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application de l'inégalité des accroissements finis
Bonjour !
J'ai un dm pour demain, il fallait que je démontre l'inégalité des accroissements finis. Normalement j'ai trouvé quelque chose.
Mais la seconde question porte sur une application de cette inégalité :
quelque soit les réels a et b, valeur absolue de [sin(b)-sin(a)] < valeur absolue de [b-a].
Ce que j'ai fait :
notons f(x)= sin-1
cette fonction est définie et dérivable sur R
on a f'(x)=cos
or cette dérivé peut être positive (quand x appartient à l'intervalle fermé 0;pi/2)ou négative (quand x appartient à l'intervalle fermé pi/2;pi)
donc sur l'intervalle fermé 0;pi/2, f(x) est croissante et sur l'intervalle fermé pi/2;pi, f(x) est décroissante.
On peut écrire quand f(x) est croissante (et de la même façon pour f décroissante):
a < b, f(a) < f(b)
sin(a)-1a < sin(b)-1b
sin(b)-sin(a) < b-a
or il faut passer à valeur absolue et je ne sais pas comment faire car cette fonction est décroissante sur R- et croissante sur R+.
Pouvez-vous m'aider svp ?
Merci beaucoup
Roxy94
bonjour,
cette une application directe:
on veut montrer que |sin(b)-sin(a)|<|b-a|.
on considère la fonction f définie sur par f(x)=sin(x)
f'(x)=cos(x)
donc pour tout réel x,
en applicant le TAF on a donc : pour tout réel a et b:
=> ,
CQFD
démo du TAF (c'en est une que j'ai retenu et elle est simple):
f une fonction dérivable sur I.
a et b deux réels de I tel que a<b.
si il existe deux réels m et M tel que m<f'<M alors
on considère la fonction g définie sur I par g(x)=f(x)-Mx
g est dérivable et g'(x)=f'(x)-M
or donc g'(x)<0 donc g est décroissante sur I.
donc pour tout réel a et b de I tel que a<b on a:
g(a)>g(b)
soit f(a)-Ma>f(b)-Mb
soit f(b)-f(a)<M(b-a)
CQFD
on démontre de manière analogue le membre de gauche 
en fait dans ton exo on applique le TAF où on a ...
a+
ok merci encore de ton aide !!!
Mais je voulais savoir s'il y avait une démonstration propre à la fonction sinus parce que l'énoncé demande montrer |sin(b)-sin(a)|<|b-a| ???
Merci beaucoup
Roxy94
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