Bonjour,

Sans gros attirail, il est facile d'avoir les sommets d'un tétraèdre régulier dans , en fait dans l'hyperplan d'équation .
Après, on a juste des petits calculs de produit scalaire à faire.

Tu parles de plonger le tétraèdre dans ?

Oui, c'est bien ce que j'ai écrit. J'ai même décrit l'hyperplan dans lequel il est contenu.

Comme je ne l'ai pas dit hier, merci pour ta réponse GBZM.

Maintenant, je trouve ça étrange de penser au tétraèdre dans . On a donc est ce qu'on ne pourrait pas dire qu'on peut considérer le cas dans ? Et si on le plonge les angles resteront les mêmes ? Par exemple est ce que l'angle entre milieux des segments AB, AC - qui correspondraient aux milieux des arrêtes où ABCD est notre tétraèdre dans - est le même que l'angle entre les milieux de A'B' et A'C' (on trouve donc la 4ème coordonnée avec l'équation de l'hyperplan que tu as donné) ?

Est-ce qu'il te semble étrange de penser au triangle équilatéral comme le triangle de sommet (1,0,0), (0,1,0),  (0,0,1) dans ?
Ici on considère le tétraèdre régulier de sommets (1,0,0,0), (0,1,0,0), (0,0,1,0), (0,0,0,1)

Oui mais passons, je conçois qu'on puisse les étendre.

D'accord , mais on ne trouve pas les mêmes angles entre les droites joignant le centre au milieux des arrêtes que dans non ?  Ici on aurait que les angles seraient ou alors que dans c'est ou selon moi.

D'ou mon précédent post.

Bien sûr que si, on trouve les mêmes angles. Le tétraèdre que j'ai décrit (et qui est bien contenu dans l'hyperplan de ) est régulier : les 24 permutations de coordonnées forment le groupe des isométries de ce tétraèdre.
Tu vois bien que dans le triangle de sommets (1,0,0), (0,1,0) , (0,0,1), contenu dans le plan , les angles aux sommets valent tous . Non ?

Il doit y avoir quelque chose qui m'échappe.  On a , donc je te dirais non, pas du tout.
De même pour le tétraèdre.

J'utilise peut être mal le produit scalaire.

Si je te suis bien, en notant $A,B,C$ les sommets du triangle, tu calcules $\langle\overrightarrow{AB}\overrightarrow{AC}\rangle$. Je t'ai bien dit que $A=(1,0,0)$, $B=(0,1,0)$ et $C=(0,0,1)$. Tu es vraiment sûr que le produit scalaire est nul ?
J'ai l'impression que tu es parti sur une idée fausse et que tu n'arrives pas à t'en débarasser.

D'accord j'ai compris d'ou vient le problème, le triangle (et le trétraèdre) n'ont pas 0 comme centre, ça change tout puisque les produit scalaires que je considérais avaient pour but de calculer l'angle entre les droites passant par les sommets et le centre.

Il faudrait donc translater le triangle, ou le tétraèdre, mais alors les points ne seraient plus dans ton hyperplan, mais dans l'hyperplan d'équation c'est ça ? En réalité les angles sont les mêmes sans translater mais c'est plus propre.

Ah, tu as fini par comprendre que si les sommets d'un tétraèdre sont dans un hyperplan, alors son centre est aussi dans cet hyperplan !
Je suis un peu méchant ...

Ahah c'est de bonne guerre. C'est tout bon pour moi, merci comme toujours.

Bonsoir,
les calculs sont également assez faciles si on considère un tétraèdre inscrit dans le cube de sommets
(1;1;1)
Par exemple de sommets (1;1;1), (1;-1;-1), (-1;-1;1) et (-1;1;-1).

C'est moins élégant que ce qu'a proposé GBZM, mais ça marche aussi.