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analyse

Posté par
-7- 01-01-09 à 20:37

                                                                                   Etude d'une suite récurrente:

                                                  3$\left{u_{n+1}=\frac{1}{2}u_n \\ u_0 \in ]0;\frac{\pi}{2}[.


\clubsuit prélimiaire

           j'ai tout d'abord commencé par résoudre : tan(x)=2x dans ]0;\frac{\pi}{2}[. j'ai trouvé x=arcsin(x_0) où x_o est l'unique solution dans ]\frac{1}{\sqrt{2};1}[ de l'équation 3$(\frac{arcsin(x)}{x^2^})'=0.


\clubsuit étude à proprement parler: je blocque.

           j'ai remarqué que si u_0 \in ]0;arcsin(x_0)[ alors il n'y a pas de problème d'étude (classique car ]0;arcsin(x_0)[ est stable par f). dans ce cas, f est décroissante.

par contre, si u_0 \in ]arcsin(x_0);\frac{\pi}{2}[, je conjecture que (u_n) "se stablise" converge quand même mais à partir d'un certain rang (je dirais même le rang 3 ).

en effet, intuitivement, on voit que pour un certain rang N_0 , u_{N_0} <arcsin(x_0) (ça je voudrais le montrer). en fait, j'ai vu sur des cas particuliers, c'est que par exemple si |u_{n}|<arcsin(x_0) alors cela veut dire que |u_{n-1}+k\pi|\le arcsin(x_0) enfin je me comprend . dans ce cas à partir de ce N_0 f est croissante mais négative

\clubsuit chose bizarre:

           dans les deux cas, la suite converge vers 0 et non vers arcsin(x_0)


bonne et heureuse année.
merci.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : analyse 01-01-09 à 20:39

Bonjour,

La suite proposée est une suite géométrique, donc l'étude ne me semble pas bien compliquée.

Cordialement,

Nicolas

Posté par
-7-re : analyse 01-01-09 à 20:39

excusez moi, je ne peux pas éditer mon message.

erreur à la définition de la suite c'est :

                                            5$\fbox{\red{\left{u_{n+1}=tan(u_n) \\ u_0\in ]0;\frac{\pi}{2}[

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : analyse 01-01-09 à 20:40

Dans ce cas, pourquoi avoir tenté de résoudre tan(x)=2x ?

Posté par
-7-re : analyse 01-01-09 à 20:41

c'est l'objet d'une première question

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : analyse 01-01-09 à 20:42

Tu es sûr de ton message de 20h39 ? Il n'y a pas un 1/2 qui manque ?

Posté par
-7-re : analyse 01-01-09 à 20:44

ouh excusez moi de mes fautes, le manque d'habitude :

5$\red\left{u_0 \in ]0;\frac{\pi}{2}[ \\ u_{n+1}=\frac{1}{2}tan(u_n)

Posté par
-7-re : analyse 01-01-09 à 20:50

oui j'ai oublier de préciser dans tout mon baratin que je veux montrer que dans le cas à problème (u_0\in ]0;\frac{\pi}{2}[) on peut se ramener au premier cas (étude classique). voilà l'objet de mon topic pour être enfin clair.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : analyse 01-01-09 à 20:51

Je ne comprends pas ton dernier message.
(u_0\in ]0;\frac{\pi}{2}[) n'est pas un cas possible : c'est ce que dit l'énoncé.

Posté par
-7-re : analyse 01-01-09 à 20:56

et mince de mince. ça commence à m'énerver j'arrive pas à me concentrer.

oui je voulais dire le cas intéressant (à problème) est celui où u_0\in ]arcsin(x_0);\frac{\pi}{2}[ (l'autre cas u_0\in ]0;arcsin(x_0)[ étant classique et auquel je voudrais montrer que l'on peut s'y ramener à partir d'un certain rang)

Posté par
-7-re : analyse 02-01-09 à 10:26

je remonte[sub][/sub]

Posté par
-7-re : analyse 02-01-09 à 12:52

\left{u_{n+1}=\frac{1}{2}u_n \\ u_0 \in ]0;\frac{\pi}{2}[

si u_0\in ]0;arcsin(x_0)[, étude classique.

si u_0 \in ]arcsin(x_0);\frac{\pi}{2}[, à partir d'un certain rang je voudrais montrer que il existe N_0 tel que |u_{N_0}|<|arcsin(x_0)|. ainsi on retombe sur le premier cas.

cependant, premier cas: la suite est décroissante positive.

second cas, la suite est croissante négative

merci

Posté par
-7-re : analyse 02-01-09 à 15:58

même pas pour esquisser une réponse ?

Posté par
-7-re : analyse 02-01-09 à 17:12

?


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