformuler. Pour être plus exact, c'est l'ensemble des éléments de \Large{Gl(K^n)} donc la restriction à V est un élément de Gl(V).

Kaiser

Posté par
mellepapillonre : Action dans les espaces affines 11-10-08 à 19:26

Merci Kaiser pour tous ces éléments de réponses!
Comme je suis du genre persévérante, essayons de déterminer le stabilisateur de V,il suffit de regarder l'image d'une base de V que je note (b1,b2,...,bm)
pour chaque f(bi) on a q^m possibilités (ie f(bi) =a1 b1 + a2 b2 + ... + an bn et pour chaque ai q possibilités)
ce qui donne q^m.q^m = q^(m²) possibilités pour construire un tel f, est ça ?

je crois que j'ai pas oublié de cas même si j'ai l'impression de marche sur des œufs.

Je suis donc avec toi quand tu dis que la restriction de f à V n'est pas l'identité, c'est si logique, je suis stupide de ne pas y avoir pensé!
C'est tout bon pour GAn(K) (on verra tout à l'heure si j'ai compris quand on passera à l'affine :- )


Melle Papillon

Posté par
kaiser Moderateurre : Action dans les espaces affines 11-10-08 à 19:41

Citation :
pour chaque f(bi) on a q^m possibilités (ie f(bi) =a1 b1 + a2 b2 + ... + an bn et pour chaque ai q possibilités)


là, tu es en train de prendre en compte toutes les applications linéaires qui stabilisent V. L'application linéaire ainsi définie n'est pas forcément bijective.

Citation :
q^m.q^m = q^(m²)


c'est plutôt \Large{q^m.q^m=q^{2m}} mais dans les 2 cas, ce n'est pas ça.

Citation :
je suis stupide de ne pas y avoir pensé!


mais non, ne dis pas ça !


Je vais te poser des questions au fur et à mesure pour arriver au résultat ultime.

Dans toute la suite, on va considérer une base fixée de V donc avec tes notations on prend \Large{(b_1,b_2,...b_m)} comme base. On la complète ensuite en une base de \Large{K^n} à l'aide de n-m vecteurs \Large{(b_{m+1},b_{m+2},...b_n)}.
On note alors \Large{B=(b_1,b_2,...b_n)}.
On va raisonner matriciellement car se donner une application linéaire, ça revient à se donner sa matrice dans une certaine base.

Soit f un élément du stabilisateur de V. Pourrais-tu me décrire la tête de la matrice de f dans la base B ?

Kaiser

Posté par
mellepapillonre : Action dans les espaces affines 11-10-08 à 22:46

C'est marrant parce que il y a environ une heure je me suis dit que j'étais trop bête car ma matrice créée n'était pas forcément inversible et maintenant je lis ton message et tu me dis la même chose!

Et bien la tête de la matrice il y a des zéros à partir de la ligne m+1 sur les colonnes 1 à m ( je traduis que f(V)=V)
après le reste peut être tout est n'importe quoi...
Si on note A la partie de la matrice réduit aux m premiers lignes et m premières colonnes on doit avoir une matrice inversible
et puis notre matrice doit être inversible...

Posté par
kaiser Moderateurre : Action dans les espaces affines 11-10-08 à 22:59

OK, donc si on raisonne par blocs, cette matrice est de la forme suivante :

\Large{\(\array{A & D\\0&C}\)}

où A est une matrice carrée inversible d'ordre m, C une matrice carrée d'ordre n-m et D une matrice de taille \Large{m\time (n-m)}.

Tu dis que, à part A qui est inversible, les deux autres blocs sont quelconques. En es-tu sûre ?

Kaiser

Posté par
mellepapillonre : Action dans les espaces affines 12-10-08 à 09:30

Bonjour Kaiser ( et oui c'est un nouveau jour!)

Non je n'ai pas tout à fait ça, j'ai dit que la matrice doit être inversible donc C doit être inversible. Puisque le déterminant de notre matrice c'est det(A).det(C) , le principe d'une matrice faite par blocs


Pour A inversible ça veut dire que le rang A doit être égal à m
donc si on a q^m -1 possibilités pour l'image de b1 (il ne faut pas que ce soit le vecteur nul si non elle ne sera pas inversible), on en a q^m - q pour l'image de b2 , puis pour l'image de bi on en a q^m - q^(i-1) ...est ce correct ?

Ensuite pour la condition sur C je dirais on fait la même chose en remplaçant m par n-m

Qu'en penses tu ?


PS: comment on fait une matrice en LaTeX ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Action dans les espaces affines 12-10-08 à 11:40

Bonjour Marie (eh oui, un nouveau jour comme tu dis ! )

Citation :
Non je n'ai pas tout à fait ça, j'ai dit que la matrice doit être inversible donc C doit être inversible.


OK, au temps pour moi. Je n'avais pas saisi.

Citation :
Pour A inversible ça veut dire que le rang A doit être égal à m
donc si on a q^m -1 possibilités pour l'image de b1 (il ne faut pas que ce soit le vecteur nul si non elle ne sera pas inversible), on en a q^m - q pour l'image de b2 , puis pour l'image de bi on en a q^m - q^(i-1) ...est ce correct ?

Ensuite pour la condition sur C je dirais on fait la même chose en remplaçant m par n-m

Qu'en penses tu ?


eh ben, j'en pense que c'est correct !


Maintenant, combien y a-t-il de possibilités pour la matrice D ?


Citation :
PS: comment on fait une matrice en LaTeX ?


on utilise \(\array{}\) (\array permet de mettre en forme la matrice et \( et \) permet de mettre des parenthèses qui s'adaptent à la taille de la matrice. On utilise aussi & pour séparer les différents coefficients qui se trouvent dans une même ligne.

Plus précisément, pour écrire la matrice \Large{\(\array{1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&9}\)}, on tape \(\array{1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&9}\)

le \\ permet quant à lui de passer à la ligne suivante.
Kaiser

Posté par
mellepapillonre : Action dans les espaces affines 12-10-08 à 13:42

Waoouuuuhhh , un peu d'espoir! je suis sur la bonne voie...

Maintenant plus qu'à faire des noeuds avec mes neurones pour D
je dirais qu'il n'y a pas de condition sur D donc il y a q possibilités pour chaque "case" et D est une matrice m x (n-m) donc ça fait
q^{m \times (n-m)} ... qu'en penses tu ?

Maintenant je suis l'élève qui apprend donc tu as l'honneur d'avoir ma première matrice en Tex:

\(\array{M&0&0&0&0\\0&E&0&0&0\\0&0&R&0&0\\0&0&0&C&0\\0&0&0&0&I}\)

Posté par
kaiser Moderateurre : Action dans les espaces affines 12-10-08 à 13:48

Citation :
qu'en penses tu ?


Ton raisonnement est toutafé correct.

Citation :
Maintenant je suis l'élève qui apprend donc tu as l'honneur d'avoir ma première matrice en Tex:

\(\array{M&0&0&0&0\\0&E&0&0&0\\0&0&R&0&0\\0&0&0&C&0\\0&0&0&0&I}\)



Très belle matrice !

Kaiser
P.S : au fait, comment ça se passe cette année ? D'après ton profil, tu as été acceptée en M1 à paris 6.

Posté par
kaiser Moderateurre : Action dans les espaces affines 12-10-08 à 13:53

Désolé, je dois m'absenter, je reviens dans une petite demi-heure.

Kaiser

Posté par
mellepapillonre : Action dans les espaces affines 12-10-08 à 15:04

Tu es libre comme l'air...tu me dois rien, au contraire c'est moi qui doit te remercier!

Oui je suis en M1 à paris 6 , je suis contente du choix de mes options, je fais algèbre géométrique ( on fait de la géométrie projective, c'est fascinant!) et puis je fais probabilités de base...et je vais aux cours d'analyse réelle en touriste pour ne pas prendre de retard en analyse.
C'est bizarre la vie à Paris, la fac c'est une vraie usine mais les gens sont globalement sympas ( modulo près).

J'ai vu que tu as mis que tu étais aussi à paris6 mais peut être que ce n'est pas à jour... si non faudra qu'on se croise un jour

pour f on a : (q^m-1)(q^m-q)...(q^m-q^{m-1})q^{m \times (n-m)}(q^{m-n}-1)(q^{m-n}-q)....((q^{m-n}-q^{m-n-1}) possibilités et c'est le cardinal du stabilisateur. (plus qu'à faire de l'ordre là dedans)
J'ai pijé!

Maintenant passons au cas affine!

On étudie l'action naturelle de GAn(K) sur Gr(n,m)={sous-espaces affines de dimension m sur K^n} telle que f.W = f(W).
Pour V élement de Gr(n,m) on a:
Orb(V) = Gr(n,m) puisque tous les espaces affines de même dimension sont isomorphes.

Ensuite j'étudie le stabilisateur (c'est là qu'on va voir si je sais bien compté!)
Si on passe à la représentation matricielle, on note (b1, ....,bn) une base de K^n et (b1,...,bm) est une base de F sous -espace vectoreil qui dirige V.
on doit avoir f(F)=F (pour f partie linéaire de notre élément du stabilisateur) mais combien de possibilité pour B ( car on a AX + B avec A la matrice de f)? il faut que B soit un élément de V , je dirais que c'est la seule condition non ? donc q^m possibilités. Qu'en penses tu ? j'ai encore peur d'oublier des cas...

Posté par
kaiser Moderateurre : Action dans les espaces affines 12-10-08 à 15:28

Citation :
Oui je suis en M1 à paris 6 , je suis contente du choix de mes options, je fais algèbre géométrique ( on fait de la géométrie projective, c'est fascinant!) et puis je fais probabilités de base...et je vais aux cours d'analyse réelle en touriste pour ne pas prendre de retard en analyse.


OK, je vois.

Pour la géométrie projective, c'est bien que tu aimes ça. C'est d'autant plus étonnant que d'habitude, j'ai l'impression que c'est quelque chose de pas très apprécié (pour ma part, je dois t'avouer que je ne suis pas très fan de géométrie projective ! mais bon, comme on dit, c'est "chacun ses goûts" ! ).

Citation :
J'ai vu que tu as mis que tu étais aussi à paris6 mais peut être que ce n'est pas à jour...


Non, je confirme : c'est bien à jour.

En fait, je suis à Paris 6 sans y être !! (très bizarre comme phrase, n'est-ce pas ? )

Traduction : je suis inscrit à un M2 de paris 6 mais les cours ne se passent pas à la fac mais à Chevaleret, dans le 13ème arrondissement (les 2 endroits ne sont pas très éloignés : pour aller de l'un à l'autre, il y a 2 métros à prendre).

Citation :
si non faudra qu'on se croise un jour


Avec grand plaisir.


Bref, revenons à nos moutons.


Pour le cas vectoriel, tout est bon.

Pour le cas affine, c'est également bon et donc, reste à préciser le cardinal du stabilisateur mais bon, c'est pratiquement fait.

Kaiser

Posté par
mellepapillonre : Action dans les espaces affines 12-10-08 à 16:17

Oui je connais bien Chevaleret parce que j'habite dans le treizième! et oui le monde est petit , c'est à deux arrêt de 27 de chez moi ! Je suis près de la rue de Tolbiac et la rue de Patay...

Oui j'aime la géométrie projective, mais même la géométrie en général, je trouve ça beau...c'est assez fascinant les théorèmes qu'on arrive à démontrer. Je trouve que c'est fin comme truc...et j'ai horreur de l'analyse. L'Algèbre ça me va bien aussi

Je crois que ce petit exercice m'a permis de comprendre pleins de trucs...
pour le cardinal du stabilisateur je dirais que c'est la grosse forumule du cas linéaire multipliée par q^m ( j'espère qu'il n'y avait pas de piège)

et le cardinal de GAn(K) je dirais que c'est le cardinal de GLn(K) multiplié par q^n...

Peut être qu'un jour j'y arriverai ....

Posté par
kaiser Moderateurre : Action dans les espaces affines 12-10-08 à 16:24

Ah oui, quand même, le monde est petit, voire minuscule !

Citation :
Oui j'aime la géométrie projective, mais même la géométrie en général, je trouve ça beau...c'est assez fascinant les théorèmes qu'on arrive à démontrer. Je trouve que c'est fin comme truc...et j'ai horreur de l'analyse. L'Algèbre ça me va bien aussi


OK !

Citation :
pour le cardinal du stabilisateur je dirais que c'est la grosse forumule du cas linéaire multipliée par q^m ( j'espère qu'il n'y avait pas de piège)


Non, je te rassure, il n'y a aucun piège et donc c'est bien ça.

Citation :
et le cardinal de GAn(K) je dirais que c'est le cardinal de GLn(K) multiplié par q^n...


C'est tout à fait ça.

Kaiser

Posté par
mellepapillonre : Action dans les espaces affines 12-10-08 à 19:02

Merci beaucoup pour tout! A très bientôt!

Posté par
kaiser Moderateurre : Action dans les espaces affines 12-10-08 à 19:23

Mais je t'en prie !
A très bientôt !


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !