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Analyse : Exo sur Suite de Fonctions
Bonjour !
Je suis bloqué a un exo :
Soit la suite de fonction (fn)n
definie sur : 
fn(x) = n2x(1-x)2
*) Déterminer le domaine de simple convergence.
Il faut que j'etudie la limite de fn quand n-> 
, le problème, c'est que je n'y arrive pas ... je trouve l' or dans la seconde question on me demande :
*) Montrer que f converge uniformement sur [
,2-] avec ]0,1[
Merci de m'aider !
Excusez moi pour me double post ... mais je n'arrive pas a éditer.
fn(x) = n²x(1-x)^n
Lors de l'etude de la simple convergence ... doit on tenir en compte des x ?
A revoir la définition de la convergence simple !!!
.Pour n * et x on pose fn(x) = n2x(1 - x)n
On va voir quels sont les x pour lesquels la suite ux : n 
fn(x) converge dans .
Pour tout n on a fn(0) = fn(1) = 0 .
Si x < 0 on a 1 - x > 1 donc ux 
-
Si x 
2 la suite n valeur absolue de (fn(x)) tend vers +
Soit x ]0 , 1[
]1 , 2[ . Posons a = valeur absolue de 1 - x .
La valeur absolue de fn(x)/x est n2.an = v(n)
v(n + 1)/v(n) tend vers a < 1 quand n tend vers + donc on peut trouver un entier N tel que pour n > n on ait v(n + 1)/v(n) 
c = (a + 1)/2 .On a donc v(N+1) cv(N) , v(N+2) c2.v(N),....etc v(n+N) c2.v(N)
On voit donc que v 0 et donc que ux 0
Il y a donc convergence simple (vers 0) sur [0 , 2[ = K.
La question qui se pose alors de savoir si cette convergence est uniforme et si la réponse est non si on peut trouver des ensembles où il y a CU .
Comme Sup{valeur absolue de fn(x)) ; x K } = 2n2 il n'y a pas CU sur K
Soit ]0 , 1[ et soit K() = [ , 2-]
Etudie les variations de valeur absolue de fn sur K et calcule Sup{valeur absolue de fn(x)) ; x K() }
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