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analyse vectorielle
Bonjour, voilà j'ai un exercice a résoudre , voir ci-dessous:
En un point M de l'espace, on note r la distance à l'origine. Calculer div[grad(1/r)] en utilisant les coordonnées cartésiennes. Retrouver ce résultat en utilisant les coordonnées sphériques
Donc r= racine(x²+y²+z²)
Ensuite calculer grad 1/racine(x²+y&+z²) puis calculer le div[grad(1/r)] , est ce la bonne methode?
Merci d'avance
Bonsoir.
Oui, en coordonnées cartésiennes, c'est la bonne méthode. (courage pour les calculs. 
)
L'intérêt de l'exercice est surement de montrer que le choix d'un bon système de coordonnées arrange bien les choses.
Pour les coordonnes cartésiennes j'ai trouvé au final:
div[grad (1/r)]= -4(y²-z²)/(x²+y²+z²)^5/2, par contre j'ai du mal pour passer en coordonné sphérique,est ce qu'il faut que je parte avec:
x= sinθ * cosφ
y= sinθ * sinφ
z= cosθ
ensuite reporter dans r?
Merci pour votre aide
En principe, on doit trouver 0. (c'est le laplacien d'une fonction harmonique)
Tes coordonnées sphériques sont fausses, x,y,z dépendent aussi de r.
Ok je vais reprendre le calcul
pour les coordonnes sphériques c'est :
x= r*sinθ * cosφ
y= r*sinθ * sinφ
z= r*cosθ
et ensuite je report dans r?
Qu'est-ce que tu veux dire par "je reporte dans r" ?
La méthode ici consiste à appliquer les formules sur les opérateurs différentiels en coordonnées sphériques.
Soit tu les as vu dans le cadre général des coordonnées curvilignes quelconques, et il s'agit alors d'en déduire celles en sphériques, soit tu n'as vu que quelques cas particuliers en cours, mais dans tous les cas, tu les connais.
Pour les coordonnes sphériques dans la cours j'ai la formule de gradient suivante:
df/dr
1/sinφ*df/dθ
1/r*df/dφ
mais je vois pas comment l'appliqué dans mon exemple?
Concernant le premier point en coordonnée cartesienne je n'arrive pas trouvé 0, mon premier calcul me donne le resultat suivant:
grad 1/r= -x/(x+y²+z²)^3/2
-y/(x+y²+z²)^3/2
-z/(x+y²+z²)^3/2
Est ce que cela pour commencer est juste?
Et bien tu appliques ces formules à la fonction
Une fois que tu as le gradient, tu refais pareil, avec la formule pour la divergence en coordonnées sphériques.
Pour les cartésiennes, c'est correct, sauf que le x au numérateur est au carré.
Alors pour les cartesiennes oui c 'est x² c'etait uen erreur de frappe, et je suis arrivé a trouver 0 j'avais fais une erreur de signe dans le calcul du div
Concernant les sphériques , je cherche ... pour l'instant je vois pas
Il faut calculer le gradient de 1/r ! Ta formule est donc fausse, puisque tu n'as pas mis les termes au carré.
Tu as la formule qui te donne le gradient de la fonction dans les coordonnées sphériques, pourquoi ne l'appliques tu pas ?
La fonction f est donnée par en coordonnées sphériques, et son gradient est donné par ta formule. Il n'y a qu'à calculer les trois dérivées partielles, et f ne dépend que d'une variable, ça sera assez rapide.
je recapitule donc je calcul le grad de ((r*sinφ*cosθ)^2+ (r*sinφ*cosφ)^2 + (r cosθ)^2)^1/2
et là j'applique ceci
df/dr
1/sinφ*df/dθ
1/r*df/dφ
Par contre je vois que tu note que c'est asse rapide.... j'ai l'impression que je pars vers des calculs important là...
Mais ton expression compliquée est égale à 1/r ! Tu tournes en rond.
Appliques la formule à 1/r ! Quelle est la dérivée par rapport à r de 1/r ? La dérivée par rapport à theta ? à phi ?
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