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analyse de fonction

Posté par
titoune 08-10-08 à 09:33

Soit la fonction f définie par f(x)= 1/2ln|(x-1)/(x+1)|

1) comparer f(1/x) et f(x).

2) On désigne par g la restriction de f à l'intervalle ]-1;1[. Montrer que g est une bijection à valeurs dans R.

3) déterminer la fonction g^(-1)of.

Reponse:
1) f(x)=-f(1/x)

2)ici je sais si g(x)=f(x); j'aimerai savoir à quoi correspond g(x).
Si g(x)= 1/2ln|(x-1)/(x+1)|

g'(x)= 2/(x+1)(x-1) mais aufaite là moi j'ai dérivé ln|u(x)| je savais pas si je devais dérivé comme si la fonction s'écrivais ln|u(x)|^(1/2)

Je pense que ma dérivé est fausse; mais bon!

dans l'intervalle ]-1;1[ g est strictement décroissante.

donc g est une bijection dans R

3) je connais pas du tout la formule de g^(-1)of???

Posté par
pythamedere : analyse de fonction 08-10-08 à 09:56

1) OK

Citation :
2) j'aimerai savoir à quoi correspond g(x).

A rien ! C'est simplement la réciproque de g^{-1} et tu en sauras plus quand tu auras résolu la question 3 !

Citation :
g'(x)= 2/(x+1)(x-1) mais aufaite là moi j'ai dérivé ln|u(x)| je savais pas si je devais dérivé comme si la fonction s'écrivais ln|u(x)|^(1/2)


Ben ça dépend ! Puisque (1/2) \ln(|u(x)|)=\ln(|u(x)^{\frac{1}{2}}), dériver le membre de gauche et dériver le membre de droite, ça doit donner le même résultat ! Alors, si tu préfères compliqué tu dérives le membre de droite, si tu préfères simple, tu dérives le membre de gauche ! C'est toi qui vois !

Citation :
Je pense que ma dérivé est fausse; mais bon!

Moi aussi, mais je peux me tromper ! Il me semble que c'est plutôt g'(x)= 1/[(x+1)(x-1)]
et pas g'(x)= 2/(x+1)(x-1) (qui veut dire g'(x)=\frac{2}{x+1}\times (x-1) puisque tu as omis une paire de parenthèses indispensables !)

Mais de toutes façons, c'est le facteur 2 que je corrige en 1 !

Citation :
3) je connais pas du tout la formule de g^(-1)


Normal ! On ne te demande pas de la connaître ! On te demande de la trouver ! Ca veut dire qu'il faut la chercher !

Pour trouver la réciproque de f(x) (quand elle existe), on pose y=f(x) et on essaie d'exprimer x en fonction de y !

Donc tu dois poser y=1/2ln[(x-1)/(x+1)] ((x-1)*(x+1) est positif dans cette zone) et ensuite tu dois essayer d'exprimer x en fonction de y : x=...

Allez, courage !

Posté par
titounere : analyse de fonction 08-10-08 à 11:43

MERCI BEAUCOUP pythamede. J'ADORE tes explications , elles sont claire et précisent!
Je me met de suite au travail!

Posté par
titounere : analyse de fonction 09-10-08 à 09:01

j'ai réussi à exprimer y en fonction de x et je trouve 2 solutions:
pour x>1 on x= (1+e^(2y))/(1-e^(2y))

pour x<1 on a x= (1-e^(2y))/(1+e^(2y))

mais il me faut une seule solution
donc il faut que je calcule g(1) et g(-1) pour remplacer y par sa valeur et voir quel résultat correspond à l'intervalle ; mais ici je trouve pas de résultat pour g(1) et g(-1) vu que ln 0 existe pas !

Comment je peut faire?

Posté par
titounere : analyse de fonction 09-10-08 à 09:21

Posté par
pythamedere : analyse de fonction 09-10-08 à 09:49

Bravo ! Mais tu as quand même fait une errreur quelque part ! Il n'y a pas deux solutions, il n'y en a qu'une ! De toutes manières, on se restreint à l'intervalle ]-1;1[ !

y=(\frac{1}{2})\ln(|\frac{x-1}{x+1}|)

x étant compris entre -1 et 1, \frac{x-1}{x+1} est négatif et |\frac{x-1}{x+1}| = \frac{-x+1}{x+1}

2y=\ln(\frac{-x+1}{x+1})

e^{2y}=\frac{-x+1}{x+1}

(x+1)e^{2y}=-x+1

xe^{2y}+e^{2y}=-x+1

xe^{2y}+x=-e^{2y}+1

x(e^{2y}+1)=-(e^{2y}-1)

x=-\frac{e^{2y}-1}{e^{2y}+1}


C'est bien l'une de tes deux solutions !

Connais-tu les fonctions hyperboliques ?

ch(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}   (appelé cosinus hyperbolique)

sh(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}    (appelé sinus hyperbolique)

th(x)=\frac{sinh(x)}{cosh(x)}   (appelé tangente hyperbolique)

Je te pose la question car on peut transformer l'expression de x :

x=-\frac{e^{2y}-1}{e^{2y}+1}

En divisant le numérateur et le dénominateur par e^y, on trouve :

x=-\frac{e^{y}-e^{-y}}{e^{y}+e^{-y}}

Et en divisant encore par 2 :

x=-\frac{(\frac{e^{y}-e^{-y}}{2})}{(\frac{e^{y}+e^{-y}}{2})}

x=-\frac{sh(y)}{ch(y)}

x=-th(y)

De la même manière que les fonctions Arcsin, Arccos et Arctan, on définit les fonctions réciproques des fonctions hyperboliques, que l'on appelle Argch, Argsh et Argth.

Ainsi puisque -x=th(y), y=argth(-x)=-argth(x)=f(x)

L'expression f est donc une autre manière d'exprimer -argth(x) (le signe - m'embête ! J'espère que je n'ai pas fait une erreur de signe : ça perturbe ma belle conclusion !

Citation :
donc il faut que je calcule g(1) et g(-1) pour remplacer y par sa valeur et voir quel résultat correspond à l'intervalle ; mais ici je trouve pas de résultat pour g(1) et g(-1) vu que ln 0 existe pas !


je ne comprends pas ce que tu veux dire ! De toutes manières, la fonction f n'est définie que sur ]-1;1[. Comme tu l'as remarqué, f(-1) et f(1) ne sont pas définis !


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