Bonjour imaginaire,

pourquoi postes-tu en Maths Spé un exercice de niveau L3?

Pour la première question, utilise Cauchy-Schwarz : de façon générale, le produit de deux fonctions de classe L² sur Rⁿ est de classe L¹ sur Rⁿ.

Pour la question suivante, que vaut F(g) d'après la définition de ton cours? (Il existe plusieurs définitions de la transformée de Fourier)

bonsoir tigweg, et bien il me semblait que ce domaine était déjà abordé en spé (sauf prétention d'anciens préparationnaires)...
d'autre part, oublie de ma part, comment montrer l'intégrabilité d'une fonction de la forme exponentielle de -ax, a réel positif ?

Non, ces notions ne sont pas au programme de Spé.

Pour ta deuxième question, il suffit d'intégrer explicitement ta fonction entre 0 et X, puis e faire tendre X vers l'infini.

Même pour une intégrale au sens de lebesgue ?

Oui, si une fonction positive est Riemann-intégrable, alors elle l'est au sens de Lebesgue, idem pour les intégrales impropres de fonctions positives: leur valeur est égale à celle qu'on obtient au sens de Lebesgue.

et si une fonction est borélienne mais pas riemann intégrable, est elle lebesgue-intégrable ? ou on ne peut rien dire ?

Déjà, tu peux enlever "positive" au début de mon message précédent pour ce qui concerne les intervalles bornés [a;b].

Pour les intégrales impropres d'une fonction à valeurs réelles f qui est Riemann-intégrable sur tout compact inclus dans l'intervalle défini par les bornes de l'intégrale impropre, on a alors équivalence entre:

1)L'intégrale impropre converge absolument au sens de Riemann

2)f est Lebesgue-intégrable entre les bornes de l'intégrale.

Dans ce cas, la valeur de l'intégrale impropre coïncide avec l'intégrale de f au sens de Lebesgue sur l'ensemble d'intégration.

En particulier, on retrouve ce que je disais pour les fonctions positives dans le second morceau de ma phrase à 21h25.


Pour répondre à ta dernière question, une fonction peut être borélienne mais ni Riemann-intégrable ni Lebesgue-intégrable, comme par exemple 1/x sur R+*, tout simplement!