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Application affine

Posté par
gbsatti 24-04-09 à 13:20

Bonjour, je cherche à montrer que l'application suivante est affine :
f(x,y)=(x+y+1,x-y)

J'ai déjà montré qu'elle est injective et surjective en appliquant les définitions directes (donc bijective).
(A ce sujet pour la bijectivité, peut-on plus simplement calculer le déterminant et montrer qu'il est non nul ?)
Ensuite je dois montrer que l'application est affine, ce qui revient à monter que l'application :
f(o+)=f(o)+f() est linéaire.
Mais je ne vois pas comment m'y prendre, quelqu'un peut-il m'expliquer ?
Merci

Posté par
Tigweg Correcteurre : Application affine 24-04-09 à 13:31

Bonjour!

Pose 4$\displaystyle\blue F(x,y) = (x+y,x-y) (on "enlève" le morceau non linéaire), qui est visiblement linéaire.

Prouve qu'on a 4$\displaystyle\blue f(x,y) = f(0,0) + F(x,y), autrement dit, en posant 4$\displaystyle\blue O'=O+\vec v, que 4$\displaystyle\blue f(O')=f(O)+F(\vec{OO'}) .

PS: il manquait une flèche au-dessus de ton dernier 4$\displaystyle\blue f .

Posté par
gbsattire : Application affine 24-04-09 à 13:53

Cela revient à montrer que F(x,y) est linéaire, donc j'aurais écrit :
,
(x,y),(x',y')
F(x+x',y+y')=
(x+y,x-y)+(x'+y',x'-y')=F(x,y)+F(x',y')
c'est ça ?

Posté par
gbsattire : Application affine 24-04-09 à 14:55

donc f(x,y)=(1,0)+(x+y,x-y)
(1,0) est une translation
(x+y,x-y) est linéaire donc affine ?

Posté par
Tigweg Correcteurre : Application affine 24-04-09 à 17:25

OK pour ton message de 13h53.


Citation :
(1,0) est une translation
(x+y,x-y) est linéaire donc affine ?


Ok, tu peux dire ça comme cela si tu veux, et la somme de deux applications affines l'est encore.

Maintenant, tu peux aussi dire plus simplement que la relation 4$\displaystyle\blue f(x,y)=(1,0)+(x+y,x-y) s'écrit encore, en posant 4$\displaystyle\blue O(0,0),\;O^'(x,y) , donc 4$\displaystyle\blue \;\vec v=\vec{OO^'}(x,y):

4$\displaystyle\blue f(O+\vec v)=f(0)+F(v) où 4$\displaystyle\blue F est linéaire.

Cette égalité prouve bien que 4$\displaystyle\blue f est affine, et que sa partie linéaire (ou application vectorielle associée) est 4$\displaystyle\blue F.

Posté par
gbsattire : Application affine 24-04-09 à 17:34

Merci Tigweg, j'ai compris tout ça
en ce qui concerne la bijectivité (pour être plus rapide), y a t-il une méthode avec le déterminant (on sait qu'une matrice est bijective si elle est inversible..)?

Posté par
Tigweg Correcteurre : Application affine 24-04-09 à 17:39

Je t'en prie.

Oui, tu peux dire que 4$\displaystyle\blue f est bijective si et seulement si sa partie linéaire 4$\displaystyle\blue F l'est, ce qui peut (par exemple) se régler en observant que le noyau de 4$\displaystyle\blue F est réduit à 4$\displaystyle\blue \{(0,0)\}, puisqu'en dimension finie, un endomorphisme est bijectif si et seulement s'il est injectif.

Tu peux aussi calculer 4$\displaystyle\blue \det(F) si tu veux, ou encore prouver la surjectivité de 4$\displaystyle\blue f ou 4$\displaystyle\blue F...Il y a plein de méthodes différentes!

Posté par
gbsattire : Application affine 24-04-09 à 17:45

Merci pour toute ces méthodes
tout ça est beaucoup plus rapide que de montrer la bijectivité avec des f(x1)=f(x2) =>x1=x2 ect ... ^^

A+

Posté par
Tigweg Correcteurre : Application affine 24-04-09 à 17:47

Entièrement d'accord!

Avec plaisir!


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