Niveau Master

Analyse complexe - Représentation en séries entieres

Posté par
Mihawk 05-11-08 à 22:06

Chalut tout le monde!!

Je suis en prépa agreg et a fond dans l'analyse complexe en ce moment (j'en attrape même des boutons ... ) et j'ai un problème sur la fin d'une preuve dans Analyse réelle et complexe de W. Rudin.

Pour ceux qui l'ont c'est le théorème 10.21 (page 253 dans mon édition).

Je cite :

Citation :
Théorème :

Si $a \in \Omega$ et si $f \in H(\Omega \backslash \{a\})$ l'un des trois cas suivants doit se produire :

(a) $f$ a une singularité artificielle en $a$

(b) Il existe des nombres complexes $c_1,...,c_m$ où $m$ est un entier positif ou nul et $c_m \neq 0$ tels que : $f(z) - \sum _{k=1}^{m} \frac{c_k}{(z-a)^k}$ ait une singularité artificielle en $a$ .

(c) si $r$ >0 et $D(a,r) \subset \Omega$ , l'image $f(D'(a,r))$ est dense dans le plan complexe.

Au niveau des notations, $D(a,r)$ est évidemment le disque de centre $a$ et de rayon $r$ et $D'(a,r)$ est le disque épointé de centre $a$ et de rayon $r$ , c'est a dire $D(a,r) \backslash \{a\}$ . On les notera $D$ et $D'$ .

Je rapelle qu'on dit que $f$ admet une singularite artificielle en $a$ lorsque elle est holomorphe partout sur l'ouvert sauf en $a$ et prolongeable en une fonction holomorphe partout sur l'ouvert.

Au niveau de la preuve, Rudin propose de supposer que (c) est faux et de montrer qu'alors on a soit (a) soit (b).

On obtient relativement facilement (a) en procédant comme suit :

si (c) n'a pas lieu, il existe $r$ > 0, $\delta$ > 0 et $\omega$ nombre complexe tels que $|f(z) - w|$ > $\delta$ dans $D'$ .

On définit $g(z) = \frac{1}{f(z) - \omega} , z \in D'$ .

Alors $g \in H(D')$ et $|g| < \frac{1}{\delta}$ . Un théorème précédent nous dit qu'alors $g$ se prolonge en une fonction holomorphe dans $D$ .

Si $g(a) \neq 0$ , alors $f$ est bornée dans $D'$ et un autre théorème vu plus haut nous dit que (a) est vérifiée.

Pour obtenir (b) on continue comme suit :

Si $g$ admet un zéro d'ordre $m$ en $a$ alors on peut écrire $g(z) = (z-a)^m g_1 (z)$ avec $g_1$ holomorphe sur $D$ et ne s'annulant pas en $a$ . Puisque $g$ ne s'annule pas sur $D'$ alors $g_1$ ne s'annule pas non plus sur $D'$ .

On considère alors $h = \frac{1}{g}$ dans $D$ . $h$ ne s'annule pas sur $D$ et est holomorphe sur $D$ (car $g_1$ l'est) et on obtient :

$f(z) - \omega = (z-a)^{-m} h(z)$ , $z \in D'$

mais $h$ a un développement de la forme $h(z) = \sum _{n=0}^{\infty} b_n (z-a)^n$ (car elle est holomorphe) avec $b_0$ non nul (car $h$ ne s'annule pas en $a$ ).

en injectant dans l'égalité précédente, Rudin prétend que la preuve est terminée. Je n'en doute point... mais ne comprend pas en quoi ce qu'on obtient permet de déduire que $f(z) - \sum _{k=1}^{m} \frac{c_k}{(z-a)^k}$ a une singularité artificielle en $a$ .

si des bonnes ames courageuses ont pu tout lire et qu'elles connaissent la reponse, je vous remercie d'avance de m'expliquer. Cependant ne vous attendez pas a des reponses rapides de ma part, je n'ai pas d'internet chez moi...

Dans tous les cas : merci à ceux qui ont eu le courage de lire ^^

Posté par re : Analyse complexe - Représentation en séries entieres 05-11-08 à 22:43

Salut,

Il faut partir du principe que Rudin se trompe jamais que ça en devient énérvant !

Si g a un zéro d'ordre m alors 1/g a un pôle d'ordre m... lorsque tu développes en série de Laurent (sans le dire) la partie négative est finie. Ensuite, il a une fonction bornée au voisinage de la singularité que l'on prolonge par le même "théorème vu plus haut". Ce qui reste dans f - (partie polaire) est une fonction holomorphe au voisinage de $\omega$ si tu préféres.

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