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Analyse, Séries

Posté par
NsSommes1 31-01-09 à 10:48

Bonjour, c'est cet exercice a faire :

on pose :

an = (2n)! / (n!)²4n

il faut prouver que un = nan est croissante pour n assez grand et >1/2, et decroissante si <1/2.

j'ai essayer de faire un+1 / un, je trouve :

(2n+1 / 2n+2) x (1+1/n)

je souhaite comparer par rapport a 1 mais je suis bloqué.

Merci...

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Analyse, Séries 31-01-09 à 11:42

3$\fbox{\frac{2n+1}{2n+2}=1-\frac{1}{2n}+O(\frac{1}{n^2})\\\left(1+\frac{1}{n}\right)^\alpha=1+\frac{\alpha}{n}+O(\frac{1}{n^2})} donne 3$\fbox{\frac{u_{n+1}}{u_n}=1+\left(\alpha-\frac{1}{2}\right)\frac{1}{n}+O(\frac{1}{n^2})} d'où en particulier 3$\blue\fbox{\lim_{n\to+\infty}\;n\left(\frac{u_{n+1}}{u_n}-1\right)=\alpha-\frac{1}{2}}

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Analyse, Séries 31-01-09 à 11:43

Bonjour,

Remarque préliminaire.
En utilisant la formule de Stirling, il est facile de montrer que 3$\frac{(2n)!}{n!n!}\sim\frac{2^{2n}}{\sqrt{\pi n}}
Donc 3$n^{\alpha}a_n\sim\frac{n^{\alpha-\frac{1}{2}}}{\sqrt{\pi}}
Donc
* si 3$\alpha>\frac{1}{2}, 3$n^{\alpha}a_n\to +\infty
* si 3$\alpha<\frac{1}{2}, 3$n^{\alpha}a_n\to 0
On ne peut rien en déduire sur les variations, mais on voit une cohérence.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Analyse, Séries 31-01-09 à 11:52

3$\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{(2n+1)(2n+2)}{(n+1)^2}\left(\frac{n+1}{n}\right)^{\alpha}\frac{1}{4}
3$\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{n+\frac{1}{2}}{n+1}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{\alpha}

Supposons 3$\fbox{\alpha>\frac{1}{2}}
On sait que 3$\left(1+\frac{1}{n}\right)^{\alpha}\ge 1+\frac{\alpha}{n}
Donc
3$\frac{u_{n+1}}{u_n} \ge \frac{n+\frac{1}{2}}{n+1}\left(1+\frac{1}{2n}\right)=1+\frac{1}{4n(n+1)}>1
Donc la suite (un) est strictement croissante.

Posté par
NsSommes1re : Analyse, Séries 31-01-09 à 12:50

elhor_abdelali tu fais le développement limité de  2n+1 / 2n+2 mais je ne sais pas le faire moi comment y arrives tu ??

ensuite pour la formule de Sterling je ne peux pas l'utiliser car je ne l'ai pas vu sous cette forme

Merci les autres

mais j'ai une autre question car après il est demandé de prouver que la série

(-1)nan

est semi convergente pour un alpha bien choisi, mais alpha n'intervient pas...  dons je pense qu'ils se sont trompés...

merci

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Analyse, Séries 31-01-09 à 13:01

Citation :
ensuite pour la formule de Sterling je ne peux pas l'utiliser car je ne l'ai pas vu sous cette forme

Le résultat que j'ai donné dérive bien de la forme "normale" de la formule de Stirling. Mais, de toute façon, ce n'est pas utile ici. C'était à titre d'information.

Posté par
NsSommes1re : Analyse, Séries 01-02-09 à 11:55

Ah ok merci !!

mais j'ai une autre question comment sais tu que je (1 + 1/n)   1 + /n ???

merci

Posté par
NsSommes1re : Analyse, Séries 01-02-09 à 12:00

cela parait logique mais bon je ne trouve pas de démonstration qui le prouve vraiment...

Posté par
NsSommes1re : Analyse, Séries 01-02-09 à 13:07

et puis que se passe t-il si < 1/2 ??

Posté par
gui_toure : Analyse, Séries 01-02-09 à 13:44

salut

c'est l'inégalité de Bernouilli

j'avais lu une jolie démo je crois, mais je ne sais plus où

Posté par
NsSommes1re : Analyse, Séries 01-02-09 à 13:53

merci mais bon mnt je suis toujours bloqué rahhhhhhhhhhhhhhh pour mon alpha < 1/2 :'(


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