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Application de la relation d euler
Bien le bonjour à tout le monde ^^,
J'ai un petit problème et je cherche de l'aide. Donc voilà l'exercice :
A,B,C,D 4 points quelconques. l'objectif est de prouver que DC.AB + DA.BC+ DB.CA = 0 et donc en déduire que les trois hauteurs d'un triangle sont concourantes.
J'ai déjà prouvé que DC.AB + DA.BC+ DB.CA = 0 et je bloque à la question suivante : En utilisant l'égalité, démontrez que (AH) et (BC) sont perpendiculaires. Concluez. comme aide, on me propose de faire une figure ou l'on dessine un triangle ABC et les hauteurs issues de B et de C qui se coupent en H. Ainsi pour démontrer que les 3 hauteurs sont concourantes, il suffit de démontrer que (AH) et (BC) sont perpendiculaires.
Après un moment de réflexion, j'avais pensé à utiliser le fait que H était l'intersection des hauteurs, donc l'orthocentre pour en déduire le fait que (AH) et (BC) sont perpendiculaires, mais cela ne s'inscrit pas dans la logique de la question...
J'avais aussi pensé à prouver que H = D, mais il me manque quelquec chose...
Merci d'avance de votre aide
peux-tu montrer comment tu as prouvé que la somme de départ est nulle, ca nous évitera de réfléchir à cette question et de pouvoir t'aider plus rapidement 
oui bien sur ! J'ai en fait attribuer des coordonnées à A,B,C,D. J'ai pris D comme origine du repère soit D (0;0) et puis j'ai choisit A sur [Dx) d'où A (a;0) et puis j'ai donné à B(x;y) et C(x';y') donc on retrouve bien le fait que la relation est égale à zéro
Je ne suis pas sûr que tu puisses attribuer des positions comme cela aux points, car ils sont explicitement dit quelconque. As-tu essayé de dévellopé avec des relations de Chasles et d'arriver au vecteur nul. Je suis déja tombé sur une question identique en devoir, et c'est comme cela qu'il fallait voir les choses.
Bien l'attribution de ces coordonnées s'est fait suite à la suggération du livre !
la relation quetu as trouvé est une egamite vectorielle ou de mesure algebrique?
c'est une égalité vectorielle. Ce sont des produits scalaires
si c'est comme je le pense une egalité vectorielle c'est tout simple tu réecrit ton egalite en remplacant D par H car a la base tes points sont quelconque
donc tu obtient en vecteur
HC.AB + HA.BC + HB. AC =0
et comme HB et AC sont orthogonaux eur produit scalaire vaut 0
et de meme pour HC et AB donc il te reste
AH . BC = 0
donc (AH) et (BC) sont orthogonales donc H appartient a la hauteur issue de A
donc les trois droites sont concourantes
merci beaucoup, j'y étais presque mais merci de votre aide !
Cependant, quelle est la justification du remplacement de D par H ? seulement que les points sont quelconques ?
oui c'est juste ca tu n'as qu'a dire que comme les points etaient quelconque la relation est aussi valabe pour les points A,B,C,H
en fait tu ne remplace pas D par H mais tu applique la relation a A,B,C,H
et voila
désolé de vous déranger à nouveau mais je me retrouve bloquer plus loin ....!
Donc la question se définit comme telle : Une solution vectorielle demande un choix judicieux des relations de Chasles qui vont permettre de transformer le premier membre de la relation. On peut penser à décomposer le vecteur AB, BC, et CA en faisant intervenir D. On peut aussi remarquer que vecteur AB + vecteur BC + vacteur CA = vecteur nul et ainsi remplacer le vecteur AB par vecteur AC + CB
a) En choisissante cette deuxième proposition, démontrez que le premier membre de l'égalité s'écrit : AC.( DC-DB) + BC.(DA-DC)
----> je tiens à noter que ce sont des produits scalaires et des vecteurs.
Ca j'ai réussi grâce à la relation plus haut DC.AB + DA.BC + DB+CA = 0
B) Concluez.
Cette dernière question me pose problème puisque que je ne sais ni quoi ni comment conclure !
ensuite en développant j'arrive à AC.DC + BC.CD + BC + CA = 0
et je ne sais pas quoi conclure
en allant encore plus loin j'arrive à DC.AB + BA = 0
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