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Algorithme - Fonction exponentielle et suite
Bonjour, j'ai un devoir maison à rendre pour le 28/01/15 et certaines questions de cet exercice me posent problème:
1) Soit la fonction définie sur [0 ; 1] par f(x)= ex/(ex+1)
a. Établir le tableau de variation de f.
b. En déduire que: 
x 
à [0 ; 1], f(x) [0 ; 1].
c. Établir le tableau de variation de la fonction g définie sur [0 ; 1] par g(x)=f(x)-x
d. En déduire que l'équation f(x)=x admet une solution unique, qu'on note 
.
e.Dans un repère orthonormé d'unité graphique 10 cm, construire la courbe représentative de f, ainsi que la droite d'équation y=x. Lire une valeur approchée de à 10-1 près.
f. A l'aide de la calculatrice, déterminer une valeur approchée de à 10-7 près.
2) Soit (un) la suite définie par u0=0 et, pour tout entier naturel n par un+1= f(un).
a. Dans le même repère, représenter, sur les deux axes les quatre premiers termes de la suite (un).
b. Conjecturer l'existence d'un minorant et d'un majorant de la suite (un), puis démontrer que (un) est bornée.
c. Conjecturer le sens de variation de la suite (un), puis le démontrer.
d. Conjecturer la limite de la suite (un).
e. Compléter l'algorithme suivant pour obtenir le plus petit entier naturel n tel que un soit une valeur approchée de à 10-6 près. Et déterminer l'entier n recherché. (désolé pour le logarithme que j'ai dut tapé, je n'ai pas réussi à mettre une photo)
u[0]=... ;
n=0 ;
Saisir (p) ;
Tantque ( I u[n]-... I >p ) faire
n=n+1 ;
u[n]=... ;
FinTantque
Afficher (n et u[n]) ;
Donc voilà l'énoncé.
J'ai essayé de répondre au 1) a. et b. , pour la c. je bloque car ayant trouvé g'(x) = ex/(ex+1)² -1, je n'arrive pas à trouver le signe (à la calculatrice j'ai trouvé que c'était négatif mais comment le justifier ?). Pour la d. je pense réutiliser les questions b. et c. pour applique le TVI.
A partir de là... c'est le drame ! mdrr
Pour les questions de graphe, en revanche, je peux me débrouiller.
Merci d'avance à la ou aux personne(s) qui voudront bien donner de leur temps pour m'aider.
Bonjour
pourquoi ces griefs ? elle donne la dérivée de la fonction qui est définie par
.
elle est bien exacte
Bonjour hekla,
Il me semble que sa dérivée est fausse 
Car pour f' je trouve l'expression que j'ai donné. Et par suite g'(x) = f'(x) - 1
Bonjour geronimo652
il me semble que si l'on simplifie
on trouve bien
et par suite et c'est bien ce qu'elle a écrit
Vous avez tous les deux raison. la dérivée de f est bien celle que geronimo 652 a mise (et elle se simplifie en ex/(ex+1)²
et hekla aussi a raison, oceane88 a donné g'(x) = ex/(ex+1)² -1 et c'est juste.
vous devriez l'aider à trouver le signe de g'(x).
pour le signe de on réduit au même dénominateur
on développe
comme tous les termes du numérateur sont négatifs et le dénominateur est positif il est aisé de conclure
pour moi ... Le signe - était un signe + dans ma tête ^^
Merci pour vos réponses et désolée pour l'absence...
Effectivement il y a eu une petite confusion que glapion a su résoudre.
J'ai aussi mis g'(x)sous la forme \dfrac{\text{e}^x}{ (\text{e}^x+1)^2}-1=\dfrac{\text{e}^x-(\text{e}^x+1)^2}{ (\text{e}^x+1)^2} et je n'arrive pas à trouver le signe à partir d'ici.
Merci pour vos réponses et désolée pour l'absence...
Effectivement il y a eu une petite confusion que glapion a su résoudre.
J'ai aussi mis g'(x)sous la même forme que hekla et je n'arrive pas à trouver le signe à partir d'ici.
le signe de f '(x)=ex/(ex+1)² ?
tu plaisantes ? une exponentielle est toujours positive. On voit vraiment pas ce qui pourrait être négatif dans cette expression !
ha non c'est le signe de que tu veux ?
le dénominateur est positif, hekla t'a suggéré de développer le numérateur et remarquer que tous les termes étaient négatifs.
oui, si g(x) est monotone décroissante et que g(0) >0 et g(1) < 0 alors c'est que g(x) s'annule une et une seule fois entre 0 et 1
Bonjour,
d) Cela à démontrer aussi que g(x)=0 admet une solution unique, qu'on note , sur [0;1].
Pour cela, oui passer par le TVI.
pourquoi vous cherchez lorsque g(x) s'annule alors qu'on demande quand g(x)=x ? cela ne veut pas dire qu'il faut trouer quand l'image est égal à l'antécédant ??
Attention, l'énoncé te dit "l'équation f(x)=x admet une solution unique" !! Et non pas g(x)=x !!
Or f(x) = x <=> f(x)-x = 0 <=> g(x)=0.
Donc cela revient aussi à démontrer que g(x)=0 admet une solution unique, qu'on note , sur [0;1].
En ayant trouvé la variation de g à la question c, tu peux désormais répondre à la question.
Pour la question f, une valeur approchée à 10-7 près de est :
0.6590461.
Par logiciel c'est beaucoup plus rapide que sur la calculatrice. 
Certes fenamat84 mais le jour du bac , ils n'auront pas d'ordinateur en leur possession et avec une telle question , il faut donc qu'ils sachent bien utiliser leur calculatrice pour répondre à ce genre de question qui tombe dans 99% des sujets !
Merci bcp pour votre aide !
Pour la question 2) a. j'ai trouvé comme 4 premiers termes:
u0=0
u1=0.5
u2=0.62 (environ)
u3=0.65 (environ)
Si qqn pourrait vérifer ?
Cependant il faut placer ces 4 premiers terme sur le même repère, or ce repère à pour unité 10 cm (ce qui prend toute la feuille), comment faire vu que je n'ai pas de place ?
Voir mon dessin du 15-01-16 à 11:06. Chaque verticale bleue est un terme de la suite.
tu as la méthode expliquée là si tu veux 
Ah d'accord je viens de comprendre merci pour la fiche méthode 
Du coup je trouve 0 comme minorant et 0.66 comme majorant mais je coince pour le démontrer...
0 comme minorant et 0.66 comme majorant
Ok pour le minorant. Mais il y a mieux comme majorant : ta solution
!!
Pour montrer que la suite (Un) est bornée, càd : pour tout entier naturel n, 0
Un , comme le dit cocolaricotte (que je salue au passage ) une démonstration par récurrence s'impose.Alors j'ai essayé de faire grâce à une vidéo youtube:
Ayant trouvé 0 et 0.66 (que j'ai arrondi à 0.7, je ne sais pas si je peux le faire...) comme bornes:
On note P(n): 0un0.7
Initialisation: P(0): u0=0 or 000.7 donc P(0) est vraie.
Hérédité: Soit un entier naturel n. supposons P(n) vraie, montrons que P(n+1) est vraie:
0un0
f(0)f(un)f(0.7) car f croissant sur [0;1]
f(0)un+1f(0.7)
0.5un+10.7 (environ...)
Donc P(n+1) est vraie
Conclusion: La propriété est vérifiée pour P(0) et est héréditaire donc P(n) est vraie pour tout n.
Pourquoi arrondir ton majorant 0.7 ??
Ton majorant est tout simplement ta solution trouvée à la question 1f) (
0.659... pour rappel)
Tu as donc : P(n) : pour tout entier naturel n, 0 Un .
L'initialisation est évidente.
Ton hérédité est un peu brouillonne...
Tu dois démontrer que P(n+1) est vraie => 0 Un+1 .
On a :
0 Un
f(0) f(Un) f() (car f est croissante sur [0;1])
0.5 Un+1 (car f()=)
Or 0.5 
0, ce qui démontre l'hérédité.
D'après la question 1d) !!
Tu as démontré que l'équation f(x)=x admet une solution notée .
Donc en particulier f()=.
D'accord merci !
Donc pour la question 2) b. c'est bon
Pour la c. je dois montrer par récurrence que la suite est croissante grâce à unun+1 ?
J'ai réussi l'initialisation, mais je suis bloquée sur l'hérédité... pourrais tu m'aider à commencer ?
L'hérédité se fait à peu près identiquement que la récurrence précédente :
Soit un entier naturel n. On suppose que la propriété P(n) : Un Un+1. Démontrons que P(n+1) est vraie.
On a :
(car f est croissante sur [0;1])
.
Donc P(n+1) est vraie.
On a donc bien démontré que la suite (Un) est une suite croissante.
Ah d'accord !
j'ai réussi à répondre à la question d. mais je n'arrive pas à compléter l'algorithme...
u[0]=0 ;
n=0 ;
Saisir (p) ;
Tant Que ( I u[n]- I >p ) faire (le désigne la solution trouvée lors de la question 1f)
n=n+1 ;
u[n]= exp(u[n])/(exp(u[n])+1) ;
FinTantque
Afficher (n et u[n]) ;
Sinon, on peut oublier les crochets pour la variable u et faire :
u=0 ;
n=0 ;
Saisir (p) ;
Tant Que ( abs(U-) >p ) faire (le désigne la solution trouvée lors de la question 1f et abs pour la valeur absolue)
n=n+1 ;
u= exp(u)/(exp(u)+1) ;
FinTantque
Afficher (n et u) ;
Trouver 0 pour ton rang n est totalement absurde !!
Tu as dû mal taper ton algorithme.
En ayant bien fait les choses, tu dois trouver n=10.
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