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Algorithme sur les valeurs intermédiaires

Posté par
pinet1998 22-02-16 à 13:31

Bonjour,
J'ai un DM pour la rentrée à faire et il me manque juste la partie algorithme.
Je dois trouver un algorithme permettant  de déterminer la valeur approchée de alpha qui est l'unique solution de f(x)=0
J'ai f(x)= x - 5lnx - (4/x)
J'ai déterminé sa limite en 0 et je trouve +infini et sa limite en +infini qui est +infini aussi.
J'ai ensuite fait le tableau de variation et j'en ainsi déduit que f(x)=0 admet une unique solution alpha sur ]0;+infini[ avec comme intervalle-image ](environ)3.9;+infini[
Donc je cherche un algorithme qui va me permettre de trouver la valeur de alpha. La méthode est par dichotomie, je l'ai un peu vu mais je galère encore un peu !
Merci d'avance pour votre aide !

Posté par
Jedoniezhre : Algorithme sur les valeurs intermédiaires 22-02-16 à 13:37

Bonjour,

Il s'agit de la méthode dite "de dichotomie".

Posté par
Jedoniezhre : Algorithme sur les valeurs intermédiaires 22-02-16 à 13:40

Par contre tu t'es trompé dans tes limites.

Posté par
pinet1998re : Algorithme sur les valeurs intermédiaires 22-02-16 à 13:46

Bonjour,
Oui je sais que c'est cette méthode mais je sais pas comment l'appliquer...
Vous croyez que je me suis trompée ? Pourtant lorsque l'on décompose on obtient:
lim x = 0
lim -5 = -5
lim lnx = -infini donc lim -5lnx = +infini
lim 4/x = +infini  donc on en déduit que lorsque x tend vers 0 lim f(x) = +infini
De même pour x tend vers +infini de plus d'après la courbe de la fonction on remarque bien que cela tend vers + infini

Posté par
Jedoniezhre : Algorithme sur les valeurs intermédiaires 22-02-16 à 13:53

\underset{x\to 0}{lim}f(x)=\underset{x\to 0}{lim}(x-5lnx-\dfrac{4}{x})=\underset{x\to +\infty}{lim}(\dfrac{1}{X}-5ln\dfrac{1}{X}-4X)=\underset{x\to +\infty}{lim}X(\underbrace{\dfrac{1}{X^2}}_{\to 0}-\underbrace{\dfrac{5ln\frac{1}{X}}{X}}_{\to 0}-4)=-\infty

Posté par
pinet1998re : Algorithme sur les valeurs intermédiaires 22-02-16 à 13:54

Je ne comprends pas pourquoi vous changer de variable et pourquoi vous changer x en 1/x ?

Posté par
Jedoniezhre : Algorithme sur les valeurs intermédiaires 22-02-16 à 13:58

Je ne change pas x en 1/x, mais je change x en 1/X.
Ne confond pas les minuscules et les majuscules.

Posté par
pinet1998re : Algorithme sur les valeurs intermédiaires 22-02-16 à 13:59

Ah oui pardon ! Mais on a le droit de faire ça et pourquoi on le fait ?

Posté par
Jedoniezhre : Algorithme sur les valeurs intermédiaires 22-02-16 à 14:03

Oui on a le droit.

En posant x=\dfrac{1}{X}, on a bien x \to 0, on a bien X \to +\infty


Pour l'autre limite :

\underset{x\to +\infty}{lim}f(x)=\underset{x\to +\infty}{lim}(x-5lnx-\dfrac{4}{x})=\underset{x\to +\infty}{lim}x(1-\underbrace{\dfrac{5lnx}{x}}_{\to 0}-\underbrace{\dfrac{4}{x^2}}_{\to 0})=\underset{x\to +\infty}{lim}x=+\infty

Posté par
Jedoniezhre : Algorithme sur les valeurs intermédiaires 22-02-16 à 14:04

Oui on a le droit.

En posant x=\dfrac{1}{X}, quand x \to 0, on a bien X \to +\infty


Pour l'autre limite :

\underset{x\to +\infty}{lim}f(x)=\underset{x\to +\infty}{lim}(x-5lnx-\dfrac{4}{x})=\underset{x\to +\infty}{lim}x(1-\underbrace{\dfrac{5lnx}{x}}_{\to 0}-\underbrace{\dfrac{4}{x^2}}_{\to 0})=\underset{x\to +\infty}{lim}x=+\infty

Posté par
pinet1998re : Algorithme sur les valeurs intermédiaires 22-02-16 à 14:04

Je pense avoir compris en faite on factorise x par 1/X c'est ça mais j'arrive pas à voir comme il faut... Pourriez vous développer plus le calcul svp ?

Posté par
pinet1998re : Algorithme sur les valeurs intermédiaires 22-02-16 à 14:05

Ah d'accord j'ai compris la deuxième mais pas la première limite

Posté par
Jedoniezhre : Algorithme sur les valeurs intermédiaires 22-02-16 à 14:12

Pardon, j'ai fait une erreur de frappe :
Pour l'autre limite :

\underset{x\to 0}{lim}f(x)=\underset{x\to 0}{lim}(x-5lnx-\dfrac{4}{x})=\underset{x\to 0}{lim}x(1\underbrace{-\underbrace{\dfrac{5lnx}{x}}_{\to \textcolor{red}{-\infty}}}_{\to +\infty}-\underbrace{\dfrac{4}{x^2}}_{\to 0})=\underset{x\to +\infty}{lim}x=+\infty

Posté par
Jedoniezhre : Algorithme sur les valeurs intermédiaires 22-02-16 à 14:13

Ne tiens pas compte de mon dernier post de 14:12, je me suis emmêlé les pinceaux.

Posté par
pinet1998re : Algorithme sur les valeurs intermédiaires 22-02-16 à 20:38

D'accord j'ai compris merci ! Et pour l'algorithme vous avez une idée ?

Posté par
Jedoniezhre : Algorithme sur les valeurs intermédiaires 22-02-16 à 23:03

Oui, tout à fait.

Posté par
pinet1998re : Algorithme sur les valeurs intermédiaires 23-02-16 à 10:21

Pourriez vous me donner une idée?

Posté par
pinet1998re : Algorithme sur les valeurs intermédiaires 23-02-16 à 10:41

C'est bon j'ai réussi à faire cet algorithme merci pour votre aide !

Posté par
Jedoniezhre : Algorithme sur les valeurs intermédiaires 23-02-16 à 10:54

Peux-tu mettre ici en quelques mots ce que tu as fait ?

Posté par
pinet1998re : Algorithme sur les valeurs intermédiaires 23-02-16 à 11:20

VARIABLES
2     a EST_DU_TYPE NOMBRE
3     b EST_DU_TYPE NOMBRE
4     m EST_DU_TYPE NOMBRE
5     y EST_DU_TYPE NOMBRE
6     solution EST_DU_TYPE NOMBRE
7   DEBUT_ALGORITHME
8     a PREND_LA_VALEUR 12.5
9     b PREND_LA_VALEUR 13.5
10    TANT_QUE (b-a>0.00001) FAIRE
11      DEBUT_TANT_QUE
12      m PREND_LA_VALEUR (a+b)/2
13      y PREND_LA_VALEUR m-5*log(m)-4/m
14      SI (y<0) ALORS
15        DEBUT_SI
16        a PREND_LA_VALEUR m
17        FIN_SI
18        SINON
19          DEBUT_SINON
20          b PREND_LA_VALEUR m
21          FIN_SINON
22      FIN_TANT_QUE
23    AFFICHER a
24    AFFICHER b
25  FIN_ALGORITHME

Voilà et je trouve alpha = 13.2064

Posté par
Jedoniezhre : Algorithme sur les valeurs intermédiaires 23-02-16 à 11:43

Hummm ...

La valeur trouvée est bonne.

Tu l'as trouvé tout seul cet algorithme ou tu l'as recopié ?

Veux-tu une explication de cette méthode de dichotomie ou est-ce que tu penses la maîtriser ?

Posté par
pinet1998re : Algorithme sur les valeurs intermédiaires 23-02-16 à 12:45

On m'a aidé ! Disons que j'avais fait une grosse partie mais le logiciel me disait syntaxe incorrect alors j'ai bidouillé avec d'autres et j'ai réussi ! Non c'est bon j'ai un cours sur la dichotomie merci

Posté par
Jedoniezhre : Algorithme sur les valeurs intermédiaires 23-02-16 à 14:48

Ok.


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