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Algorithme - Trigonométrie
Bonjour, j'ai exercice qui mélange trigonométrie, suite, récurrence,... ce qui me pose un peu problème 
Voici l'énoncé:
Dans repère orthonormé (O;
;
), on considère un point M0, situé sur le cercle C de centre O et de rayon 2, d'abscisse x0= 2cosa, où a est un réel fixé appartenant à l'intervalle [0 ; 
/2].
Là il y avait un schéma du cercle mais je n'arrive pas à insérer une
photo, si qqn peux m'aider pour ça...)
malou > ****regarde la 
[lien]****
Pour tout entier naturel n, on construit une suite de point Mn situés sur le cercle C dont les abscisses respectives xn sont telles que xn+1=
2+xn.
a. A l'aide d'une formule de duplication, établir que, pour tout réel t, 2+2 cost = 4cos²t/2
formules de duplication : là Savoir utiliser le cercle trigonométrique et formules de trigonométrie
b. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, xn=2cos (a/2n)
c. Déterminer le sens de variation de la suite (xn)
d. Déterminer la limite de la suite (xn). Interpréter géométriquement pour les points Mn.
e. Ecrire un algorithme qui permettrait de trouver le plus petit entier naturel n tel que 2-xn<10-6. L'appliquer en prenant a=1.
J'essaye toujours les exercices avant de les poster sur le forum, mais celui là m'a poser problème dès la première question m'empêchant d'avancer dans l'exercice.... Je commence donc à 0 avec vous.
Merci d'avance à ceux qui prendront le temps de bien vouloir m'aider à comprendre et à finir cet exercice 
Bonjour,
Assez relevé manifestement comme exercice.
Donc tu es totalement bloqué si je comprends bien ?
oui mais comme on a aussi cos²(t/2)+sin²(t/2)=1 on peut remplacer sin²(t/2) par 1-cos²(t/2) et ça donne donc :
cos (t) = cos²(t/2)-sin²(t/2) = cos²(t/2)-(1-cos²(t/2))= 2cos²(t/2)-1
et donc 2cos²(t/2) = 1 + cos(t)
ce sont des formules utiles à savoir.
Je pense qu'en cherchant un minimum entre 30 secondes et 2 minutes 30, avec les indications qu'on t'a données, la solution t'était à porter de main.
Salut à toi Glapion. 
Donc si je comprend bien, pour la question a. :
cos (a+b) = cos a cos b - sin a sin b
or si a = b = t/2
cos a cos b - sin a sin b = (cos t/2)² - (sin t/2)² = cos²(t/2)+sin²(t/2) = 1
on remplace sin²(t/2) par 1-cos²(t/2)
cos (t) = cos²(t/2)+1-cos²(t/2)
= cos²(t/2)-(1-cos²(t/2))
= 2cos²(t/2)-1
et donc 2cos²(t/2) = 1 + cos(t)
x2: 4 cos² (t/2) = 2 + 2 cos (t)
C'est le sinus2 qu'il faut rang former et non pas le cos2 Côme j'ai fait,mais le principe c'est cela.
C'est le sinus2 qu'il faut transformer et non pas le cos2 Côme j'ai fait,mais le principe c'est cela.
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, xn=2cos (a/2n) ?
Démonstration très classique :
la formule est vraie pour n = 0 car on a bien x0 = 2cos(a)
supposons la vraie pour n (et donc xn=2cos (a/2n) ) et montrons qu'elle l'est encore pour n+1 :
xn+1 = (2+xn) = (2+2cos (a/2n)) (on a utilisé notre hypothèse de récurrence)
= (4cos²(a/2n+1)) (on a utilisé la formule du 1)
= 2 cos(a/2n+1) et donc la formule est encore vraie pour n+1.
Elle est donc vraie pour tout n.
Oui j'ai essayé ! Je suis sur cet exercice presque tous les jours ! Merci je finirai la question a. toute seule
pour la c. il faut calculer xn+1-xn n'est ce pas ?
je finirai la question a. toute seule
Tu m'étonnes !! Tu as juste à recopier ce que je t'ai mis à 09:12 ...
Quelqu'un pourrait m'aider à calculer: (2+xn)-2cos(a/2n) soit xn+1-xn svp ? à moins que cela dérange...
là tu peux directement utiliser xn=2cos (a/2n)
quand n croît, a/2n diminue et comme le cosinus qui est décroissant entre 0 et /2 le tout va donc augmenter (jusqu'à la limite 2).
Donc si je comprends bien:
Comme le cosinus est décroissant entre 0 et /2 et que a/2b diminue alors le tout, soit 2cos(a/2n) est croissant ?
Oui on comprend mieux en regardant un cercle trigo, si un point du cercle se rapproche de 0, le cosinus augmente.
D'accord je vois et je comprend donc pour la limite égale à 2 pensez vous que je dois le justifier par un calcul ? ou je peux juste interpréter géométriquement ?
Je prend un peu d'avance sur la dernière question, pour l'algorithme je préviens que j'aurais vraiment besoin d'aide car c'est une notion qui me pose un peu problème pour le moment :/
Ecrire un algorithme qui permettrait de trouver le plus petit entier naturel n tel que 2-xn<10-6
Et bien lance-toi, que sais -tu des algorithmes ? le principe va être :
tant-que 2-xn > 10-6
je calcule le xn suivant
j'incrémente n
fin tant_que
et en sortie de boucle j'affiche n
lance toi, les algorithmes, il faut se battre avec si on veut progresser.
non, ton n n'évolue jamais. a n'a jamais reçu de valeur.
et puis n'utilise pas des tableaux x[n], simplement une variable x suffit
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