Salut,
J'ai cet exercice. (3 + 2√2)^5 < A et A est un nombre naturel. Quelle est la valeur minimale de A ?
Je l'ai mis dans un solveur d'équation et ça me donne
3363 + 2378√2 = 3363 + √11309768
mais je ne comprends pas bien.
En utilisant une calculatrice, j'obtiens 6725.9998... donc la valeur minimale de A serait 6726,
mais la calculatrice n'est pas autorisée et j'ai besoin de comprendre ce que j'ai obtenu dans le solveur.
Merci de votre aide.
Sans calculatrice, retrouver ce 6726, ce n'est pas simple du tout. Moi, je vais m'en sortir, mais je suis un peu fou.
Si c'était (3 + 2√2)3 < A, tu saurais faire ?
Et peux tu donner l'énoncé précis de l'exercice, il y a peut-être un truc qui permet d'éviter tous ces calculs.
Salut, ca va,
voici l'exercice complet:
Si A est un entier naturel et que vous avez que
(3 + 2√2)^5 est inférieur à A, (<) quelle serait la valeur minimale que peut avoir A ?.
Merci.
Ok,
Je ne suis pas beaucoup plus avancé, j'espérais un vague indice sur l'idée générale de l'exercice.
Peut-être que la réponse attendue est 6726 (je considère que ton calcul est correct),
mais peut-être que la réponse attendue est simplement E((3+ 2√2)^5)+1
Où E désigne la fonction partie entière.
Et là, il faudrait justifier le +1.
Je n'y crois pas beaucoup, mais peut-être.
Bonjour,
Je confirme que 6726 est exact.
Mais sans calculatrice, c'est galère...
(3-22)(3+22) = 1 pourrait-il être utile ?
(3+22)2 = 9+8+122=17+12?2
(3+22)4 = (17+122)2=289+288+4082=577+4082
(3+22)5 =(577+4082)(3+22)=1731+12242+11542+1632 =3363+23782
Et là, il faut remplacer 2 par la valeur approchée qu'on connaît à peu près tous 1.414 . Mais c'est une valeur approchée, la vraie valeur de 2 est proche de 1.414, mais pas strictement égale à 1.414.
Une fois qu'on multiplie par 2378, la petite différence entre les 2 nombres peut donner une différence plus grande que 1.
2378*1.414, ça peut se faire sans calculatrice, même si c'est long, et on trouve 3362.492
Si on a une calculatrice, on voit que 2378 *2 =3362.9998...
Donc la partie entière donne la même chose, mais c'est un coup de chance.
Sans calculatrice, en fait, on a besoin de connaître une valeur plus précise de 2.
Ou alors, peut-être qu'en utilisant le résultat donné par Sylvieg, on peut trouver d'autres calculs intermédiaires ?
Dans tous les cas, sans calculatrice, cette question est très compliquée. Aucun lycéen ne sait répondre sans calculatrice.
Sauf si """l'arnaque""" que je proposais est acceptée.
malou edit > ** j'ai mis les exposants qui manquaient **
Bravo d'avoir eu le courage de faire le calcul !
Une remarque :
(3+22)5 = 3363+23782
et 33632 = 6726.
Étrange, non ?
OK :
(3+22)5 = 3363 + 23782
et
(3-22)5 = 3363 - 23782
D'où
(3+22)5 + (3-22)5= 6726.
Ce qui donne
(3+22)5 = 6726 - 1/(3+22)5
Bravo ! Une coïncidence comme celle-ci, ça menait forcément quelque part.
Maintenant, si c'était la justification attendue par le concepteur de l'exercice, alors tournée générale de champomy !
De rien. Exercice intéressant
Complément qui utilise la formule du binôme :
(3+x)5 = 35 + 534x + 1033x2 + 1032x3 + 53x4 + x5
(3-x)5 = 35 - 534x + 1033x2 - 1032x3 + 53x4 - x5
D'où : (3+x)5 + (3-x)5 = 2(35 + 1033x2 + 53x4)
En remplaçant x par 22, on obtient :
(3+22)5 + (3-22)5 = 2(35 + 10338 + 5364) = 23363.
Vous devez être membre accéder à ce service...
Pas encore inscrit ?
1 compte par personne, multi-compte interdit !
Ou identifiez-vous :