bonsoir

une homothétie vectorielle différente de l'identité je suppose... sinon il y a les translations affines qui n'ont pas de point fixe

En effet : j'ai exclu l'identité de l'ensemble des homothéties, conformément à D. Freudon et contrairement à JM. Monier.
Par contre, je l'ai incluse dans les translations.

Je prépare une leçon d'agreg interne sur les homothéties-translations...

Existe-t-il des applications d'un espace affine dans lui-même qui multiplient des vecteurs par k différent de 1 et ne possède aucun invariant ?

Gros ronron à toi MatheuxMatou.

ben on démontre déjà que les applications affines associées à l'identité sont les translations...

ensuite si tu as une application affine F associée à l'homothétie vectorielle de rapport k...

j'appelle H l'homothétie affine de centre O et de rapport 1/k

FoH est donc associée à l'identité vectorielle (composée de l'homothétie vectorielle de rapport k et celle de rapport 1/k)

donc FoH=translation

F est donc une composée d'homothétie (reciproque de H) et de translation.

comme l'homothétie a un rapport différent de 1, on en déduit que c'est une homothétie de même rapport, c'est à dire k

MM

C'est bien ce que je me disais (du genre : même si tu décales tout le monde en agrandissant et sans tourner, il y en a un qui reste à sa place)... Alors pourquoi Monier veut-il un invariant dans sa propriété ? Bizarre... Ce doit être à cause du fait qu'il inclur l'identité dans sa définition des translations.

Merci MM, et très bonne soirée.

pas de quoi, bonne soirée.