Ah non ! Polygone ne prend pas d'accent circonflexe !

Pour revenir aux maths...

ABCD est un polygone gauche (Je ne suis pas certain que l'on puisse appeler cela un polygone, certains sites définissent le polygone comme une figure plane. Cependant, d'autres sites admettent l'expression polygone gauche pour définir la figure formée par une suite segments de droite fermée dans l'espace). Le mot "convexe" n'a pas de sens ici ; il faut dire "gauche" pour  préciser que les quatre points ne sont pas nécessairemnt coplanaires. La notion d'angle "orienté" ne me semble pas davantage appropriée pour un angle dans l'espace...

Et en tous cas, la somme des quatre angles d'un polygone plan est bien 2, mais je doute que l'on puisse dire la même chose d'un polygone gauche !

c'est vrai, excusez moi pour l'accent circonflexe
mais alors comment je pourrait majorer les angles non orientés \widehat{ADB} + \widehat{ADC}+\widehat{BDC} d'un polygone gauche à quatre côtés?

c'est vrai, excusez moi pour l'accent circonflexe
mais alors comment je pourrai majorer les angles non orientés d'un polygone gauche à quatre côtés?

Si les quatre points sont coplanaires, et si B est intérieur à l'angle , alors , donc et comme ce dernier est au maximum égal à , la somme est, dans ce cas majorée par .

Si les quatre points sont coplanaires, et si C est intérieur à l'angle , alors , donc et comme ce dernier est au maximum égal à , la somme est, dans ce cas majorée par .

Si, etc... Je ne vais pas faire tous les cas ! Si les quatre points sont coplanaires, il y a forcément un des trois points qui se trouve à l'intérieur de l'angle de sommet D formé de droites passant par les deux autres points. Et dans tous ces cas-là, la somme est inférieure ou égale à !

Il me semble que l'on te demande de démontrer que si les points ne sont pas coplanaires, alors la somme des trois angles sera strictement inférieure à . Je te laisse ce plaisir...

Quant à la CNS demandée, ce serait que D et deux des trois autres points soient alignés, avec D sur le segment défini par ces deux points (ce qui signifierait a fortiori bien sur que les quatre points seraient coplanaires).

D'accord, merci beaucoup