pour la 2, je dirai = 1/3  à confirmer mais c'est la 1 avec laquelle je n ai aucune idée !

Pour avoir une affinité, il te faut deux directions : sur l'une des deux, la fonction ne change rien, sur l'autre, elle multiplie les objets par un rapport k.
Ici, l'axe dirigé par (1,-1) est associé à la valeur propre 1. Donc f(a,-a)=(a,-a) et tu as ton axe invariant.
L'axe dirigé par (1,1) est associé à la valeur propre -1 donc f(b,b)=-(b,b) et tu as ton deuxieme axe avec k=-1.
Il s'agit donc de l'affinité par rapport à la droite vectorielle dirigée par (1,-1) parallèlement à la droite vectorielle dirigée par (1,1) et de rapport -1 (ce qui est une facon tres compliqué de décrire ce qui est finalement une symétrie vectorielle)

Merci de ta réponse. est ce juste si on dit que F4 est une affinité de rapport -1 d'axe (la droite dirigée par (1,-1)) et de direction la droite dirigé (1,1). En fait quand on a une valeur propre égale à 1, on a l'axe de l'affinité ? Comment montrerais-tu que c'est une symétrie vectorielle plus simplement ? On utilisant le fait que F^2= identité ?
Merci de ta réponse !  

C'est juste oui. Mais pour F, pas F4.
Et une valeur propre egale a 1 te donne les invariants : f(u)=1.u=u, donc l'axe.
F²=Id te prouverait que c'est une symétrie, mais ne te donnerait pas les axes.

ah oui pardon ! Merci bien

petite question si on a une rotation, on aura comme unique valeur propre la valeur 1 n'est ce pas ?

Dans le plan, une rotation n'a pas de point fixe, donc 1 ne peut pas etre une valeur propre. D'ailleurs il n'y a aucune valeur propre reelle.

alors comment reconnait-on une rotation ??? Merci de ta réponse

Dans le plan c'est simple, elles sont orthogonales (A ^tA = I) et sans valeur propre reelle.

merci bien